高中数学 第四章 三角函数教案（通用）

1、第四章三角函数教材分析三角函数是中学数学的重要内容之一。其基础主要是几何上的相似性和圆，研究方法主要是代数变形和图像分析。因此，三角函数的研究已经初步将几何与代数联系起来。本章介绍的知识不仅是解决生产实际问题的工具，也是中学学习后续内容和高等数学的基础。本章教学时间约为36课时，具体分配如下(仅供参考):4.1角度概念的推广大约需要2个课时4.2电弧系统约为2个课时4.3任意角度的三角函数约为2课时4.4同角度三角函数的基本关系约为2课时4.5正弦和余弦的归纳公式约为3课时4.6两个角度之和与差的正弦、余弦和正切值约为7课时4.7双角的正弦、余弦和正切值约为3课时4.8正弦函数和余弦函数的图像

2、和属性约为4课时4.9函数y=Asin(x )的图像需要大约3个课时4.10正切函数的图像和性质约为2课时4.11众所周知，三角函数值的计算大约需要2个课时总结和复习大约4个课时一、内容和要求(1)本章的主要内容是任意角的概念、弧系、任意角的三角函数、同角三角函数之间的关系、归纳法、两个角之和与差的三角函数、双角三角函数、三角函数的图像和性质、用已知的三角函数值求角等。(2)本章开头的介绍安排了一道应用题来求半圆内接矩形的最大面积。这个问题可以用二次函数来解决，但是如果把角度设为一个独立变量，就可以得到三角函数，学生还没有学会找到它的最大值。第一节是“任意角度的三角函数”。教材首先推广了角度的

3、概念，引入了弧系，然后直接将三角函数的概念从锐角推广到任意角度(均由坐标定义)，进而导出了两个相同角度的三角函数的基本关系以及正弦和余弦的归纳公式。第二节是“两个角之和与差的三角函数”。首先介绍平面上两点间的距离公式(公式的正确性只能通过绘图来说明，不能严格证明)，然后由距离公式推导出余弦的和与角公式，再依次推导出其他公式(尽量启发式)。同时，对这些公式的简单应用和实际应用进行了整理，包括解决引言中的实际问题，并引出半角公式、和差积和积和差积公式供学生理解第三部分是“三角函数的图像和性质”。首先，教科书用正弦线画出函数x0的图像，根据“终端边缘的相同角度具有相同的三角函数值”，将该图像平行向左

4、和向右移动，得到正弦曲线。在此基础上，利用归纳法，将正弦曲线向左平行移动一个单位长度，得到余弦曲线。然后，根据这两条曲线的形状和特点，研究了正弦函数和余弦函数的性质，并简要介绍了正弦函数草图的绘制方法。最后，简要介绍了正切函数图像和正切函数的性质。最后，介绍了如何从已知的三角函数值中寻找角度。介绍arcsinx、arccosx、arctanx等标志，以供参考(3)本章的教学要求是：1.让学生理解任意角度的概念和弧度的含义；能正确转换弧度和角度2.使学生掌握任意角度的正弦、余弦和正切的定义，理解余切、割线和余切的定义；掌握等角三角函数的基本关系式；掌握正弦和余弦的归纳公式3.使学生掌握两个角度的

5、正弦、余弦和正切公式以及两个a的区别5.学生用单位圆上的三角函数线画正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，然后用归纳法画余弦函数的图像；了解周期函数和最小正周期的意义，并通过图像了解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质；会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数的图，并理解A、的物理意义6.让学生从已知的三角函数值中找出角度，并用符号arcsinx、arccosx和arctanx来表示二、测试中心的要求1.理解弧度的定义，并能正确转换弧度和角度2.掌握任意角度三角函数的定义、三角函数的符号、三角函数在同一角度的关系式和归纳法，理解周期函数和最小正周期的含义，找出可以求解的周期，或三角函数经过简单常

6、数变形后可以转化为上述函数的周期。三角公式可以用来简化三角函数，在任意角度寻找三角函数，证明更简单的三角恒等式。3.了解正弦、余弦、正切和余切函数的绘制方法，用“五点法”绘制正弦、余弦函数及其图形，解决与正弦和曲线相关的实际问题4.能够推导和掌握两个角之和、两个角之差、双角和半角的正弦、余弦和正切公式5.理解三角函数、和差与和差的乘积公式6.上述公式可以正确地用来简化三角函数，求出一定角度的三角函数，证明更简单的三角恒等式，解决一些简单的实际问题。7.掌握余弦定理、正弦定理及其推导过程，并能用它们来求解斜三角形三、测试中心分析三角函数是一个重要的初等函数。由于它的特殊性质以及与其他代数和几何知

7、识的密切关系，它不仅是学习其他部分知识的重要工具，也是高考的重要内容之一。本章分为两个部分。第一部分是三角函数的基础。它不要求介绍困难、复杂和熟练的主题，但应注重知识理解的准确性、熟练程度和灵活性大部分试题都是选择题和填空题的形式，这并不难，而且经常和其他知识结合在一起复习时，我们应该把握以下几点：1.理解弧系统所表达的角度的优点在于角度集和实数集之间的一一对应。其次，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数2.有必要区分正角度、负角度、零角度、锐角、钝角、间隔角度、象限角度和具有相同角度的终端边缘的概念3.当你知道一个角度的三角函数值，并找到这个角度的其他三角函数值时，你应该注意中间角度的范围

8、，并为不同的象限找到相应的值。当你使用归纳公式来简化和评估三角形时，你应该注意公式中符号的选择4.单位圆中的三角函数线是三角函数的几何表示。用三角函数线的值代替三角函数值比用三角函数定义的比值得到的三角函数值优越得多。因此，三角函数是讨论三角函数性质的有力工具5.善于将三角函数转化为尽可能只包含一个三角函数的“标准公式”，进而得到一些复合三角函数的最大值、最小正周期和单调性。当对泛函公式进行常数变形时，应特别注意保持定义域的不变性。6.在给定的区间内考虑函数的单调性，只有属于同一单调方面的同一函数的两个函数值可以用它的单调性来比较7.对于周期函数，在绘制时，你只需要先在一个周期内对其进行成像，

9、然后利用周期来制作一个图像本章的第二部分是两个角的和与差的三角函数。共检查了7个知识。在高考中，这一章的知识已经被考试成三种题型：选择题、填空题和解答题。大部分问题是评价问题，其中一些直接计算三角函数的值，还通过三角变换计算函数的变量范围、周期、最小值和最大值，并讨论其他性质；除了少量的简化外，证明性问题所考查的问题数量一般为3-4个，分数为12-22分，属于简单问题和中等问题。重点考核内容是两角和差的正弦、余弦和正切公式、和差积、各积和差积公式。考生失分主要有两个原因：一是公式不熟悉，二是操作不够，所以复习时要注意以下几点：1.在调和、差、双、半角三角函数公式复习中，掌握下列三角常数变形的常

10、用方法和简单技巧常量替换，尤其是“1”的替换，如：等术语的划分和角度的匹配下降和上升次数普遍替代另外，要注意理解两个角的和、差、双、半角公式中的角的本质。公式中的角度可以看作一个整体形式，可以组合成其他变量或函数，从而增加公式的适用范围和强度2.能够将和微分积和和微分公式应用于三角函数和微分公式，善于转化为积的形式，反之亦然，形成公式，引入辅助角和形式，其中辅助角所在的象限由符号决定，角度值由符号决定。对此，有必要加强培训，加深理解。3.总结和掌握三角函数简化和求值的常用方法和技巧(1)在简化三角函数时，在题目设计的要求下，首先要合理使用相关公式，还要尽量减少角度和三角函数的数量，尽量改变相同

11、的角度和相同的名称。其他思想包括：异态、高阶、低阶、弦或正切、和与差积、积与和差积、特殊角三角函数和特殊值互变等(2)三角函数的求值有两种主要类型。一是给定角度的评估。另一个问题是找到给定值的角度。他们都试图通过适当的变换来建立与被评估的三角函数、具有特定角度的三角函数以及具有已知值的三角函数的联系。在选择公式时，要注意方向性和灵活性，以便创造机会消除或减少术语，简化问题4.三角函数的简单证明三角恒等式的证明可以分为两种类型：无附加条件和附加条件。证明的一般规律是从简化开始，适当地变换，并简化复数，但这里的变换目标取决于被证明的恒等式的特征。无附加条件的三角恒等式证明：常用综合法和解析法，在特

12、定条件下也可使用数学归纳法附加条件的三角恒等式证明：关键在于正确及时地使用附加条件，即仔细寻找附加条件与待证明方程之间的内在联系。常用的方法有替换法和消去法三角恒等式证明的关键是使用和、差、积的相互转换公式。掌握等价变换思想和变量代换方法的关键是找出的差异，观察方程、函数和运算两个角之间的差异；找出的联系，选择合适的公式，并找出区别之间的联系；合理的转化促进联系，创造性地应用基本公式至于角恒等式或条件恒等式的证明，一般来说，有必要证明v(1)本章的重点是：任意角度三角函数的概念，等角度三角函数之间的关系公式，归纳公式及其应用，正弦和余弦的和角公式，正弦曲线的绘制方法以及正弦函数的性质。难点有：

13、圆弧系统的思想，综合运用本章公式简化简单三角函数并证明恒等式，周期函数的概念，函数图像与正弦曲线的关系。关键是让学生掌握任意角度的三角函数。由于课时紧张，教学应遵循教学大纲规定的内容和要求，不要随意补充已经删除的知识点。例如，三角函数基本上只谈论正弦、余弦和正切；同角三角函数的基本关系只谈，三；除(kZ)外，在其他归纳公式中，要求学生灵活记忆和使用，只有那些用正弦和余弦表示的公式，谭灿可以用科学计算器或转换成；在推导正切和角公式和绘制正切函数图像时，会出现正切的归纳公式，但这只是推导的中间步骤，不需要学生记忆；积和差与和差积公式和半角公式只作为和(差)角公式的应用出现，其结果不需要记忆，更不用

14、说应用了；另外，不要增加“变换成一个角的三角函数的形式”的例题(2)在谈到弧线系统的优点和角度系统的缺点时，要注意科学性。事实上，角度的概念推广后，无论是用圆弧系统还是用角度系统，都可以在角度集和实数集R之间建立一一对应的关系，说“每个角度都有一个唯一对应的实数”，这个实数可以取角度系统下的弧度数，或度数，或分数，或角度系统下的秒。然而，在每个对应规则下对应的实数是唯一的，所以不要认为只有弧系统可以一一对应实数的角度。有些老师认为角度系统的测量单位太小，而圆弧系统的测量单位太大，可以省略。虽然这种说法有些道理，但在科学上没有足够的理由，因为小有好处，关键是坐标系中两个数轴上的单位长度可以不一致

15、。我们总是同时使用十进制和十六进制。例如，在角度中，61、21和12都是十进制数，度、分和秒之间的关系是60位小数。这样，为了找出对应于角度的实数(我们学的实数都是十进制数)，进行一些计算就不太方便了。(3)在定义了任意角度的三角函数之后，严格地说，例如，只能说它是正弦函数；六种函数统称为三角函数，这意味着它们不是这六种函数的函数。它们不能说是三角函数。例如，可以说它们是2x正弦函数(此时可以说是三角函数)，或者可以说它们是正弦函数和比例函数的复合函数。然而，它们不能说是x的正弦函数。另一点是函数的定义域，它总是附属于三角函数或相关函数。因此，说(或写)“正弦函数y=”是不合适的(4)至于求已

16、知三角函数值的角，在解释相关例子时，可以用辅助角(即通过设置辅助元素将未知转化为已知，这是归约思想的应用)来求解，并调整求解过程如下：1.如果函数值为正，首先找到相应的锐角；如果函数值为负，首先找出与其绝对值相对应的锐角。2.确定哪个象限角度可以是3.如果函数值是负的，根据象限角度X可以是哪个，内部对应角度可以表示为第二象限角度。如果它是第三或第四象限角，它可以表示为或上述辅助角度也可视为一个参数(x是一个独立变量)，因此所提供的方法可视为参数的应用。新大纲分散了相关教学内容中的参数知识，有利于提醒学生在教学中及时注意参数的使用(5)本章所使用的符号及其用法均符合国家标准的规定，物理教科书中的板书也逐渐规范化。因此，在布置和批改作业时，本章中解决几个与物理(力学和电学)有关的习题时所使用的符号及其用法应与教科书中的相同，以免与物理教师讲课时的要求相冲突，使学生感到不知所措。(6)注意学生的认知规律。除了从实际问题中引入数学概念外，这方面的措施如下：(1)重构数字结构首先，通过平面直角坐标系(数形结合)定义任意角度的三角函数。在得到第一组归纳法公式，即“端边相同的同一个三角函数的值相等”后，引入与单位圆相关的有向线段，分别得到任意角度的正弦