高三数学综合复习知识点整理

1、第1讲 集 合1集合：某些指定的对象集在一起成为集合（1）集合中的对象称元素，若a是集合a的元素，记作；若b不是集合a的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设a是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是a的元素，或者不是a的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素

2、的公共属性描述出来，写在大括号内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。（4）常用数集及其记法：非负整数集（或自然数集），记作n；正整数集，记作n*或n+；整数集，记作z；有理数集，记作q；实数集，记作r。2集合的包含关系：（1）集合a的任何一个元素都是集合b的元素，则称a是b的子集（或b包含a），记作ab（或）；集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若ab且ba，则称a等于b

3、，记作a=b；若ab且ab，则称a是b的真子集，记作a b；（2）简单性质：1）aa；2）a；3）若ab，bc，则ac；4）若集合a是n个元素的集合，则集合a有2n个子集（其中2n1个真子集）；3全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作u；（2）若s是一个集合，as，则，=称s中子集a的补集；（3）简单性质：1）()=a；2）s=，=s4交集与并集：（1）一般地，由属于集合a且属于集合b的元素所组成的集合，叫做集合a与b的交集。交集。（2）一般地，由所有属于集合a或属于集合b的元素所组成的集合，称为集合a与b的并集。注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算

4、，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。5集合的简单性质：（1）（2）（3）（4）（5）（ab）=（a）（b），（ab）=（a）（b）。【典例解析】题型1：集合的概念例1（2009广东卷理）已知全集，集合和的关系的韦恩（venn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 ( )a. 3个 b. 2个 c. 1个 d. 无穷多个答案 b 解析 由得，则，有2个，选b.例2(2009山东卷理)集合,若,则的值为 ( )a.0 b.1 c.

5、2 d.4答案 d解析 ,故选d.题型2：集合的性质例3(2009山东卷理)集合,若,则的值为 ( )a.0 b.1 c.2 d.4答案 d解析 ,故选d.1.设全集u=r，a=xn1x10，b= xrx 2+ x6=0，则下图中阴影表示的集合为 （ ）a2 b3 c.3，2 d2，3 2. 已知集合a=y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0,b=y|y2-6y+80，若ab，则实数a的取值范围为（ ）解：由题知可解得a=y|ya2+1或ya, b=y|2y4,我们不妨先考虑当ab时a的范围如图由，得或.即ab时a的范围为或.而ab时a的范围显然是其补集,从而所求范围为.注：一般地，我

6、们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”例4已知全集，a=1,如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：；，即0，解得当时，为a中元素；当时，当时，这样的实数x存在，是或。另法：，0且或。点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。变式题：已知集合，,求的值。解：由可知，（1），或（2）解（1）得，解（2）得，又因为当时，与题意不符，所以，。题型3：集合的运算例5(2008年河南省上蔡一中高三月考)已知函数的定义域集合是a,函数的

7、定义域集合是b（1）求集合a、b（2）若ab=b,求实数的取值范围解 （1）ab（2）由abb得ab，因此所以,所以实数的取值范围是例6（2009宁夏海南卷理）已知集合,则( ) a. b. c. d.答案 a解析 易有，选a题型4：图解法解集合问题例7（2009年广西北海九中训练）已知集合m=，n=，则 （ ） a b c d答案 c例8设全集，函数的定义域为a，集合，若恰好有2个元素，求a的取值集合。解：时， ，当时，在此区间上恰有2个偶数。题型7：集合综合题例11（1999上海，17）设集合a=x|xa|2，b=x|1，若ab，求实数a的取值范围。解：由|xa|2，得a2xa+2，所以a

8、=x|a2xa+2。由1，得0，即2x3，所以b=x|2x0时，值域为；当a0时，值域为。配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；分式转化法（或改为“分离常数法”）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域第3讲 函数基本性质1奇偶性（1）定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为奇函

9、数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意： 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域并判断其定义域是否关于原点对称； 确定f(x)与f(x)的关系； 作出相应结论：若f(x) = f(x) 或 f

10、(x)f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则f(x)是奇函数（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇2单调性（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)），那么就说f(x)在区间d上是增函数（减函数）；注意： 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的

11、性质，是函数的局部性质； 必须是对于区间d内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2)（2）如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间d叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数y= fg(x)，其中u=g(x) , a是y= fg(x)定义域的某个区间，b是映射g : xu=g(x) 的象集：若u=g(x) 在 a上是增（或减）函数，y= f(u)在b上也是增（或减）函数，则函数y= fg(x)在a上是增函数；若u=g(x)在a上是增（或减）函数，而y= f(u)在b上是减（或增）函数，则函数y=

12、 fg(x)在a上是减函数。（4）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间d上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2d，且x10时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a0时过（0，0）4）幂函数一定不经过第四象限【典例解析】题型1：指数运算例1（1）化简：解：（1）原式=。例2（1）已知，求的值解：，又，。题型2：对数运算（2）.幂函数的图象经过点，则满足27的x的值是 . 答案 例3计算（1）；（2）；解：（1）原式 ；（2）原式 ；例4设、为正数，且满足 （1）求证：；（2）若，求、的值。证明：（1）左边；解：（2）由得，由得由得由得，代入得， 由、解得，从而。题型3：指数、

13、对数方程例5已知定义域为r的函数是奇函数.（1）求a,b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围.解 （1） 因为是r上的奇函数，所以从而有 又由，解得（2）解法一：由（1）知由上式易知在r上为减函数，又因是奇函数，从而不等式等价于 因是r上的减函数，由上式推得即对一切从而解法二：由（1）知又由题设条件得即 整理得，因底数21，故 上式对一切均成立，从而判别式例6 设，若函数，有大于零的极值点，则（ b ）abcd【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时,显然有,此时，由我们马上就能得到参数的范围为.点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为

14、不含指数、对数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。题型4：指数函数的概念与性质例7设（ ）a0 b1 c2 d3解：c；，。点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值题型5：指数函数的图像与应用例9若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ）am1 b1m0 cm1 d0m1解：画图象可知1m1时，函数y=logax和y=(1a)x的图象只可能是( )解：当a1时，函数y=logax的图象只能在a和c中选，又a1时，y=(1a)x为减函数。答案：b点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性

15、题型8：指数函数、对数函数综合问题例16已知函数为常数）（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性解：（1）由a0，x0 f(x)的定义域是。（2）若a=2，则设 ， 则故f(x)为增函数。例18设，且，求的最小值。解：令 ，。 由得， ，即， ， ，当时，。【总结】1（其中）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知