数值分析课件

1、数值分析,Tel: (o)68914322,(m) Email： Address: 中心教学楼906#,课程内容,第一章 数值计算中的误差 第二章 方程（组）的迭代解法 第三章 解线性方程组的直接解法 第四章 解线性方程组的迭代法 第五章 插值法 第六章 数值积分与数值微分,第一章 数值计算中的误差,本章内容,1 计数与数值 2 舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差 4 算法举例 5 数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法,2 舍入方法与有效数字,2 舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差,近似数a的绝对误差 ， 设a是精确值A的近似值， =aA 绝对误差限 |=|aA|(上

2、界) 由上式可推知 a Aa+，也可表示为A=a,简称误差,相对误差 ： 绝对误差与精确值之比 =/A。 实际计算/a。 代替后误差,相对误差限 |=|/a | /|a| (上界) 绝对误差是有量纲的量，相对误差没有量纲,有时亦用百分比、千分比表示。,2 舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差,例：计算绝对误差与相对误差 (1) a=0.3100*101 近似精确值A=0.3000*101 (2) a=0.3100*10-3近似精确值 A=0.3000*10-3， 解： (1)=0.1， (2)=0.1*10-4，,2 舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差,=0.033=3.

3、3% =0.033=3.3%,例：用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙， 分别读出长度a=312mm和b=24mm，问： (1) a、b的绝对误差限、相对误差限各是多少？ (2)两直杆实际长度x和y在什么范围内？,解：,2 舍入方法与有效数字 2.1 绝对误差与相对误差,舍入方法: 将无限位字长的精确数处理成有限位字长近似数的处理方法,A=a0 a1 am . am+1 am+n + 0 . 00 am+n+1 ,2 舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法,取a=a0 a1 am . am+1 am+n,| aA | 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 999. 0 . 0 0 1

4、=110n,截断法产生的绝对误差限不超过近似数a最末位的1个单位。,2 舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法 2.2.1 截断法,四舍情况， 当am+n+1 =0,1,2,3,4时， 取 a= a0 a1 am . am+1 am+n,|aA| 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 499. 0 . 0 0 5=0.510-n,0,1,2,3,4,2 舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法 2.2.2四舍五入法,绝对误差限 =0.510-n,五入情况 当am+n+1 =5,6,7,8,9时， 取 a= a0 a1 am . am+1 (am+n+1),|=| aA |= 0 . 0 0

5、1 0 . 0 0 am+n+1 0 . 0 0 1 0 . 0 0 50. = 0.510-n,5,6,7,8,9,2 舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法 2.2.2四舍五入法,绝对误差限 =0.510-n,四舍五入到小数点后第n位的方法: | 0.510-n = 0.510-n 结论：凡是由准确值经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。,2 舍入方法与有效数字 2.2 舍入方法 2.2.2四舍五入法,例：设a=-2.18和b=2.1200是分别由准确值x和y经过四舍五入而得到的近似值，问: a、b的绝对误差限、相对误差限各是多少？,解：,2 舍入方法与有效数字

6、 2.2 舍入方法 2.2.2四舍五入法,定义：如果近似数x的绝对误差不超过某一位数字的半个单位，则称x准确到这一位； 从该位数字到第一位非零的所有数字均叫做有效数字； 若共有n位数字，则称x具有n位有效数字。 若近似数x的绝对误差不超过最末一位的半个单位，则称x为有效数。,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,推论1 对于给出的有效数，其绝对误差限不大于其最末数字的半个单位。,由准确值经过四舍五入得到的近似值是有效数。,例：设x*=2.40315是精确值x=2.40194的近似值，则x*有几位有效数字？,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,0. 5 10-2,解： |= |2.40

7、315-2.40194|=0.00121 x*有3位有效数字。,推论2 有效数的相对误差限为,有效数位越多，相对误差就越小。,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,证明： 令有效数A=a0 a1 am . am+1 am+n,例：计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0.01%？,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,解： Sin1.2=0.932039 设取n位有效数字 则：510-n/90.01% 10-n 1.4 10-4 n 4 取4位有效数字。,注1： 从有效数x的最末位数字向左到x的第一位非零数字均为有效数字。,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字

8、,由准确值经过四舍五入得到的近似值为有效数，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字。,例：x=1.315416876, 如果取作1.32，则有三位有效数字,误差限0.005; 如果取作1.3154，则有五位有效数字,误差限为0.00005。 0.003529 0.00352900,注2： 浮点数的有效数字由其定点部分的有效数位确定。,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,例：有效数x=1510-5, 定点部分15有2位有效数字 x有2位有效数字 误差限为0. 5 10-5 相对误差限为 有效数y=7.83105 y有3位有效数字,，误差限为0.005 105=0.5 103,例：下列近

9、似值的绝对误差限都是0.005: a=1.38，b=-0.0312，c=0.8610-4 ，d=0.86104 问：各个近似值有几个有效数字？ 从小数点后第二位开始数起 解： a:n=3 (1,3,8) b:n=1 (3) c:n=0（没有有效数字） d:n=6（8,6,0,0,0,0）,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,注3： 若已知数x及其误差限，要求确定其有效数位并对x作舍入处理。,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,将扩大成 0. 5 10-k，对x舍入到小数点后k位。 例：x=2.45648,其误差限 0.000789456。 0.000789456 0. 5 10-2

10、 x= 2.45648 ，有3位有效数字。 舍入处理为x= 2.46 。,x= 2.46 不是有效数。 其误差包含了舍入误差与原误差。,注4： 若要求近似数x的误差限小于，确定x取几位有效数字。,2 舍入方法与有效数字 2.3 有效数字,将缩小成0. 5 10-k ，对x对应的精确数舍入到小数点后k位得到x 。 例：要求x的误差限小于 = 0.00045。 0. 5 10-4 0.00045 x取至小数点后第4位。,2.1 绝对误差与相对误差 设A是精确值，a是近似值， 绝对误差 =aA 绝对误差限 |=|a-A|(上界) 相对误差 = /A 相对误差限 = /|A| (上界) 绝对误差和相对

11、误差有关系 =a ,2 舍入方法与有效数字小结,2.2 舍入方法 截断法: 绝对误差限为最末位的1个单位 四舍五入法: 绝对误差限为末位的半个单位,2 舍入方法与有效数字小结,我们希望所表示的数本身就能显示出它的准确程度，于是引入 2.3 有效数字反映绝对误差限 有效数的绝对误差限为最末数字的半个单位 由准确值经过四舍五入得到的近似值，从它的末位数字到第一位非零数字都是有效数字 在讲了有效数字之后，规定，所写出的数都应该是四舍五入到最后一位有效数字位。,2 舍入方法与有效数字小结,本章内容,1 计数与数值 2 舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差 4 算法举例 5 数值计算中的误差 6 误

12、差分配原则与处理方法,3 算术运算中的误差,x*，y*为准确值，x，y为其近似值 绝对误差为：x=x-x*，y=y-y* 绝对误差限为: |x-x*| x , |y-y*| y C=xy C=CC*= (xy) (x*y*) (x-x*) (y-y*)= x y | C| |x| + |y| x+ y,和差运算的绝对误差限为各数的绝对误差限之和。,3 算术运算中的误差 3.1 加减运算,C,例1.1： 求有效数285.35，196.87，58.43，4.96的和。,和545.61的绝对误差限为:,4(0.510-2)=0.02,545.61有4位有效数字，舍入处理为545.6,3 算术运算中的

13、误差 3.1 加减运算,0.05,例1.2: 求有效数3.150950，15.426463，568.3758， 7684.388的和。,0.5*10-2,和=8271.34,误差限,3 算术运算中的误差 3.1 加减运算,和的绝对误差限为 3*(0.5*10-4)+0.5*10-3=0.000650.005 和=8271.34,3 算术运算中的误差 3.1 加减运算,3 算术运算中的误差 3.2 乘积运算,若多元函数f在其定义域内的一点(x1,x2, xn)可微，则f在该点的增量可表示为： 或,3 算术运算中的误差 3.2 乘积运算,x*,y*为准确值,x,y为其近似值 绝对误差为:x=x-x

14、*,y=y-y* 绝对误差限为: |x-x*| x , |y-y*| y C=xy dC近似C， dxx， dyy。, |C| |y| |x| +|x|y| |y| x+ |x| y,dC=xdy+ydx,C=yx+xy,乘积运算的相对误差为各乘数的相对误差之和； 乘积运算的相对误差限为各乘数相对误差限之和。,3 算术运算中的误差 3.2 乘积运算, |C| |y| |x| +|x|y| |y| x+ |x| y, C=x + y,C,| C| =|x+y| =|x|+|y| x + y,商运算的相对误差限等于除数与被除数的相对误差限之和。,3 算术运算中的误差 3.3 商运算, C=x +

15、y,例1.4：求有效数25.7和3.6的商以及商的相对误差限和绝对误差限。,解：,C 0.05/25.7+0.05/3.6=0.016,C=25.7/3.6=7.13889,C = 7.13889*0.016=0.110.5,3 算术运算中的误差 3.3 商运算,25.7/3.6=7,3 算术运算中的误差 3.3 幂运算,幂运算的相对误差等于底数相对误差的指数倍 幂运算的相对误差限等于底数相对误差限的指数倍,|c|=p|x|,(1) 误差与计算次数成正比简化计算步骤，减少运算次数。 例：计算多项式的值,如果改写为：,运算次数： 乘法：n+(n-1)+1=n(n+1)/2 加法：n,运算次数：

16、乘法：n 加法：n,3 算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方 (1)减少运算次数,(2) 防止大数吃小数的情况数量级相同的先运算 在计算机内，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。,103(0.8961) + 10-3(0.4688),103(0.8961) + 103(0.0000)004688,可能结果：a+b+ca+c+b 例：a=1012，b=10，c=-a,3 算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方 (2) 防止大数吃小数,例如计算 采用3位浮点数的截断方式进行运算,从左到右的次序计算得y=2.91,从右到左的次序计算得y=2.93,避免这种情况,

17、按绝对值从小到大的次序相加。,3 算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方 (2) 防止大数吃小数,(3) 两个相近数相减，易失有效位 两正数之差 C=x-y的相对误差限是 因为x和y的前几位有效数字必然相同，相减之后有效数字位会大大减少，使有效数字严重损失 例如：cos20=0.9994，1 cos20=0.0006 避免这种情况，可以使用转换公式；或者增加字长，维持一定有效位，保证精度。,3 算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方 (3) 禁止相近数相减,(4)当商运算的分母很小时，|c|可能很大,分子舍入误差,放大了106倍,3 算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地

18、方 (4) 禁止除数过小,例：分母0.000001,(5) 当分母为两个相近数相减时,会因有效数字丧失而出现(4)的情况,这里分子的误差被扩大104倍,3 算术运算中的误差 3.4 运算时需要注意的地方 (4) 禁止除数过小,在各种数学模型中, 它们的解与x1,x2, ,xn有关,可以记为y=f(x1,x2,xn) 假定f在点(x1,x2,xn )可微，则当数据误差较小时，解的误差限可估计如下：,3 算术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计,f,解的相对误差限如下：,公式仅当xi较小时才合宜,否则 f或f按xi为线性迭加进行估计，实际为非线性变化 系数Ai、Bi的大小可以衡量解对数据误差

19、的敏感程度,3 算术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计,f,例 已知球体的直径D=3.7cm,按v=D3/6计算体积，求其绝对误差限与相对误差限,3 算术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计,解：取=3.14 =0.0016 D =0.05,取 310,V=8.44 0.0016+21.5 0.05=1.088,5,例 设f(x,y)=cosy/x，x=1.300.005，y=0.8710.0005，如果用u*=f(1.30,0.871)作为f(x,y)的近似值，则u*有几位有效数字？,3 算术运算中的误差 3.5 数学问题解的误差估计,解： u*=cos0.871/1.30=0

20、.49543,有2位有效数字,=0.0022,0.005,本章内容,1 计数与数值 2 舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差 4 算法举例 5 数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法,4 算法举例,例1.8 计算,解: (1)算法1。分子分母分别计算后相除(取9位小数),A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012 =0.000000009(有舍入),B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135 =0.000000051(有舍入),A= B=0.510-9,取D=0.2,4 算法举例,D=A/B=0.17647,

21、下页,(2)算法2。分成三组因子,每组只取六位小数计算 a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入) b=0.0143/0.0125=1.144000 c=0.0012 / 0.0135=0.088889 (有舍入) D=1. 666667* 1.144000* 0.088889=0.169482,4 算法举例,D= 0.0000003+0.0000056 =0.0000059 D= 0.169482D =1.010-60.510-5,上页,取D=0.16948,真值为0.16948148,例1.9: 试用5位有效数字及Taylor公式计算e-5.5的值,n,8*(0.5*10-

22、3) =0.0040.5 *10-2,4 算法举例,改变算法计算例1.9 先计算x=5.5的部分级数,再求倒数,n,n,1 5.5000 10 6.980 9 12.692 2 15.125 8 20.768 3 27.730 7 30.208 4 38.13,n,17 0.010842 16 0.033511 15 0.097486 14 0.26587 13 0.67676 0 1.0000 12 1.5997 11 3.4902,4 算法举例,6 38.45 5 41.94,0.010842 0.044353 0.14184 0.40771 1.0845 2.0845 3.6842 7.

23、1744,12.674 19.654 32.346 47.471 68.239 95.969 126.18 164.30,202.74 244.70,3 (0.510-6)+ 2(0.510-5)+ 2(0.510-4)+ 6(0.510-3)+ 2(0.510-2) 0.024,商1/ 244.70的值0.0040866367具有相对误差限 |0/1+0.024/244.70=0.000098 |0.00408663670.0000980. 410-60.510-6 所以0.0040866367可以取为0.004087,解决方法 (1)增加有效数位 增加数值的有效数位至11位进行计算。 结果

24、为 x1=99999.999990 (正确）, x2= 0.000010 (正确）,例1.10 :求二次方程x2-105x+1=0的根 解：按二次方程求根公式及8位有效数字计算，得,4 算法举例,解决方法 (2)选择求根公式 根据ax2+bx+c=0中b的符号选择求根公式，,=105,4 算法举例,例1.10 :求二次方程x2-105x+1=0的根,例1.11：计算In=01xnex-1dx，n=0,7 解：算法1: 用分部积分法可以推知In满足以下递推公式 In=1-nIn-1 取I0=01ex-1dx=ex-1|01 =1-e-10.6321 逐次递推得I1,I2,I9。 算法2: 按照公

25、式In-1=(1-In) /n 取I9 0.0684，反向计算得I8,I7,I0。,4 算法举例,算法1的误差： I0 与I1的误差是 I2的误差是2 I3的误差是6 I9的误差是9! 算法2的误差： I9的误差是 I8的误差是/9 I7 的误差是/9/8 I0 与I1的误差/9! 舍入误差对计算结果 影响小的算法称为稳 定的算法,否则称为不 稳定的算法.,4 算法举例,In=1-nIn-1,In-1=1-In /n,在大量计算中,舍入误差的积累和传播,与算法有关。 舍入误差能控制在一定范围内就是稳定的。,结论: 计算中出现的舍入误差是不可避免的 它直接影响到算法的数值稳定性，所以在数值方法的

26、选择和设计中必须慎重考虑 大量数值运算中，有效数位流失是难免的 由于舍入误差估计的困难性，粗略的做法是按照预定精度用多取若干位的数值计算,4 算法举例,本章内容,1 计数与数值 2 舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差 4 算法举例 5 数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法,5 数值计算中的误差,数值方法解题的一般过程：,1. 对于要解决的问题建立数学模型 2. 研究用于求解该数学问题近似解的算法和过程 3. 按照2进行计算，得到计算结果,5 数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类,？,数值计算中的误差种类,1. 模型误差 2. 观测误差 3. 截断误差 4. 舍入误差,5

27、 数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类,数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起来的有关量的描述,例 用s(t)=gt2/2, g9.81米/秒2来描述自由落体下落时距离和时间的关系。设自由落体在时间t的实际下落距离为S*t , 则把S*t s(t)叫做模型误差 模型误差(描述误差):实际问题的真解与数学模型的真解之间的误差,5 数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类 5.1.1模型误差,数学模型中的参数和原始数据，是由观测和试验得到的 由于测量工具的精度、观测方法或客观条件的限制,使数据含有测量误差,这类误差叫做观测误差或数据误差,5 数值计算中的误差 5.1 数值计算

28、中的误差种类 5.1.2观测误差,求解数学模型所用的数值计算方法如果是一种近似的方法，那么得到的是数学模型的近似解，由此产生的误差称为截断误差 精确公式用近似公式代替时,所产生的误差 截断误差是数值计算中必须考虑的一类误差 例一个无穷级数 实际计算的时候，我们只能取前面有限项(如n项),5 数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类 5.1.3截断误差,由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及运算结果在计算机上存放会产生误差，这种误差称舍入误差。 例=3.1415926,5 数值计算中的误差 5.1 数值计算中的误差种类 5.1.4舍入误差,1. 数学模型的精确解 使用数学模型、精确数据、

29、精确计算 2. 参数模型的精确解 使用数学模型、观测数据、精确计算 3. 计算模型的精确解 不能求解数学模型的精确解时，就采用数值的方法建立该数学模型的求解模型，称为计算模型 使用计算模型、观测数据、精确计算所获得的解 4. 计算模型的近似解 用计算模型、有舍入的观测数据、近似计算获得的解,方法误差(截断误差),舍入误差,5 数值计算中的误差 5.2 模型与解,前面的舍入误差估计方法不足： 只对运算量很少的情形适用 大规模的无有效的方法做出定量估计,5 数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性,确保数值计算结果的正确性： 对数值计算问题进行定性分析 保证其舍入误差不会影响计算的精度,数学问题

30、的适定性定义 设D为X=(x1, x2 , , xn)的值域，简记数学问题的解Y与参量（原始数据）X的关系为Y=f(X)。若 1）对XD，数学问题的解存在且唯一； 2）满足连续性条件，即当|X|0时，有|Y|0成立； 则称该数学问题是适定的； 反之，若数学问题的解多于一个，或者解不连续依赖于原始数据，则称为不适定的,5 数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性,“良态”问题和“病态”问题 在适定的情况下，若对于原始数据很小的变化，数学模型解的变化也很小，则称该数学问题是良态问题； 若原始数据很小的变化，数学模型解的变化很大，则称为病态问题 舍入误差对计算结果影响小的算法称为稳定的算法,否则称

31、为不稳定的算法. 数学问题的性态是针对数学问题的；数值稳定性是针对数值方法的,5 数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性,稳定算法和不稳定算法,5 数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性,参数模型是病态的曲线图,5 数值计算中的误差 5.3 数学问题的适定性,小结 数值计算中除了尽量避免误差危害外，还应要分清问题是否病态和算法的数值稳定性 误差的定性分析中首先要分清问题是否病态， 如果问题计算结果相对误差很大就是病态问题，对病态问题计算结果就可能不可靠， 对良态问题主要考虑算法的稳定性，对不稳定的算法计算结果也不可靠 计算中还要根据以前给出的原则尽量避免舍入误差增长,5 数值计算中的误

32、差 5.3 数学问题的适定性,本章内容,1 计数与数值 2 舍入方法与有效数字 3 算术运算中的误差 4 算法举例 5 数值计算中的误差 6 误差分配原则与处理方法,6 误差分配原则 与处理方法,1.误差配置原理 计算模型的近似解相对于参数模型精确解的总误差=截断误差R+舍入误差 1) R,即舍入误差小于截断误差时,总误差的主部取决于截断误差的主部;此时过多位字长部分的计算工作量无意义; (3) R,此时,不会出现过多位字长和过多项部分计算量上的浪费现象,6 误差分配原则与处理方法 6.1误差分配原则,1. 给定运算误差 ，确定参与运算的数值字长 若计算公式表示为 u=f(x1, x2 , , xn)， 设 xi的舍入误差为xi，则计算结果的舍入误差可按下式近似计算,6 误差分配原则与处理方法 6.2误差配置的处理方法,假设所有的运算量的舍入误差相同均为，则,例：长方形面积s=ab,其中a 5m, b 200m，计算S的运算误差要求为(s)=1m2，试确定两直角边的允许误差,解：,因为,= (s)/(a+b)=1/(5+200)0.0048,可见数值a、b的字长应取至小数后3位。,6 误差分配原则与处理方法 6.2误差配置的处理方法,0.