高数期末考试模拟试题

1、西南科技大学 2009-2010 学年第二学期高等数学期末考试试卷 考核人数_ 考核班次_ 任课教员_ 出题教员签名_ 任课教研室主任签名_日期_ 队别_ 教学班次_ 学号_ 姓名_ 密封线 试卷 第 1 页 （共 5 页） 高等数学期末考试模拟试题高等数学期末考试模拟试题 一、选择 1设曲线在点处的法平面为 xyz z = = 0 0 222 ( , 11 xy , )0s ，则点到( , )0 2 2s 的距离是 a、 2 4 ， b、2 2， c、2， d、 2 3 =+ 22 2 。 答：b。 2设，uxbxycy u x ( , 8 )2 1 =， u y ( , )2 1 4=，则

2、 2 x y u = a、 2， b、 2， c、4， d、 4。 答：c。 3曲线xt yt zt=sec ,csc ,sec csct在对应于t = 4 点处的切线方程是 a、 xy = 2 2 z= 2 2 2，b、 x yz = = 2 2 1 2 0 ， c、 xy = 2 2 z= 2 2 2，d、 xyz = = 2 2 2 2 2 0 ln 10 ( , ) ex dxf x y dy lnex dy ) y e e dyf x y ln 01 ( , ); xe dyf x y dx ) y e e dyf x y dx 。 答：b。 4设f(x,y)是连续函数，交换二次积分

3、积分次序的结果为 a、 b、;c、 d、. 10 ( , );f x y dx 1 0 ( ,dx 1 0 ( , 答：d。 5两平面 xyzxyz=2324,25各自与平面xyz+=30的交线是 a、相交的， b、平行的， c、异面的， d、重合的。 答：b。 6下列级数中发散的级数是 a、 () =1n + 1 1 n n ； b、 () () = + 2 1 n n n1 n ；c、 () = 2 1 1 n n n () () ；d、 =+ 21 1 n n n n 。 答：b。 7曲面xzyxzcoscos+ = 22 在点 2 1 2 0, , 处的切平面方程为 a、xz=1， b

4、、xy=1，c、xy= 2 ， d、xz= 2 。 答：d。 xyyzzxxyz+=232的切平面方程为 0上平行于平面+=8曲面 xyzxyza、+=230 b、+=231 xyzxyzc、+=232 d、+= 23 zz 1 答：a。 x y=9 设函数( ,+=xyz 222 1z 0( , )0 0 () ) 是旋转双叶双曲面的的部分， 则点 是函数 的 z a、极大值点但非最大值点，b、极大值点且是最大值点， c、极小值点但非最小值点，d、极小值点且是最小值点。 答：d。 二、填空 1由2 1 1x+ 2 1 50 1 14 . 12 =幂级数展开式将表示成数项级数，该数项级数前三

5、项和是 。 . 04 . 100021. 0014答：前三项为+。 ( )2函数x x xfsin 2 3 2 += 5 x马克劳林级数至含的项是 。 答： 5 120 7 3xx 。 (3 若 函 数)xf 0 x ( ) 在 点的 某 邻 域 内 任 意 阶 可 微 ， 设 ( )( )()( )xrxxxf k xf n k k n k += = 00 0 ! 1 ( )xf，那么在该邻域内能展开成泰勒级数的充 要条件是 。 x，有。 ( )0lim= xrn n 答：对于该邻域内的任意 22 cosxxy =4函数的麦克劳林级数是 ，其收敛域是 。 西南科技大学 2009-2010 学

6、年第二学期高等数学期末考试试卷 考核人数_ 考核班次_ 任课教员_ 出题教员签名_ 任课教研室主任签名_日期_ 队别_ 教学班次_ 学号_ 姓名_ 密封线 () () () () () () 试卷 第 2 页 （共 5 页） 答：() ()!2 1 22 n x n n + 0n = () ，+,x x ecos 4 x 。 5函数的马克劳林级数至含的项是 。 答： + 62 1 42 xx z z 22 222 0= + ( ,1 10 e。 6 若曲线 = 在点) xy xy23 处的切向量与轴正向成钝角， 则它与yx轴 正向夹角的余弦_ 。 cos = 答： 2 41 xsinh 。 7

7、函数的麦克劳林展开式为 ，()( ) ox n = xsinh= 。 答： () ! n () = + + 0 12 12 n n x ， ，()+, ( ) kn kn 2 12 sinh = += ?,2x ox n 0 1 = = ，。 , 1,0=k 8 函数( ) = x 0 sin dx x x xf0 0 =x在点的泰勒级数为 ， 其收敛域是 。 答：() ()()!12 1 0 + = n n () 21 12 + + nn x n ，+,。 9曲面xey ez e e yzx += 2233 2 1( , )210+在点处的法线方程为_ 。 答：x =2 y e z e +

8、= 1 222 。 三、计算 1试求函数dx x x x = 0 arcsin y的麦克劳林级数，并指出收敛域。 解： () () = = 1 2 2 ! !2 ! !12 1 1 )(arcsin n n x n n x x+=1 14利用极坐标计算二次积分) ) 34 2 00 8 = a dr dra解：原式。 5求过点 p( , , )212 且与直线l xyz : + = = 1 3 1 21 相交且垂直的直线方程。 p与 垂直的平面方程为解：过l:3260 xyz+= + + t t t 21 31 l的参数方程为 ，代入 = = = z y x 方程，解得t = 1 2 l，故

9、，交点为 1 2 2 1 2 , , 西南科技大学 2009-2010 学年第二学期高等数学期末考试试卷 考核人数_ 考核班次_ 任课教员_ 出题教员签名_ 任课教研室主任签名_日期_ 队别_ 教学班次_ 学号_ 姓名_ 密封线 试卷 第 3 页 （共 5 页） 所求直线方程为 xy z = = 2 3 1 2 2 5 u 。 6设x y( , )=+ux xxux xx xy ( , ),( , )23 232 ux xx( , ux x ux x xyyy ( , ),( , ) ux xux xxxy ( , ) 2 =+ux xxx xy( , ) 23 2 + ux xux xyyy

10、 ( , )(9 2 =ux xx yy( , ) 6 2 具有二阶连续偏导数，且， ，求。 =+xx3 =xx)2 解：， + =+x xx( , )43 =+x xx, )2，。 7试求函数() 2 27lnxx 04y =在点=x ()()xxx214 2 += 处的泰劳级数,并指出收敛域. 解：因为 x274 所以当 2 1 4x时,()xy21ln 4 1ln4ln+ += ) 由于()( 1 1,1 n nt n ， 1 ln 11 n tt = += 故()() ()11 11 2 ln41 4 n n n nn n nn 1 xx y nn = =+ +， 2 1 , 2 1

11、x ( ) 。 8求函数 x x f = 1 10 x展开成x的幂级数，并计算 ( )( ) ()?,2, 10=nf n 的值。 解：由于 = = 1 1 n x 0 n x1, 1x( ) = + = 0 10 n n xxf(x ( )xexf x sin= () ,所以 ， 。 ()1, 1 9利用欧拉公式将函数展开成 x 的幂级数。 解：因为 i xeix eex 4 21 = +xx iexesincos+。 又 i nn n n e n x 4 2 1 2 ! + = xe e i 2 1 4 = 4 n += = sin 4 cos2 ! 1 2 1 i n n x n n n

12、 。 所以+= = xx n n xe n n n x , ! 4 sin2 sin 1 2 x y 。 10设zuf( , ,zz)有二阶连续偏导数，x yxy= ( , ) 由方程=z+= ( ) 所确定，其 中( ) z( ) z 0有二阶连续导数，且，求 2 2 u 。 x 解： 13 uz ff = xx +， 22 111331333 22 uzzzz fffff xxxxx =+ 2 2 1113333 2 2 zzz ffff xxx =+ 2 32 1( ) ( ) ( ) zzz xzx z = 2 2 111333 23 3 21u x f z ff z z z f=+

13、+ ( ) ( ) ( ) ( ) + x y d edxd 11 00 = 。 11计算二重积分y其中d：0 x1,0y1. x e dxe dy 1 cos 2 00 sin + x dxyxdy y =(e1) 2。 解：原式 12计算二次积分 解： 3 0 14 sin (1cos ) 33 += xx dx=。 13利用函数 2 1 1 x () () () 的展开式，计算级数 n n nn n 4 1 12!2 ! !12 1 1 + + = 的和。 () () 解： = += 1 2 2 ! !2 ! !12 1 1 1 n n x n n x 1x () () () = + +

14、 += 1 12 12! !2 ! !12 arcsin n n x nn n xx1x () () () 取 2 1 =x ,得 6 2 1 arcsin 212! !2 ! !12 2 1 1 12 = + + = + n n nn n 西南科技大学 2009-2010 学年第二学期高等数学期末考试试卷 考核人数_ 考核班次_ 任课教员_ 出题教员签名_ 任课教研室主任签名_日期_ 队别_ 教学班次_ 学号_ 姓名_ 封线 () () () 试卷 第 4 页 （共 5 页） 密 所以 3 412! !2 ! !12 1 1 = + + =n n nn n ()3ln+=exxxf0 0 =

15、x 。 14试求函数在点 的泰勒级数展开式。 ( )()2 2 e 解：( )()()( )100ef+= ( )() 4lnfxxex=+ 4ln4 1ln 1 x fxxe=+= ()( e + ，而 )(1 1 1 ln 111, n n n t tt = += n 所以 ( )()(1, n n x1 1 41 n n fxx = = ee ne + () ( )( )() 1 1 1 n x n n n x 0 1 41,fxfx dxxxe n ne + = =+ + ( )( )( )() ()( e ) , n 2 1 22 0 1 0241 12 n x n n x f xf

16、x dxfex n nn + = =+= + + xy 2 sh= ( )( ) xee e 15试将函数展开为 x 的幂级数，并计算()?, 2 , 1 , 0=n0y n 的值。 解：() 4 1 sh 22 += x ex2 2 x e， 利用 () 0 , ! n x n x ex n = = + ，得 ()() () () 2 001 2211112 4 , 24!4!42! nn kk nnk xxx yx nnk = = += + ， 11,2,k =? xycosln= 6 x ( ) ( ) ( ) 21 2,2 00,2 0,0 k n nk ynk n = = = 16试

17、求函数的麦克劳林级数至含的项，并计算的值。 ( )0 6 f 解：解法一：因? 720242 cos1x 642 xxx +=()，? 3 t= 2 3 1 2 1ln t tt () ， 3 42 2 42642 2423 1 2422 1 720242 cos11lncosln + + += = ? xxxxxxx xx 246 21245 xxx +? ( )( ) =16! 6 45 1 0 6 =f x 。 () ( ) 解法二： 由于ycosln=， 那么xytan= ， () 322 1tan2tan1tanyxyx= += +， ( ) x ()() ( ) ()()() (

18、) ()()() 2 45222222 32 622242 2 1tan4tan1tan8tan1tantan2 1tan 16 1tan88tan1tan16tan1tan yxxxyxxxx yxxxxx = += + = + ， 所以 ( )( )( )( )( ) ( ( ) ( )( ) ( ) 3546 0000001,02016yyyyyyy= = =， 级数为?+ 45122 642 xxx zx=+ 17设 2，其中 y 2 yy x=(xxyy 22 1+=)由方程所确定，求 d d z x 及 d d 2 2 z 。 x 解： nn d2 22 d2 zxy xyyy x

19、yx =+= d d ()z x xy xy = 2 2 22 2nn222222 2223 d2(22)(2 )2(1 2)()41646 () d(2 )(2 )(2 ) zxyyxyyxyxyxyx xy xyxyxy + =+ ybz zcx) 。 x 四、证明 0a上任一点处的切平面都与平面 xyacz+=1.证明曲面f xay(,=1 f u v w( , ,)a b c, ,abc= 1 , ) 垂直，其中函数具有一阶连续偏导数，为正常数，且。 nfcfaffbff=+ 13122 ,证：曲面上点( , x y z 处的切平面法向量 3 naa 1 1=, ,平面法向量c 113

20、1223 0n nafacfaffabcfacf=+=n n 1 xyzc xyc z 222 1 22 2 2 0+=,c c 1, 故切平面垂直于平面。 2.证明二曲面族相互正交， 其中 2为任意常数。 证：y 1 2 22=,nxz .nxyc 22 222=,z 有 12 0n n=nn 12.故二曲面相互正交。 西南科技大学 2009-2010 学年第二学期高等数学期末考试试卷 考核人数_ 考核班次_ 任课教员_ 出题教员签名_ 任课教研室主任签名_日期_ 队别_ 教学班次_ 学号_ 姓名_ 密封线 试卷 第 5 页 （共 5 页） 3证明曲面zyf y x = 上任一点处的切平面都

21、经过一定点，其中函数 f u ( (,xyz 000 )可微。 证： 曲面上点)处的切平面法向量 n y x f y x f y x f= + 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 , y x y x 0 0 1 切平面方程 2 000 00 00 2 00000 ()()0 yyyyy fxxffy xxxxx += 0 )(yzz 或 + + + y x f y x xf y x 0 2 0 2 0 0 0 0 = y x f y x yz 0 0 0 0 0 易知 xyz =00,0 0 0 zz =0满足上述平面方程，故曲面的所有切平面都过定点)。 ( , , 4函数x y=xazy

22、bz=( , ) 由方程()所确定，其中具有连续导数，a,b 是不全为零的常数，试证 ( )u a z x b z y +1 dd = 。 证： nn ddxaz=ybz d dd z xy ab = nn nn 1zzz xabyabyab n = ，。 5试用极限定义证明li x y msin() xy xy xy + = 0 0 22 22 0。 证：由于 xy xy xy 22 22 0 + sin()xyxy 2 sin() 0，取，当=0 22 +xy时，必有 xy xy 22 22 + sixy0n()，原题得证。 6证明曲面 xx u vyy u v zz u v=( , ),( , ),( , ) (其中各函数均具有一个连续偏导数) 上任一点处的法向量为 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) y z u v z x u v x y u v