过程控制技术-第二章 过程控制系统的数学模型

1、过程控制技术,第二讲 被控对象的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,所谓被控对象（或环节）的特性，就是被控对象（或环节）的输出变量与输入变量之间的关系。 其特性可以用关系曲线表示，具有直观、简单、明了的特点； 若用数学表达式来描述更具有普遍意义。,2 过程控制系统的数学模型,2.1被控对象的数学模型 数学模型 描述被控对象（或环节）特性的数学表达式称为被控对象（或环节）的数学模型； 描述过程控制系统特性的数学表达式称为系统的数学模型。,2 过程控制系统的数学模型,数学模型可以有不同的表示形式: (1) 如微分方程式、传递函数和频率特性表示式，它们常用于经典控制理论； (2)而状态空间表达式这

2、种数学模型又常用于现代控制理论。 各种数学模型表示形式可以互相转换，微分方程式是最基本的表示形式。,2 过程控制系统的数学模型,关于建立被控对象数学模型（微分方程式）的一般步骤可归纳为： （1）根据被控对象的内在机理，列写基本的物理学定律作为原始动态方程式； （2）根据被控对象的结构及工艺生产要求进行基本分析，确定被控对象的输入变量和输出变量； （3）消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方程式； （4）若微分方程式是非线性的，则需要进行线性化。,2 过程控制系统的数学模型,一阶被控对象的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,图-所示的蒸汽直接加热器是一个简单传热对象，（a）图是由蒸

3、汽直接加热器构成的温度控制系统，（b）图是控制系统中的被控对象方块图。工艺要求热流体温度（即容器内温度）保持恒定值，温度控制器根据被测温度信号与设定值的偏差，经计算后去控制控制阀，以控制加热蒸汽的流量，使被控温度达到工艺要求。蒸汽是通过喷嘴与冷流体直接接触的热交换过程，故必符合热量平衡关系。,2 过程控制系统的数学模型,（1）列写原始动态方程式 依据热量平衡关系式：,2 过程控制系统的数学模型,（2）确定输入变量和输出变量 由图-（）所示可知，被控对象的输出变量就是被控变量热流体出口温度out；输入变量是表征控制作用和扰动作用的变量，控制作用是蒸汽热量q s的变化，扰动作用则是冷流体的流量F

4、in或冷流体的温度in的变化。,2 过程控制系统的数学模型,（3）消去中间变量得微分方程式 所谓中间变量就是原始动态方程式中出现的一些既不是输入变量又不是输出变量的变量。,2 过程控制系统的数学模型,（4）通道数学模型 所谓通道是指对象输入变量至输出变量的信号联系。控制作用至被控变量的信号联系称之为对象的控制通道。扰动作用至被控变量的信号联系称之为对象的扰动通道。,2 过程控制系统的数学模型,式（-）中q s0是常数项，因此式（-）成为只有输出变量（被控变量）out与输入变量in的微分方程式，该式称为蒸汽直接加热器扰动通道的微分方程式。,2 过程控制系统的数学模型,（5）建立增量方程式 输出变

5、量和输入变量用增量形式表示的方程式称为增量方程式。变量进行增量化处理后，使方程不必考虑初始条件；能使非线性特性化成线性特性；而且符合线性自动控制系统的情况。因为在过程控制系统中，主要是考虑被控变量偏离设定值的过渡过程，而不考虑在t时刻的被控变量。现以蒸汽直接加热器为例，说明增量方程式的列写方法。,2 过程控制系统的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,通过上述示例及多个示例分析，可以发现虽然被控对象的物理过程不一样，只要它们具有相同的数学模型，即都是一阶微分方程式，故称为一阶被控对象。现在将它们表示为一般形式：,2 过程控制系统的数学模型,今后在习惯上为书写的便利，

6、可以将一阶微分方程式中的增量“”省略，但要理解为是相应变量的增量。因此，一阶被控对象的数学模型便可写成：,2 过程控制系统的数学模型,于是上述所讨论的温度对象的阻力系数是： 热阻温差/热量流量 容量系数是： 热容被储存的热量的变化/温度的变化,2 过程控制系统的数学模型,二阶被控对象的数学模型 二阶被控对象数学模型的建立与一阶类似。由于二阶被控对象实际是复杂的，下面仅以简单的实例作一介绍。 【例2-2】 两个串联的液体储罐如图2-2所示。为便于分析，假设液体储罐和储罐近似为线性对象，阻力系数1、2近似为常数。,2 过程控制系统的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,（1） 建立原始方程式：,2

7、 过程控制系统的数学模型,（2）若输入变量1 ，输出变量2 。 （3）消去中间变量得数学模型：联立式（-14）、式（-15）、式（-16）和式（-17）四个方程式并整理得：,2 过程控制系统的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,式（-21）就是图-2所示两个串联液体储罐当输入变量为1、输出变量为2时的数学模型。同时可知是两个独立的储罐构成的二阶对象， 其特性是两个独立的一阶特性的串联。 二阶被控对象的数学模型一般形式（线性常系数）为：,2 过程控制系统的数学模型,上述介绍的是理论推导被控对象的数学模型方法，对于简单的被控对象（或进行理想化）是容易的，实际生产过程中

8、的被控对象十分复杂，工程中需要依靠实验方法获取被控对象的数学模型，详见本章第三节专门介绍。,2 过程控制系统的数学模型,2.2过程控制系统的传递函数 描述系统或环节特性的数学模型可以是微分方程式，而传递函数是描述过程控制系统或环节动态特性的另一种数学模型表达式。 传递函数可以更直观、形象地表示出一个系统的结构和系统各变量间的相互关系，并使运算大为简化。经典控制理论就是在传递函数的基础上建立起来的。,2 过程控制系统的数学模型,传递函数 一般过程控制系统或环节的动态方程式可写成： 整理后得出：,2 过程控制系统的数学模型,过程控制系统或环节的传递函数，就是在零初始条件下，系统或环节输出变量y（）

9、的拉氏变换（）与输入变量x（）的拉氏变换X（）之比， 记作：,2 过程控制系统的数学模型,（2） 典型环节及其传递函数 过程控制系统是由基本环节所组成的，所谓基本环节就是典型环节。只要数学模型一样，它们就是同一种环节，因此典型环节为数不会太多。一阶环节又称惯性环节。 微分方程式： 传递函数：,2 过程控制系统的数学模型,二阶环节 二阶环节微分方程式的一般形式为： 传递函数：,2 过程控制系统的数学模型,比例环节 微分方程式： y（）x（） 传递函数： （） 比例环节又称无惯性环节或放大环节。 积分环节 微分方程式： 传递函数：,2 过程控制系统的数学模型,微分环节（理想微分） 微分方程式： 传

10、递函数：（）s,2 过程控制系统的数学模型,纯滞后环节 纯滞后环节又称延迟环节。 微分方程式： y（t）x（-） 传递函数： （）-s,2 过程控制系统的数学模型,过程控制系统的方块图及其简化 环节基本组合方式及其传递函数 （1）串联 环节串联是最常见的一种组合方式，如图-3所示。串联组合方式中，前一环节的输出即为后一环节的输入（后一环节对前一环节的输出没有影响即没有负载效应）。由图2-3可得,2 过程控制系统的数学模型,可见，环节串联后总的传递函数等于各环节传递函数的乘积。,2 过程控制系统的数学模型,（2）并联 对于并联的各个环节输入都相同，而它们的输出的代数和就是环节总的输出,如图-4所

11、示。,2 过程控制系统的数学模型,可见，环节并联后总的传递函数等于各环节传递函数的代数和。,2 过程控制系统的数学模型,（3）反馈连接 如图-5所示，输出（）经过一个反馈环节（）后，反馈信号（）与输入（）相加减，再作用到传递函数为（）的环节。,2 过程控制系统的数学模型,由图-5可推导： （）（s）（s）-（s）（s）（s）-（s）（s） 所以，反馈连接后其总的传递函数为： 正反馈,2 过程控制系统的数学模型,2. 过程控制系统的方块图简化 方块图等效变换的规则 所谓等效变换，即经过对方块图变换或简化后，没有改变其传递函数的表达形式，没有改变输入和输出的动态关系，这种变换称为等效变换。,2 过

12、程控制系统的数学模型,（1） 各支路信号相加或相减时，与加减的次序无关，即连续的比较点（相加减点）可以任意交换次序。如图-6所示。,2 过程控制系统的数学模型,（2） 在总线路上引出分支点时，与引出次序无关，即连续分支点可以任意交换次序。如图-7所示。,2 过程控制系统的数学模型,（3） 线路上的负号可以在线路前后自由移动,并可越过某环节方块，但它不能越过比较点和分支点，如图-8所示。,2 过程控制系统的数学模型,（4） 比较点的前移或后移，则需乘以或除以所越过的环节传递函数，如图-9所示。,2 过程控制系统的数学模型,（5） 分支点的前移或后移,则需乘以或除以越过的环节传递函数，如图-10所

13、示。,2 过程控制系统的数学模型,在进行方块图的等效变换时，还需注意几点。 方块图的等效变换其目的是化简方块图，考虑问题时应从如何把一个复杂的方块图通过等效变换，化简成基本的串联、并联、反馈三种组合方式。采用的方法一般是移动比较点或分支点来减少内反馈回路。 反馈连接与并联连接要区分清，特别是在复杂方块图中易搞错。反馈是信号从环节的输出端取出引回到环节的输入端；并联是信号从环节的输入端取出引向到环节的输出端。 在基本变换规则中指出，比较点可互换，分支点可互换。但比较点与分支点不能互换次序。,【例-3】 图-11(a)所示方块图是互交反馈，等效变换的具体方法是移动比较点a或移动分支点b，正确方法是

14、(b)、(c)图，(d)图为错误方法。,图2-11 方块图等效变换示例,2 过程控制系统的数学模型,过程控制系统的传递函数 过程控制系统的典型方块图如图-12所示。根据前面的分析，如果知道了组成过程控制系统的各个环节的传递函数，则通过方块图的运算与等效变换，便可求出系统的开环传递函数、闭环传递函数和偏差传递函数。,2 过程控制系统的数学模型,（1） 系统开环传递函数 当反馈回路断开后，系统便处于开环状态，其反馈信号Z（s）与偏差信号（s）之比，称为系统的开环传递函数，即 可见，系统开环传递函数等于前向通道传递函数与反馈回路传递函数的乘积。,2 过程控制系统的数学模型,当反馈传递函数Gm（s）1

15、时，称系统为单位反馈系统，此时，开环传递函数与前向通道传递函数相同。 当反馈回路接通时，系统便处于闭环状态，其系统的输出变量与输入变量之间的传递函数，称为闭环传递函数。,2 过程控制系统的数学模型,（2） 定值系统的传递函数 由于设定值是生产过程中的工艺指标，在一定时间内是不变的，即X（s）（设定值的增量为零）。,2 过程控制系统的数学模型,其闭环传递函数为：,2 过程控制系统的数学模型,（3） 定值系统的偏差传递函数 以偏差信号E（）为输出量，以扰动信号（）为输入量的闭环传递函数，称为定值系统的偏差传递函数。现将图-12（）变换成图-14形式，则可写出偏差传递函数：,2 过程控制系统的数学模

16、型,可见，定值系统的偏差主要由外界扰动所引起。因此，式中的负号表明偏差与扰动作用的方向相反（x z -z），式（-62）将用于分析定值系统的偏差。,2 过程控制系统的数学模型,（4） 随动系统的传递函数 这类系统是把设定值的变化作为系统的输入变量，只考虑X（s）对Y（s）的影响，忽略其他扰动作用的影响即F（s）0。因此将图-12（）变换成图-15所示的随动系统方块图。,2 过程控制系统的数学模型,其传递函数为：,2 过程控制系统的数学模型,（5） 随动系统的偏差传递函数 以偏差信号（s）为输出量，以设定值（s）为输入量的闭环传递函数，称为随动系统的偏差传递函数。现将图-12（b）变换成图-16

17、形式，则可写出其偏差传递函数：,2 过程控制系统的数学模型,（-45）将用于分析随动系统的偏差。,过程控制技术,第四讲 被控对象数学模型的实验测取,2 过程控制系统的数学模型,2.3被控对象数学模型的实验测取 被控对象或环节数学模型的获得有两种途径，一种是理论推导方法，另一种是用实验测试方法。本章第一节介绍的是理论推导方法，对简单被控对象或环节比较容易，对于工业上多为复杂的被控对象就十分困难，此时往往需要依靠实验方法来得到其数学模型，所以实验方法对工程来说是十分有效的手段。,2 过程控制系统的数学模型,实验法测取数学模型，就是在实际工作对象上施加典型的试验信号（常用阶跃信号或矩形脉冲信号），测

18、得反映动态特性的反应曲线，经过工程简化、数据处理和计算，便得到表征被控对象或环节动态特性的数学模型。 常用的实验测试方法有阶跃法、矩形脉冲法、频率法和统计相关法等，重点介绍阶跃法的数据处理。,2 过程控制系统的数学模型,对象的自衡特性 1）有自衡对象 所谓有自衡对象是当对象受到扰动后，虽然原有平衡状态被破坏，但无需人力或自动控制装置的帮助而能自行重建平衡。有自衡对象实例特性如图-17所示。 （2）无自衡对象 对于无自衡对象，它没有自行重建平衡的能力，在扰动的影响下，输出会无限制地变化下去，直至发生事故。无自衡对象示例及其特性如图-18所示。由于无自衡对象受到阶跃作用后，其输出变量很容易超出工艺

19、指标的许可范围。因此，只有在特殊情况下，才允许测取无自衡对象的阶跃反应曲线。,2 过程控制系统的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,阶跃法的数据处理 当给对象输入端施加一个阶跃扰动信号后，对象的输出（在测试记录仪或监视器屏幕上）就会出现一条完整的记录曲线，这就是被测对象的阶跃反应曲线，如图-19所示。,2 过程控制系统的数学模型,在工程上，对于有自衡的工业对象常用一阶或一阶带纯滞后环节的传递函数来近似，即 对于无自衡的工业对象常用积分环节或具有纯滞后的积分环节的传递函数来近似，即,2 过程控制系统的数学模型,.由阶跃反应曲线确定一阶特性的特征参数 当对象在阶跃信号作用下，其反应曲线如图-20

20、所示。此对象传递函数可用一阶特性来近似，即 （）/（s），为此需确定对象的放大系数与时间常数。 （1）放大系数可由阶跃反应曲线的稳态值y（）除以阶跃作用的幅值求得，即,2 过程控制系统的数学模型,2 过程控制系统的数学模型,（2）时间常数 作图求时间常数可在阶跃反应曲线于O点处作切线，它与y（）的渐近线y（）= 相交于点，过点向时间轴作垂线，交于1点，则时间常数1，如图-20所示。 时间常数不仅可以从反应曲线的原点作它的切线求到，也可在y（t）的反应曲线上任一点作它的切线， 在这切线与y（）的交点作垂直与时间轴的垂线，则这切点到这垂线距离即为时间常数，如图-20所示。,2 过程控制系统的数学模

21、型,解析求 。因为一阶特性所描述的对象其微分方程式为： 在幅度为的阶跃扰动作用下，上式可写成：,2 过程控制系统的数学模型,因为 dy（t）/dt在几何上表示曲线y y（t）的切点处的切线斜率，所以：,2 过程控制系统的数学模型,2. 由阶跃反应曲线来确定带纯滞后的一阶特征参数 在反应曲线测得后，经过近似处理，通常如图-19（a）所示，通过反应曲线的拐点s （曲线斜率的转折点）作一切线，将实际特性简化，近似为一个纯滞后环节与一阶环节串联。由图-19（）的标注便可直接求得特征参数： 纯滞后时间 t1 - t0 时间常数 t2 - t1 放大系数,2 过程控制系统的数学模型,3.由阶跃反应曲线确定

22、无自衡对象的特征参数 无自衡对象的传递函数可用 故为了从实验测试获得的阶跃反应曲线计算积分时间常数，可先对阶跃反应曲线在变化速度最大处作切线，计算其最大变化速度 y（），即,2 过程控制系统的数学模型,对于积分环节微分方程式为： 其积分速度,【例-4 】 已知对某焙烧炉的投料量施加了从.t/h突变到.t/h的阶跃扰动，测得焙烧炉出口炉气的温度变化如表-2的记录数据，试求该温度对象的数学模型。,根据记录数据，在坐标纸上画出焙烧炉的出口温度反应曲线，如图-21所示。,2 过程控制系统的数学模型,本 章 小 结 1.主要内容 （1）描述系统（或环节）性能的数学表达式，叫做系统（或环节）的数学模型。数

23、学模型有多种形式： 数学表达式，如微（差）分方程、传递函数等； 图示形式，如方块图等。 常系数线性微分方程是线性系统数学模型的基本形式。,2 过程控制系统的数学模型,（2）建立控制系统的数学模型，关键是建立被控对象（或环节）的微分方程式，其步骤如下： 根据被控对象（或环节）的内在机理，列写基本的物理基本学定律作为原始动态方程式； 根据被控对象（或环节）的结构及工艺生产要求进行具体分析，确定被控对象（或环节）的输入量和输出量； 消去原始方程式的中间变量，最后得到只包含输入量和输出量的方程式，即被控对象（或环节）的输入输出微分方程式； 若得到的微分方程式是非线性的，则需要进行线性化。,2 过程控制系统的数学模型,（3）传递函数是常用的一种数学模型。传递函数的定义为：在零初始条件下，系统（或环节）输出变量的拉氏变换（）与输入变量的拉氏变换（）之比，记作（）。 （4）方块图是系统（或环节）数学模型的图形表示形式。它们是将系统（或环节）各组成部分的传递函数，依据它们之间的信号传递关系而连接起来的系统（或环节）结构示意图。采用方块图作为系统（或环节）的数学模型，能对系统内部各物理量的