高中数学技巧--妙--构造对偶式的八种途径

1、构造对偶式的八种途径在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和,差,积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种途径。一 和差对偶对于表达式，我们可构造表达式作为它的对偶关系式。例若，且，求的值。解析：构造对偶式：则得再由，得：。点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。例已知：，且，求证：。解：则有：又，故，即原不等式成立。点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消融了。解法自然，朴素，过程简洁，运算轻松！例解方程：解：构造对偶式：，再由

2、原方程联立可解得：那么得：得：，即，代入（）中得：，整理得：，解得：。二 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。例若，求证：。解：设,构造对偶式：，则而，故，即。例设为互不相等的正整数，求证：。解：设，构造对偶式：则又为互不相等的正整数，所以，因此。点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。例已知对任意总有，求函数的解析式。解析：因用替代上式中的，构造对偶式：由得：故。三 共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。例已知，解方程：。解析：由构造对偶式：由得，代

3、入得，故或。例若，已知且，证明：为纯虚数。解：设，则，构造对偶式：则（因为）又（因为）为纯虚数。例已知：，且，求证：。证明：设，构造对偶式：，即原不等式成立。四 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。例求和：解析：观察和式联想到，故首先在和式右边添上一项，则构造对偶式：即亦为：由得：点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例正项等比数列中，试用，表示。解析：传统解法都用表示，及，然后通过和找到，的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论和两种情形，如此解题会陷入漫漫无期

4、的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。由题意知：构造倒序对偶式：由得：，即再来看：构造倒序对偶式：即得：，即。由等比数列性质可知，右边的分母均为，故即，又。五 定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。例已知函数。，则。解析：发现定值：。那么构造对偶式：由得：，即。六 奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。例求证：。解：设，构造对偶式：。由于因此，从而故。例求证：证明：待证不等式的左边为：。令：构造两个对偶式：故原不等式成立。点评：灵活地选取解题方法，对其

5、构造了“意想不到”的对偶式，从而完成了解答，充分体现了解题技巧。七 轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。例求证：对任意实数，都有不等式成立。证明：设构造对偶式，则，即而，即。当且仅当时等号成立。例设，求证：。证明：设，构造对偶式：，。又，即，。八 互余对偶三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。例已知，解方程：解析：若令，构造对偶式：则：由得：，又或或。点评：通过构造对偶式，创设了这一美妙而又能打开书局面的有利条件，可谓“高招”！例求的值。解析：令，构造对偶式：，则点评：这是一道比较典型的三角求值题。通过对题目结构特征的观察，由目标导向，构造对偶式，从而独辟蹊径，出奇制胜。在数学解题过程中，如果我们恰当地构造对偶关系式，不仅能