整体最小二乘法直线拟合

1、辽宁工业大学学报(自然科学版)2 0 1 0年2月2 0日0 1 2月9日中国科学院院刊f e b 2 010文章编号：1 0 0 8 0 5 6 2(2 0 1 0)0 1 0 4 4-0 4总最小二乘线性拟合丁克良l 2，沈运忠2，欧继坤3(北京建筑工程学院测绘与城市空间信息1所，北京1 0 0 4 4，国家测绘局现代工程测量重点实验室2， 上海2009 2:3中国科学院测量与地球物理研究所，武汉4 3 0 0 7 7，湖北省)摘要：针对直线拟合中不同因变量的拟合结果存在差异的事实，提出用总最小二乘法进行直线拟合。 在分析直线方程特点的基础上，用e-i-v模型描述直线方程，根据系数矩阵的特

2、点，用q-r分解将方程分成两部分，并采用混合d-乘法求解。理论分析和实际计算结果表明，总最小二乘法考虑了因变量和自变量的误差。拟合精度高于普通最小二乘法，并且采用整体最小二乘法拟合直线，整体上优于普通最小二乘法。关键词：直线拟合；普通最小二乘法；全局最小二乘法；e . i . v模型中图片的分类编号：o4 1 1 1文件识别码：a . e . t . h . d . o . f . i . t . n . gb a . t . a . t . a . s . s . q . r . d . n . gk e . l . a . g . s h e n gy u n z h o n 9 2，0

3、uj i k u n(1 b e i j in gun i r s i i i y i i le n g i e i r i n ga n da r h i t u r e， 不，不，不，不，不，不，不，不，不，不，不，不。 2k e yl a b o r o r o a d v a n c e de n g e n g e g e r y n go f b s m，s h a n h a 10092 c h in a；3i n t i t u t o f g e o d e s n dg e o p h y s c s，c h i n e s ea c a d e m yo fs c i e

4、 n c e s，w u h a n，43077， c h i n a) a b t r a c t:l f t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t i t

5、 i 厄尔不允许在未来的几年内进行任何形式的飞行这是一个很好的例子，因为它是一个很好的例子xi的食品和药物管理局不同意厄尔食品和药物管理局的要求随着时间的推移，这种情况越来越多，这种情况也越来越多这是一个很好的例子，说明了为什么会出现这种情况： o r d i in a r yl e a s ts q u a r es；在许多实验和工程实际问题中将会遇到直线拟合问题，这些问题可以描述为：对于给定的m个测量点(但是，诅咒)，(f=1，2，干扰)， 寻找最佳拟合直线使之拟合的实质是寻找直线参数的斜率和截距的最佳估计，而拟合方法通常采用普通的最小二乘法来求解拟合参数。 该方法简单、实用、应用广泛。然

6、而，值得注意的是，由于自变量和因变量的选择不同，拟合线也不同。理论上，无论独立变量如何选择，都只能有一个最佳拟合结果。近年来，许多学者对这一问题进行了研究，但没有给出明确的答案。本文首先深入分析了因变量选择不同导致拟合结果不同的原因，然后用e . i . v . 4 . 1模型描述直线拟合方程，用全最大d . x-乘法计算拟合参数5 7 1。理论分析和实际计算表明，拟合整个最大d倍曲线可以获得最佳拟合效果。1用最小二乘法拟合直线的线性方程可以表示为nai=6(江1，2m) (1)，其中(马铃薯，m)是测量点的坐标，口是直线的斜率，b是y轴的截距，a和b是待估计的参数，口o和6 0是它们的近似值

7、。设a=a 0，如b=b 0，取y为因变量，x为自变量。误差方程是8 1。收到日期：2 0 0 7-0 1 2 5。基金项目：国家测绘局现代工程测量重点实验基金(e s b s m(07)05)；国家自然科学基金(4 0 7 7 1 1 7 8)作者简介：丁克良(1 9 6 8-)，男，淮阳人，博士，主要从事现代测量数据误差处理研究，主要研究方向：最小二乘法直线拟合4 5。 其中a=v=组未去氘椭圆训练(2)靴髓形成：压力误差方程y的矩阵表达式，第一个z月监狱：i v(3)在实际工程中，横坐标x也用作因变量，垂直坐着，两条腿和6个0-y 1嘴。 根据最大d乘准则，y 1 v=r a i n是驯

8、服的，而112-r a i n的最大d乘解是磁性的。1 a t，因变量残差用y作为自变量拟合，则线性方程可以表示为t=毛伊(f=1，2，m) (8)，求解方法与前一个相似。以上是直线拟合的常见做法。该方法的前提是只考虑因变量的误差，误差方程中的系数矩阵视为精确值。实际情况是横坐标x和纵坐标y有误差，系数矩阵a也有误差。表1同一组数据的不同因变量的计算结果。从计算结果可以看出，两种方法拟合的参数与观测值的误差存在明显差异。观测z和y是有误差的随机变量，拟合时只考虑因变量的误差(4)差，即一个变量的误差只能用普通的最小二乘法进行直线拟合。自变量的选择、观测精度和直线r的特性都会影响拟合结果，两种方

9、法的拟合结果不一致。v=a 6 x t(6 ),表1同一组数据中不同变量的最小二乘拟合比较t a1b 1l e s ts q u a r e sl i n ef i t n gc o m p r i o no fd e f e r e n tv a r i b l ea b o t h es a m ed a t a测量点坐标，hoe x5 95 44 44 63 53 72 82 82 4l 5 2墙：q墙：三垒：我！兰蕾：鱼：兰兹：数学模型y=a x b x=k，y k=2，嘴=l毛，b=a毛拟合准则l i(圆盘；6 a诅咒)i 2=m i n待估计参数的单位重量误差c m 0 (mao

10、nairu-x)，1 1 2=r a i n 2 0(mao nairu 1 8 5 33 1 0 6 7 7 2 o 3 1 6总最小二乘线性拟合如果考虑线性方程(1)中自变量x的误差，直线的条件方程可以表示为y=勺子(马铃薯)6(z=1，2和朋友)(9)。相应的误差方程(3)中的设计矩阵和观测向量j包含误差，因此误差方程可以根据e i v模型6来描述(e) s x=，易(1 0)注意，在设计矩阵中，一列元素的固定值为1，这是一个7 1的混合最小二乘问题，因此应该用混合最小二乘法来求解。设公式a=44中的4=1l1 t和4=52t。从参数求解、残差计算和精度评估三个方面描述了计算过程。2 1

11、增广矩阵c=【a1】是通过求解全局最小二乘参数构造的，它是q-footed的。辽宁工业大学学报(自然科学版)2 9卷l 4余集山m o万芳数据4 6可将方程分为两部分：r彩色r，6 a=冠，(1 3)英尺，6 a=英尺，(1 4)这里，r 1 1，r 1 2，英尺2 2和r 2都是标量。求解参数时，首先用全局最小二乘法求解方程(1 4)得到参数b a，然后用方程(1 3)用普通最小二乘法求解参数b a。构造增广矩阵c r=【r 2: foot，】,并对其进行奇异值分解c r=u e n t热u=bi 21 2 xd2xij小l包21圈21，l称为o v i l one-l j=d i a g

12、(o 1，)，o i o 2参数8 a的全局最小二乘解用作1个中心， (1 5)返回等式(1 3)以获得参数晶体6 b=g，q 1(属于广州局2) (1 6)您也可以根据以下公式求解井7(建立一个pi-1 m，未知数是旨在通过使用全局最小二乘法求解未知参数的丸，并且校正包括通过等式(e)的设计矩阵。 )a x=余，而适当的线方程y=锻造b表明基体校正层是设计好的。它应该是观测值x的校正数和观测向量e的校正数，即观测值y的校正数。v-1，“是x方向和y方向上的总最小二乘的校正数，而1”是正交方向的校正数。如图1所示，普通最小二乘法和全局最小二乘法的几何特征差异，以及普通最小直线拟合的单位重量平均

13、误差。残余误差可根据以下公式计算6。增广矩阵c名的修正是e r=阿香，n: (18)，一尺的修正是pong=瞄准不足，所以设计矩阵和观测向量的修正可以计算e巨 mao e也局=q t yao (2 0)，那么x方向和y方向的残差是j-y.ou (2 1) lb=局部正交距离残差=chi (2 2)从几何角度来看，全局最小二乘解准则是要求正交距离残差的平方和最小，所以对观测精度的评价应该根据正交距离残差来计算。gas=谚语bi=k t心谚语b (2 3)=(2 4)因为总最小二乘法考虑了x坐标和y坐标的误差，x方向或y方向的修正和正交距离残差小于普通d乘残差，单位重量的误差优于普通最小二乘法计算的误差。不同方法直线拟合计算结果的比较上面简单介绍了普通最小二乘法和全局最大d-乘法的直线拟合方法。为了比较和分析它们的拟合结果，以文献9给出