传热学V4-第四章-导热数值解法

1、第四章热传导问题的数值解法、传热学Heat Transfer、有限差分法的基本思想：有限的小差分、差商近似无限小微分、微商，用代数形式的差分方程式近似微分方程，通过解差分方程式求出有限时刻物体有限节点上的温度值。 传热学Heat Transfer、数值计算方法的基本思想是，用有限离散点上的数值集合置换在时间、空间坐标系中连续的物理量场，通过解由离散点物理量构成的代数方程式求出，把得到的解称为数值解。 1、2、6、3、4、5、数值计算方法的优点：多维改性物性复杂几何形状复杂边界、二维矩形区域内定常、无内热源、常物性的热传导问题、热传导学Heat Transfer、Step-1:控制方程式和边界条

2、件、二维矩形区域内定常、无内热源、常物性的热传导问题， 传热学Heat Transfer Step-2:计算区域的离散化，基本概念：网格线节点(内节点、边界节点)控制容积边界线阶梯的均匀/不均匀网格，二维矩形区域内的稳态、无内热源、常物性的传热问题、传热学Heat Transfer， Step-3:建立了节点的离散(代数)方程式的基本方法： Taylor级数展开法控制容积平衡法(热平衡法)，内节点、边界节点、直线边界节点、边界内节点、边界外节点、热传导学Heat Transfer、内节点离散方程式的导出(泰勒级数展开法)， 1 .向相邻节点导出温度t内节点(m，n )的泰勒级数展开式，x :

3、(m，n )的相邻节点为(m 1，n )，(m-1，n) y : (m，n )的相邻节点为(m，n 1 )、(m，n-1 )、x方向、传热学heat t 内节点离散方程的导出(泰勒级数展开法)，2 .整理了二次导数的中心差分，截断误差：级数馀项中x的最低阶数为2，即中心差分格式具有二次精度。 3 .从控制方程式得出的内节点(m，n )的离散代数方程式通过对中心差分、传热学Heat Transfer、内节点离散方程式的导出(热平衡法)、基本思想：每有限大小的控制容积应用能量守恒，获得了温度场的代数方程式。 它从基本物理现象和基本定律，无需事先建立控制方程式，而是根据能量守恒和Fourier热传导

4、定律。 从从所有方向流入控制体的总热量控制体内热源生成热控制体内能量的增加量，在稳定的、没有内部热源的情况下：从所有方向流入控制体的总热量0、传热学Heat Transfer、内节点离散方程式的导出(热平衡法)、控制体的各界面线(图中虚线)上进行傅立叶热传导的建立了传热学Heat Transfer :传热学Heat Transfer，Step-3:节点离散(代数)方程式，基本方法：基于Taylor (泰勒)级数展开法的容积平衡法(热平衡法)，内节点，边界节点，直线边界节点，边界内节点一类边界条件：方程闭合，可直接求解两种、三种边界条件：边界温度未知，方程不闭合，将两种边界条件和三种边界条件结合

5、起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度公式。 用表示内热源。边界节点离散方程式的导出(热平衡法):热传导学Heat Transfer、二维矩形区域内的稳定性、常物性的热传导问题、从所有方向流入控制体的全热控制体内热源导出热0、直线边界节点、边界节点离散方程式(热平衡法):热传导学Heat Transfer， 二维矩形区域内的稳态性、常物性的热传导问题从所有方向流入控制体的总热量控制体内热源生成热0、边界外角点、边界节点离散方程式的导出(热平衡法):热传导学Heat Transfer、二维矩形区域内定常物性的热传导问题、从所有方向流入控制体的总热量控制体内热源生成热0， 边界内角点、边界

6、节点离散方程的两个具体问题：传热学Heat Transfer、边界热流密度的具体处理方法、隔热边界、第二类边界、第三类边界、不规则边界的处理方法、多级折线模拟不规则边界，网格越密，越接近实际，坐标变换： 建立节点离散方程式的泰勒级数法和热平衡法的比较：泰勒级数法是一种单纯的数学方法，热平衡法根据能量保存原理，物理概念明确、导出过程简单的泰勒级数法在难以建立边界节点的离散方程式的热传导物体的物性和内部热源不均匀时，无法应用泰勒级数法，但不能处理热平衡法、传热学Heat Transfer、Step-4:安装温度场的反复初始值、n个未知节点温度、n个代数方程式：Step-5:节点离散(代数)方程式的

7、求解、传热学Heat Transfer、直接解法、直接解法：矩阵求逆， 高斯消元法等缺点：所需内存大，方程式数多不方便，非线性问题(如果物性是温度的函数，则节点温度差分方程式的热传导系数不是常数，而是温度的函数。 这些系数在计算过程中必须相应地更新)，迭代解法：雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法、缓和法等首先假设计算的情况(给出初始值)，在迭代计算的过程中持续改善计算结果和假设值的结果直到低于允许值为止。 据说反复计算收敛了。Step-5:节点离散(代数)方程式的解的传热学Heat Transfer、Gauss-Seidel迭代法：每次迭代都使用节点温度的最新值，计算后续节点温度时的

8、最新值：第k次迭代的数值：传热学heat transfer step-5 方程式的求gauss-seiedel迭代法，热传递学Heat Transfer，Step-5:节点离散(代数)方程式的求gauss-seiedel迭代法，判断反复是否收敛的基准：or，or， 可接受的偏差通常是为了10-310-6 k次迭代而获得的计算区域温度的最大值，如果存在计算区域温度接近0的值，则可以采用Gauss-Seidel迭代法来求解传热学Heat Transfer，Step-5:节点离散(代数)方程式，以确保数值解的正确性三个检验标准：实验验证、精密分析解验证、特定问题的标准解验证数值计算中经常存在偏差，增

9、加节点数可以减少误差。 计算网格独立性。 我如何避免反复发散呢？ 必须满足对角占优的原则：每个反复变量的系数是该式的其他变量系数的绝对值的代数和(参照教材例题4-1 )、Step-6:解的分析、热传导学Heat Transfer、4-4非稳定热传导问题的数值解法、非稳定项、稳定项(扩散项)、索稳态扩散项的离散形式：中心差分形式的非稳态项的离散形式：前方差分形式、后方差分形式、中心差分形式、热传导学Heat Transfer、平板加热问题的第三类边界条件、一维非稳态热传导微分方程和定解条件：边界条件、初始条件、4-4非稳态热传导问题的数值解法， 热传导学Heat Transfer 4-4瞬态热问

10、题的数值解法、前向差分格式、后向差分格式、中心差分格式、非稳态项的离散格式的结构：泰勒级数展开法，x表示空间步长、偏微分方程、离散化代数方程式、非稳态项前向差分、扩散项点(n，I )、热传导学Heat Transfer 4-4非稳态热传导问题的数值解法，非稳态项的离散格式的结构：热平衡法，从所有方向流入控制体的总热量控制体内能量的增加，内节点n，热传导学Heat Transfer，4-4非稳态热传导问题非稳态项离散格式的结构：热平衡法、左对称绝热边界、热传递学Heat Transfer 4-4非稳态热问题的数值解法、非稳态项的离散形式的结构：热平衡法、右第三类边界、热传递学Heat Trans

11、fer、4-4非稳态热问题的数值解法、形式存在稳定性问题显示形式：形式的右侧都是第I时间层的温度值，如果知道I时间层的温度，就可以计算i 1时间层的温度。瞬态热节点离散方程的两种形式：空间阶x和时间阶的选择有限，形式的稳定性条件：热传导学Heat Transfer，4-4瞬态热问题的数值解法、隐式形式、瞬态热节点离散方程的两种形式：隐式形式：空间离散为(i 1 )时层的值隐式格式并没有稳定性的问题，对时间步和空间步没有限制，但计算量很大。 传热学Heat Transfer，传热问题的数值计算是上机实践，例题4-6无限大平板的一维非稳态传热问题的数值计算(1)自主编程，编程语言的定制，最后提出源程序(2)提出电子报告(word形式) (a )空间离散模式图(2)。 节点离散方程(表示，隐式可共) (c )可以利用温度分布(origin或matlab) (d )分析空间步骤和时间步骤对计算结果的影响)，例题4-5维肋稳态热传导问题的数值计算(1)自主编程，编程语言定制最后， 提交源程序(2)提交电子报告(word形式):(a )空间离散示意图(网