从特殊三棱锥到一般三棱锥问题

1、1,解三棱锥,三棱锥对于多面体，如同三角形对于多边形.,三角形为多边形之根，三棱锥为多面体之根. 注意，三棱锥是个四面体，有4个面、6条棱.,图形的认识，从特殊到一般：,（1）三棱锥中最特殊的是正四面体，次特殊的是正三棱锥.,（3）与直三角形对应的有直三棱锥.,（2）与等腰直角三角形对应的有“正直三棱锥”.,（4）与等腰三角形对应的有“等腰四面体”.,2,解正四面体,正四面体化归为正方体求解.,在正方体 ABCD - A1B1C1D1中， 由6条面对角线 A1D、 BC1 、A1C1、 BD、A1B、DC1为棱的四面体即为 正四面体 A1 - BC1D.,正四面体A1- BC1D的棱长为1的正

2、方体 ABCD - A1B1C1D1 棱长的 倍 ；体积为正方体的1/3；且有公共的外接球，公共的中心和相等的外半径 .,3,“正直”三棱锥,我们把“三条侧棱相等且两两垂直的三棱锥”称作“正直三棱锥”. 它的三个侧面是全等的等腰直角三角形，1个底面是正三角形.正直棱锥的直观图画法有“立式”（左）和“卧式”（右）两种.,立式图中，1个侧面置于水平位置. 可以清楚地看到它在对应的正方体中的位置；卧式图中，它的底面置于水平位置，便于在竖直方向显示底面上的高线.,4,解正直三棱锥,二、线面关系 （1）垂直：AD与DCD1 （2）交成45 ：AD与ACD1,三、面面关系 （1）垂直：三侧面两两之间,（2

3、）交成arctan ：如平面ACD1与平面ACD,5,正直三棱锥的高线,【题目】 若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1. 求它高线VH的长度.,设斜高在 ABC上的射影为H，则H为 ABC的中心.,故有 高线,【说明】 正直三棱锥的高线长为外接正方体对角线长 的1/3 .,6,【题目】 若正直三棱锥V-ABC的侧棱长为VA=1. 求它高线VH的长度.,【解2】 （等积法）立式图中， 易知正直三棱锥的体积为,【证明】 等积法常用来“求点到平面的距离”.,又,7,正直三棱锥的外接球,【题目】 正直三棱锥的侧棱长为1，求其外半径长.,【解答】 易知正直三棱锥的“外心”O 在高线VH 的延长线上.

4、,设 VO = CO =x，则 HO =,又,8,考题展示,【考题】 （2006年川卷第13题）,【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥.,【解1】 立式图如右，OM 在ABC上射影为MC，OM与ABC的成角为OMC.,【说明】 线面角（OM与ABC成角）化为线线角（OM与MC）亦即面面角（C - AB - O）.,设OC =a，则OM =,故OMC = arctan （答案）,9,【考题】 （2006年川卷第13题）,【分析】 已知的三棱锥为正直三棱锥.,【解2】 卧式图如右，H为底面正三角形ABC的中心.,【说明】 本法容易误入迁解. 如先求OH和MH的长度.,得OMC = arctan （答

5、案）,OM与ABC的成角为OMC.,10,正方体内接三棱锥的个数,【问题】 以正方体8个顶点中的4个顶点作三棱锥，这样的三棱锥称正方体的内接三棱锥. 求正方体内接三棱锥的个数.,其中，共面的4点的个数是,（1）正方体的6个面；（2）正方体的6个对角面.,故正方体的内接三棱锥有 70 12 = 58 （个）,【答案】 从8个顶点中任取4个的组合数为,【说明】 这58个三棱锥与正方体同外心，共外接球.,11,“长棱”三棱锥,正方体内接三棱锥可分四类. 除了内接正四面体和内接正直三棱锥外，还有两类.,（1）斜三棱锥(图左). （2）底面为直三角形的直三棱锥(图右). 它们各有1条长度为 的“长棱”，

6、其外心在长棱的中点上.,12,直正三棱锥,底面为正三角形，且有一条侧棱垂直于底面的三棱锥称作“直正三棱锥”.,确定一个“直正三棱锥”需2个条件，即底棱长a和直棱长b.,“直正三棱锥”与“正直三棱锥”不同，后者的确定条件只1个.,直正三棱锥的四个面中：,（1）底面是正三角形；,（2）有2个侧面为直角三角形，它们都垂直于底面；,（3）另一个侧面为等腰三角形；,13,解直正三角形,（1）求三棱锥P-ABC的体积；,（2）求A到平面PBC的距离.,【解答】（1）P-ABC的体积,（2）设A到平面PBC的距离为h .,易得三角形PBC的面积为,14,【证明】 易知 BOAC，又BOPA,由（1），（2）

7、知 PC平面BOH.,【说明】 由此可知BHO为二面角BPCA的平面角.,（3）O为AC的中点，OHPC于H. 求证：PC 平面BOH.,所以BO面PAC BOPC （1）,又OHPC （2）,15,正三棱锥,侧棱长相等、底面为正三角形的三棱锥为正三棱锥. 确定一个正三棱锥需2个条件.即侧棱长b和底棱长a .,正三棱锥的直观图一般画成卧式，即置正三角形于水平面上，且使底面上的一条高线，如CD于水平线上.,锥顶V在底面上的射影为底面正三角形的中心H.,截面三角形VCD为锥体的轴截面：,（1）侧棱与底面的所成角为VCD. （2）侧面与底面所成二面角的平面角为VDC. （3）截面三角形的高线VH就是

8、锥体的高.,16,正三棱锥的判断,【考题】 （2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.,【判定】 由此推出，三侧面上的斜高相等，从而推得三斜高在底面上的射影相等，从而确定H为底面三角形的中心. 由此得，三侧棱相等（见右边的轴截面图）. 命题为真命题. 它成为正三棱锥“判定定理”之一.,17,正三棱锥的判断,【考题】 （2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.,【判定】 侧面是等腰三角形，其底边不一定是底面三角形的边. 如图右所示，可设VC=BC=

9、AC ，并让点V在直线VD上移动，可使VAB也为等腰三角形. 故命题是个假命题.,18,正三棱锥的判断,【考题】 （2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题： 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥.,【判定】 侧面的面积都相等，只须顶点V到三底边的距离相等. 到三边等距的点在平面上是三角形的内心和旁心. 到空间中，过底面三角形的内心和旁心的底面垂线上所有的点，都分别与三边等距. 故命题是假命题.,19,正三棱锥的判断,【考题】 （2005年全国题16）,下面是关于三棱锥的四个命题： 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.,【判定】

10、 由侧棱与底面所成的角都相等，可推断三条侧棱相等.,由侧面与底面所成的二面角相等，可推断侧面上的三条斜高相等，并推断底面三角形为正三角形.故三棱锥为正三棱锥.,命题为真命题，它成为正三棱锥“判定定理”之一.,20,【证明（）】 ACB=90，BCAC. PA底面ABCD， PABC BC平面PAC.,（）求证: BC平面PAC；,直三棱锥到直四棱锥,像四棱锥可化为三棱锥求解一样，直四棱锥也可化归为直三棱锥求解.,【题目】 四棱锥P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.,21,【题目】 四棱锥P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120

11、，PA= , ACB=90.,【证明（）】 易知ADC=60,（）求二面角DPCA的大小；,又AD=CD=1，ADC为等边三角形，且 AC=1.,取AC的中点O，则DOAC， PA底面ABCD，,PADO， DO平面PAC.,过O作OHPC，垂足为H，连DH，由三垂线定理知DHPC., DHO为二面角DPCA的平面角.由,二面角DPCA的大小为arctan2.,22,【题目】 四棱锥P ABCD中，ABCD, AD=CD=1，BAD=120，PA= , ACB=90.,（）求点B到平面PCD的距离.,【证明（）】 设点B到平面PCD的距离为d. ABCD，AB 平面PCD，CD 平面PCD,

12、AB平面PCD. 点B到平面PCD的距离等于点 A到平面PCD的距离.,【说明】 就是上面所说的“等积法”求点到平面的距离.,23,三棱锥的外心,任何一个三棱锥都有外接球，就像任何一个三角形都有外接圆一样.,三角形的外心到三个顶点等距，这个距离就是三角形的外半径.,三棱锥的外心到四个顶点等距，这个距离就是三棱锥的外半径.,外心的“心、顶等距”性质，是我们寻找外心的依据.,三棱锥外接球的球心，称作三棱锥的外心.,24,外心位置的确定,等腰三角形的外心在底边的高线上； 正三角形的外心为其中心； 直三角形的外心在斜边的中点上.,类比可以推出，一些特殊三棱锥的外心位置：,（1）正三棱锥的外心在底面的高线上.,（2）正四面体的外心为其中心.,（3）“长棱”三棱锥的外心在“长棱”的中点上.,25,（1）试确定三棱锥外心位置.,（2）求外半径的长度.,【解答】 （1）VAAB，取VB的中点O，,【题目】 三棱锥V ABC中，底面ABC是边长为1的正三角形. 且VA=VC= ，且VAAB.,显然有