专题-勾股定理培优版(综合)

1、专题 勾股定理在动态几何中的应用一.勾股定理与对称变换（一）动点证明题1.如图，在ABC中，AB=AC，（1）若P为边BC上的中点，连结AP，求证：BPCP=AB2-AP2；（2）若P是BC边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由；ABPC（3）若P是BC边延长线上一点，线段AB、AP、BP、CP之间有什么样的关系？请证明你的结论.（二）最值问题2.如图，E为正方形ABCD的边AB上一点，AE=3 ，BE=1，P为AC上的动点，则PB+PE的最小值是 3. 如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转6

2、0得到BN，连接EN、AM、CM.（1）求证：AMBENB；EA DB C CNM（2）当M点在何处时，AMCM的值最小；EA DB C CNM当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；（3）当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.EA DB C CNM4.问题：如图，在ABC中， D是BC边上的一点，若BAD=C=2DAC=45，DC=2求BD的长小明同学的解题思路是：利用轴对称，把ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决（1）请你回答：图中BD的长为 ；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图，在ABC中，D是BC边上的一点，若BAD=C=2DAC=30，DC=2，求B

3、D和AB的长 图 图 二.勾股定理与旋转5.阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在ABC（其中BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边PBC，求AP的最大值。小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60得到ABC,连接,当点A落在上时,此题可解（如图2）请你回答：AP的最大值是 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰RtABC边AB=4,P为ABC内部一点， 则AP+BP+CP的最小值是 .（结果可以不化简）6.如图，P是等边三角形ABC内一点，AP=3，BP=4，CP=5

4、，求APB的度数. 变式1：ABC中， ACB=90，AC=BC，点P是ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求BPC 的度数CBAP变式2：问题：如图1，P为正方形ABCD内一点，且PAPBPC=123，求APB的度数小娜同学的想法是：不妨设PA=1， PB=2，PC=3，设法把PA、PB、PC相对集中，于是他将BCP绕点B顺时针旋转90得到BAE（如图2），然后连结PE，问题得以解决请你回答：图2中APB的度数为 请你参考小娜同学的思路，解决下列问题： 如图3，P是等边三角形ABC内一点，已知APB=115，BPC=125（1）在图3中画出并指明以PA、PB、PC的长度为三边长的一

5、个三角形（保留画图痕迹）；（2）求出以PA、PB、PC的长度为三边长的三角形的各内角的度数分别等于 图1 图2 图37. 已知RtABC中，ACB=90，CA=CB，有一个圆心角为，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N（1）当扇形CEF绕点C在ACE的内部旋转时，如图，求证：；CABEFMN图（2）当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由CABEFMN图变式1：如图，在中, 且,则= 变式2：如图，在RtABC 中，D、E是斜边BC上两点，且DAE=45，将绕点顺时针旋转90后，得到，连接，下列结

6、论：BCDEFA；其中正确的是（ ）A； B； C；D（三）其它应用7. 在中，、三边的长分别为、，求这个三角形的面积小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积（1）请你将的面积直接填写在横线上_；思维拓展：（2）我们把上述求面积的方法叫做构图法若三边的长分别为、（），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上_；探索创新：（3）若中有两边的长分别为、（），且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上_8.已知ABC=90，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在ABC的内部作等边ABE和APQ,连结QE并延长交BP于点F.（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（