大数定律和中心极限定理

1、第四章 大数定律与中心极限定理,大数定律从理论上解决：,中心极限定理阐述：独立随机变量之和以正态分 布为极限分布， 即 用正态分布作近似计算。,用样本均值近似代替理论均值问题：,用频率近似代替概率问题：,定义4.1 若存在常数a，使对任给常数 ,有,则称随机变量序列 依概率收敛于a 。,切比雪夫(Chebyshev) 不等式 设 的期望E和方差D存在，则对任给常数 ，有,或,当n充分大时，几乎所有的 都落在a的 邻域内。,只要期望和方差存在，可用上式估计上述事件的概率。,则,补例（P.113A.2) 有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。估计：同时开着的灯的

2、数量在6800至7200之间的概率。,解 设 表示同时开着的灯的数量，,则,例 设是掷一颗骰子出现的点数，若给定=1，计算 并验证切比雪夫不等式,补例:设e(),用切比雪夫不等式估计,1/12,C,定理4.1（切比雪夫大数定律）设 相互独立，,证,由切比雪夫不等式,推论（伯努利大数定律）设 为n重伯努利试验中A发生的次数，,则对任给常数 有,即 事件A的频率依概率收敛于A的概率。这是用频率近似代替概率的理论依据。,证 设,则,由定理4.1得证。,定理4.2（辛钦Khinchine大数定律）设,相互独立且同分布，,即 独立同分布随机变量的算术平均依概率收敛于理论均值。,由定理4.1,4.2 中心

3、极限定理,定理4.3（林德伯格列维Lindberg-Levy定理）,设随机变量 相互独立且同分布，,则对任何实数 x，有,当n充分大时，,（近似）,注意：不必知道 的确切分布，只要求独立、同分布。,条件还隐含了每个 对总和 的影响不大。,定理的实际意义：,补例（P.113A.3）设一袋味精的重量是随机变量，平均值100克，标准差2克。求100袋味精的重量超过10.05公斤的概率。,解 设 表示第 袋味精的重量，,可以认为 是独立同分布的，,又设 表示100袋味精的重量，,所求概率为：,由中心极限定理,若将1500个数相加，求误差总和的绝对值超过15的概率.,例1：,计算机在进行加法时，每个加数

4、取整数。,设所有的取整误差是相互独立的,且都在 -0. 5,0.5上服从均匀分布.,相互独立,制造1200个零件,问总重量大于1202kg的概率是多少？,补例：,用一机床制造大小相同的零件,由于随机误差，,每个零件的重量在(0.95，1.05)(kg)上均匀分布.设每个零件重量,定理4.4（棣莫弗拉普拉斯定理）设 ,则对任何实数 x，有,当n充分大时,下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近.,例（P.113A.2) 有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7。各电灯开、关相互独立。求同时开着的灯的数量在6800至7200之间的概率。,例2（P.111）某厂有同型号机器100台，独立工

5、作，(1):在一段时间内正常工作的概率为0.8。求正常工作的机器超过85台的概率。,解 设 为100台中正常工作的台数，,则 B(100,0.8),由定理4.4得,机器正常工作的概率应该提高到多少？,(2) 若该厂至少要85台机器正常工作才不,影响生产，欲使不影响生产的概率不低于95%，问每台,解 设 为正常工作的台数，,则 B(100,p ).,身高在160cm180cm之间的概率是多少？,补例 设某地成年男子身高 XN (170，102)(单位：cm)，,随机抽取100名该地男子测量身高。问其中至少有70人,解:设身高在160cm180cm之间用事件A表示,则,设Y 表示身高在160cm1

6、80cm之间的人数，则,np=68.26, npq =21.67. 因而近似有Y N(68.26,21.67),YB(100,0.6826),注：, 可用正态分布近似；, 当p很小，np不太大时，可用泊松分布近似。,当n充分大时，,P.111,解 设每辆车装n箱，重量为，第 箱的重量为,由中心极限定理，N(50n,25n),查表得,解得 n98.0199，即最多装98箱。,设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率.,解,设 X 为一年中投保老人的死亡数,由德莫佛拉普拉斯定理知,补例,某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人,每年交200元. 若老人在该年内死亡,

7、公司付给家属1万元.,保险公司亏本的概率,证,补例,根据独立同分布的中心极限定理，,例2（综）设一大批产品中一级品率为10%.,(1)解 设 为500件中的一级品数，,则 B(500,0.1),由中心极限定理得,(1)现从中任取500件,分别用切比雪夫不等式估计和中心极限定理,计算:这500件中一级品比例与10%之差的绝对值小于2%的概率;,由切比雪夫不等式,(2)解: 设至少应取n件, 为n件中的一级品数,则 B(n,0.1 ).,(2)至少应取多少件才能使一级品的比例与10%之差的绝对值 小于2%的把握大于95%？,(2) 求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.,解,练习,对于

8、一个学生而言, 来参加家长会的家长人数是一个,随机变量. 设一个学生无家长、1名家长、 2名家长来参加,会议的概率分别为0.05, 0.8, 0.15. 若学校共有400名学生,设各学生参加会议的家长数相互独立, 且服从同一分布.,(1) 求参加会议的家长数 X 超过450的概率;,根据独立同分布的中心极限定理，,由德莫佛拉普拉斯定理知,李雅普诺夫资料,Aleksandr Mikhailovich Lyapunov,Born: 6 Jun. 1857 in Yaroslavl, RussiaDied: 3 Nov. 1918 in Odessa, Russia,德莫佛资料,Abraham de Moivre,Born: 26 May. 1667 in Vitry (near Paris), FranceDied: 27 Nov. 1754 in London, England,拉普拉斯资料,Pierre-Simon