统计决策及其例题

1、统计学家瓦尔德(a.wald)把关于假设检验和参数估计的经典统计理论加以概括，将不确定意义下的决策科学也包括在统计学范围之内，于1939年创立了统计决策理论，该理论弥补了过去统计理论的缺陷。,统计决策的显著特点是： 统计决策建立在统计分析和统计预测的基础 上，是一种定量决策 。 统计决策是在不确定情况下，应用概率来进行决策的计算和分析，是一种概率决策。,统计决策,决策问题的 三个基本要素,状态集,行动集 行动空间,损失函数,依统计决策论的观点，对决策有用的信息,先验信息,样本信息,决策问题的分类,无数据 （无样本信息） 决策问题,统计决策问题,贝叶斯 决策问题,一、基本概念,1、损失函数,描述

2、当未知量处于状态 而采取行动 时所引起的损失，记为,2、决策函数,由样本空间 到行动空间 的可测映射 称为决策函数。,3、风险函数,称为决策函数 的风险函数。,设 是一个决策函数，则损失函数 关于样本分布 的数学期望,平均损失愈小，决策函数愈好。,风险函数 描述在未知量处于状态 而采取决策 时所蒙受的平均损失。,二、常用的决策准则,1、一致最优决策准则,则称 为决策函数类 的一致最小风险决策函数，或称为一致最优决策函数。,定义 设 表示定义在样本空间 上取值于行 动空间 的某一决策函数类，若存在一个决 策函数 ，使得对任意 ，都有,2、最小最大（minimax）决策准则,则称 为该统计决策问题

3、的最小最大决策函数，相应的风险称为最小最大风险。,定义 对于一个统计决策问题，设 表示定义 在样本空间 上取值于行动空间 的某一决策 函数类。若有决策函数 ，使得,3、贝叶斯决策准则, 先验信息与先验分布,无论是在统计决策问题还是在统计推断问题中总会包含未知量 。为了对 作统计决策或者作统计推断，样本信息是必不可少的，因为它包含 的最新信息。除此之外，一些非样本信息也可用于统计决策和统计推断。这些非样本信息主要来源于经验或历史资料。由于此类经验或历史资料大多存在于（获取样本的）试验之前，故称这些非样本信息为先验信息。,统计学中有两个主要学派：经典（频率）学派与贝叶斯学派。经典学派认为 是未知参

4、数；贝叶斯学派认为 是随机变量，应该用一个概率分布去描述 的未知状况。这个概率分布在抽样之前就已存在，它是关于 的先验信息的概率陈述。这个概率分布就称为先验分布，用 来表示。, 贝叶斯公式与后验分布,称 为 的后验分布。,先验风险准则与后验风险准则,定义1： 在给定的统计决策问题中，设 为决策函数 的风险函数， 为 的先验分布，则平均风险,称为决策 的贝叶斯风险。若在决策函数类 中存在 ，使得,则称 为决策函数类 在贝叶斯（先验）风险准则下的最优决策函数，简称贝叶斯决策函数或贝叶斯解。,定义2： 在给定的统计决策问题中，设 为决策函数 的损失函数， 为 的后验分布，则条件期望风险,称为决策函数

5、 的贝叶斯后验风险。若在决策函数类 中存在 ，使得,则称 为决策函数类 在贝叶斯后验风险准则下的最优决策函数，或称其为贝叶斯后验型决策函数。,例6.1 一位收藏家拟收购一幅名画，这幅画标价为5000元。若这幅画是真品，则值10000元；若是赝品，则一文不值。此外，买下一幅假画或者没有买下一幅真画都会损害这位收藏家的名誉，其收益情况如下表,现在，这位收藏家需要决定是买还是不买这幅画？,(1) 如果收藏家有以下三种决策可供选择： ：以概率0.5买下这幅画； ：请一位鉴赏家进行鉴定（已知该鉴赏家以概率0.95 识别一幅真画，以概率0.7识别一幅假画），如果鉴赏家鉴定为真品就买下这幅画； ：肯定不买

6、那么，什么是这位收藏家的最小最大决策？,（2）如果根据卖画者以往的资料得知， 发生的概率为0.75， 发生的概率为0.25，那么这位收藏家是否应买下这幅画呢？,（3）在（2）的条件下，这位收藏家为稳妥起见，聘请一位鉴赏家做鉴定。已知鉴赏家以概率0.95识别一幅真画，以概率0.7识别一幅假画。如果鉴赏家说这幅画是真品，那么这位收藏家是否应买下这幅画呢？,这是一个决策问题，状态集 ， 为真品， 为赝品,行动集 表示“买”， 表示“不买”， 损失函数 用矩阵可表示为,统计决策中所说的损失可以理解为“该赚到而没有赚到的 钱”，“不该亏而亏损的钱”或者“不该支付而支付的钱”。,解：（1）对 ，,对 ，,对 ，,计算结果表明，收藏家的最小最大决策为 ，即如果鉴赏家鉴定为真品就买下这幅画，这一决策的最小最大风险为1800元。,(3) 引入随机变量,由题意知：,的先验分布 为 ， 由贝叶斯公式可得 的后验分布,这样样本空间 ，行动空间 ，所以决策函数只有以下4个,这样本值 时，这些决策函数的贝叶斯后验风险分别是：,在 时，这些决策函数的贝叶斯后风险分别是：,可见在贝叶斯后验风险准则下， 是最优决策函数，换言之，当鉴定家说这幅画是真品时，这位收藏家应买下这幅画。 下面计算（3）中那些决策函数的贝叶斯风险， 先算 的边缘分布：,从而，,由此可见，在贝叶斯风险准则下的最优决策函数仍是 ，在两种不同风险