第1讲行列式.ppt

1、第一讲 行列式,一、考试要求,二、主要内容,三、典型例题分析,2. 会利用行列式的性质和行列式按行(列)展开定理计算行列式.,1.了解行列式的概念，掌握行列式的性质.,一、要求,二、主要内容,1. 排列的逆序数、奇偶排列、对换的定义及逆序数的计算法.,2. n 阶行列式的定义,称为 n 阶行列式.,即,表示所有取自不同行不同列的n个元素乘积,的代数和，,各项的符号由排列,的奇偶性决定，,奇负偶正，,1)行列式与它的转置行列式相等.,2)互换行列式的两行（列）,行列式变号.,则此行列式为零.,若行列式有两行（列）完全相同，,3)行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ,等于用数 k 乘

2、此行列式.,3. 行列式的性质,(即某一行(列)可提取公因数),若行列式有两行（列）元素对应成比例，,则此行列式为零.,第i 行 与 j 行 互换，,(列) (列),式可拆成两个行列式之和，,4)若行列式的某一行 (列)的元素都是两数之和，,5)把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数加到另一,(列)对应的元素上去，,行列式不变,这两个行列式的这一行(列)的,元素分别为对应的两个加数之一，,则该行列,其余各行(列)的元素,与原行列式相同.,4.行列式按行(列)展开定理,余子式与代数余子式的定义：,行列式按行（列）展开定理：,的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.,行列式等于它的任一行（列）,即

3、,且元素的余子式或代数余子式只与元素的位置有关，,与该元素的值无关.,行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的,对应元素的代数余子式乘积之和等于零，,即,或,说明：,5.主要公式及结论,1),2),3),4) 范德蒙 (Vandermonde)行列式,5)方阵的行列式,设 A 与 B 是 n 阶方阵，,三、典型例题分析,计算行列式，,或利用性质化为上(下)三角形行列式等已知结果的行列式求，,或用行(列)展开定理求.,特别二阶或三阶行列式可对角线法求.,或利用定义求，,利用行列式的性质进行计算，常用：,(1) 其余各行(列)加到同一行(列)

4、上去，,(2)其余各行(列)加或减同一行(列)的倍数，将行列式化简,(3)逐行(列)相加减或逐行(列)的倍数相加减，化简行列式；,(4) 把行列式拆成几个行列式的和（差）.,适用于各列(行)诸元素之和相等的情形；,或化为上（下）三角形行列式；,适用于相邻行(列)诸元素大小比较接近的情形；,(此种情况要注意先后顺序),解法1：,例1. 计算行列式.,1.数字型行列式,解法2：,直接按某一行(列)展开，再计算4个三阶行列式.,解法3：,例2 计算 n 阶行列式,解:,此行列式的特点是：,各行(列)元素之和相等.,特点：,解：,例3.计算,其余行与第一行比 仅主对角线元素不同,或其余列减第一列的倍数

5、，得下三角形行列式.,例4.,解法1：,箭形行列式,此行列式的特点是：,其余行与第一行比仅第一及主对角线上的元素不同.,解法2：,加边法,例5.计算,特点：,相邻的行(列) 元素较接近,解法2：,例6.计算,特点：,除最后一行外，相邻的行(列)的元素较接近,法二：,法三：,按第一行展开，用递推法,法4：,用数学归纳法.,若按最后一行展开，,如：,例7.,证明：,证法一：,(08,1,计算题中一问),(用归纳法),（三对角行列式）,证法二：,(用递推法),证法三：,(化为上三角形),例7.,求,解：,已知,例8.,解：,2.抽象行列式,已知 A 为3阶矩阵，且,则,分析：,(05,1,4,04),分析：,法1：,法2：,(04,1,2,04),分析：,(10,2,04),分析：,的第n列元素的代数余子式之和,计算n阶行列式,例9.,解：,3.关于代数余子式,已知,则,已知,则,分析：,例