第9章-2 弯曲应力

1、回顾与比较,内力,应力公式及分布规律,均匀分布,线性分布,分布？,伽利略Galilei（1564-1642）,伽利略做木梁弯曲试验的装置,此结论是否正确？,第9章-2弯曲(应力),一、教学目标1、通过推导纯弯曲时梁横截面上的正应力，掌握求解应力在截面上分布问题的思路及方法。2、正确掌握弯曲正应力和剪应力的计算公式。3、熟练掌握弯曲强度计算。二、教学重点与难点1、纯弯曲梁横截面上正应力公式的推导（重点）2、横力弯曲最大拉应力和最大压应力的计算3、弯曲的强度计算（难点）,9-1引言,第9章弯曲应力,9-4梁的切应力及强度条件,9-3横力弯曲时的正应力,9-2纯弯曲时的正应力,一、弯曲构件横截面上的

2、应力,9-1引言,只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩.,弯矩M,剪力FS,弯曲内力,只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力；,所以，在梁的横截面上一般既有正应力，又有切应力.,CD段，只有弯矩，没有剪力,二、纯弯曲（Purebending),纯弯曲,AC、BD段，既有弯矩，又有剪力,横力弯曲,9-2纯弯曲时的正应力,变形几何关系,物理关系,静力关系,弯曲正应力分布规律和计算公式,一、实验,1.变形现象,纵向线,相对转过了一个角度，,仍与变形后的纵向弧线垂直.,各横向线仍保持为直线，,直线,横向线,曲线,各纵向线长度还相等吗？,各横向线之间依然平行吗？,2.提

3、出假设,（a）平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线；（瑞士，Jacob.贝努力，1695）,（b）单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压.,推论：必有一层变形前后长度不变的纤维中性层,中性轴横截面对称轴,关于中性层的历史,1620年，荷兰物理学家、力学家比克门首先发现中性层；,1678年，英国科学家胡克阐述了同样的现象，,但没有涉及中性轴的位置问题；,1826年，法国科学家纳维出版材料力学讲义,结论：,中性轴,过截面形心,线应变的变化规律：,与纵向纤维到中性层的距离成正比.,二、变形几何关系,从横截面上看：,点离中性轴越远，,该点的线应变越大.,三、物

4、理关系,所以,HookesLaw,1.与它到中性轴的距离成正比.,弯曲正应力的分布规律：,?,待解决问题：,中性轴的位置,中性层的曲率半径r,沿截面高度，,线性分布.,沿截面宽度，,均匀分布.,2.正弯矩作用，,上压下拉.,3.危险点的位置，,离中性轴最远处.,四、静力关系,横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系，这一力系简化得到三个内力分量.,内力与外力相平衡可得,（1）,（2）,（3）,将应力表达式代入（1）式，得,将应力表达式代入（2）式，得,将应力表达式代入(3)式，得,中性轴通过横截面形心,自然满足,得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩；,y为梁横截面上任

5、意一点到中性轴的距离；,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩.,2.实验观察假设,3.外力,推导弯曲正应力计算公式的方法小结：,5.数学方法,内力,应力,4.三关系法,变形几何关系,物理关系,静力学关系,应力,内力,1.理想模型法,纯弯曲,横力弯曲,（1）应用公式时，一般将M以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号)，凹入边的应力为压应力（为负号）.,（2）最大弯曲正应力,则公式改写为,（反映截面几何形状、尺寸对强度的影响）,（适用条件：截面关于中性轴对称）,发生在横截面上离中性轴最远的点处.,（3）当中性轴为对称轴时,实心圆截面,所以,（3

6、）当中性轴为对称轴时,矩形截面,b,h,y,z,C,（3）当中性轴为对称轴时,空心圆截面,z,y,（4）对于中性轴不是对称轴的横截面,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式,组合截面惯性矩的计算？,C(a,b),b,a,yC,zC过截面的形心C且与y,z轴平行的坐标轴(形心轴）,Iy,Iz,Iyz截面对y,z轴的惯性矩和惯性积.,IyC,IzC,IyCzC截面对形心轴yC,zC的惯性矩和惯性积.,(a,b)形心C在yOz坐标系下的坐标,y,z任意一对坐标轴,C截面形心,平行移轴公式,组合截面惯性矩、惯性积的计算,组合截面惯性矩、惯性积的计算,第i个简单截面对y,z轴的惯

7、性矩，惯性积.,截面对与形心轴平行的y,z轴惯性矩和惯性积，,平行移轴公式,横截面上内力：,一、横力弯曲（Nonuniformbending）正应力,弯矩+剪力,横截面上应力：,正应力+切应力,横截面：,切应力使发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,不再保持为平面,纯弯曲的平面假设,纯弯曲的单向受力假设,X,X,弹性力学精确分析表明：,对于跨度l与横截面高度h之比l/h5的细长梁,用纯弯曲正应力公式计算横力弯曲正应力,所以横力弯曲最大正应力,误差2%,满足工程中所需要的精度,1.纯弯曲或细长梁（l/h5）的横力弯曲；,3.弹性变形阶段；,4.平面弯曲.,2.横截面惯性积；,弯曲正

8、应力公式适用范围：,1.计算的是哪个截面上的弯曲正应力，,2.所求的是该截面上哪一点的弯曲正应力；,3.弯曲正应力沿高度呈线性分布，沿宽度呈均匀分布；,注意：,确定该截面上的弯矩和该截面对中性轴的惯性矩；,确定该点到中性轴的距离以及该点处应力的符号；,4.中性轴上弯曲正应力为零，,梁的上下边缘处达到最大拉应力和最大压应力；,5.梁在中性轴的两侧分别受拉或受压；,弯曲正应力的符号根据弯矩的正负及梁的变形状态确定.,练习矩形截面简支梁承受均布载荷作用，如图所示.,1、C截面上K点正应力,2、C截面最大正应力,3、全梁上最大正应力,4、已知E=200GPa，求C截面的曲率半径,1.塑性材料（抗拉压强

9、度相等）,（2）对称于中性轴的截面，,（3）变截面梁，,（1）无论截面形状如何，,二、弯曲正应力强度条件,弯曲正应力的分布规律,危险点：,距离中性轴最远处,分别发生最大拉应力和最大压应力,综合考虑,2.脆性材料（抗拉压强度不等；抗压不抗拉）,（2）最大应力与内力图有关,（3）分别校核,（1）最大应力与截面形状有关,二、弯曲正应力强度条件,弯曲正应力的分布规律,危险点：,距离中性轴最远处,分别发生最大拉应力和最大压应力,中性轴偏于受拉一侧,？,常采用关于中性轴不对称的截面,（两者有时并不发生在同一横截面上）,3.强度条件的应用,（2）设计截面,（3）确定许可载荷,（1）强度校核,例题1T形截面铸

10、铁梁的荷载和截面尺寸如图所示.铸铁的许用拉应力为t=30MPa，许用压应力为c=160MPa.已知截面对形心轴z的惯性矩为Iz=763cm4，y1=52mm，校核梁的强度.,分析：,非对称截面，,寻找中性轴位置.,做弯矩图，,寻找最大弯矩截面.,计算最大拉应力、最大压应力.,解：,最大正弯矩在截面C上,最大负弯矩在截面B上,B截面,C截面,例题2螺栓压板夹紧装置如图所示.已知：截面形状尺寸如图，板长3a150mm，压板材料的弯曲许用应力s140MPa.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.,解：（1）作出弯矩图；,（2）求惯性矩，抗弯截面系数,（3）求许可载荷,一、梁横截面上的切应力,1.矩形

11、截面梁,9-4梁的切应力及强度条件,（1）两个假设,（a）切应力与剪力平行；（b）切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离处切应力相等）.,（2）分析方法,（a）用横截面m-m,n-n从梁中截取dx微段,两横截面上的弯矩不等，所以两截面同一y处正应力也不等,（b）假想地从梁段上截出体积元素mB1,在两端面mA1，nB1上两个法向内力不等.,A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.,（c）在纵截面上必有沿x方向的切向内力dFS.故在此面上就有切应力.,根据假设，横截面上距中性轴等远的各点处切应力大小相等.各点的切应力方向均与截面侧边平行.取分离体的平衡即可求出.,m,（3）公式推导,假设m

12、-m，n-n上的弯矩为M和M+dM，两截面上距中性轴y1处的正应力为1和2.,A1为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.,式中：,为面积A1对中性轴的静矩.,化简后得,由平衡方程,（4）切应力沿截面高度的变化规律,沿截面高度的变化由静矩与y之间的关系确定.,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2（即在横截面上距中性轴最远处）t=0,y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,式中，A=bh为矩形截面的面积.,截面静矩的计算方法,A为截面面积,为截面的形心坐标,2.工字形截面梁,研究方法与矩形截面同，切应力计算公式亦为,b,b0腹板的厚度,距中性轴为y的横线以外部分的横截面

13、面积A对中性轴的静矩.,（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；,假设求应力的点到中性轴的距离为y.,（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,切应力的危险点,能否说“切应力的最大值一定发生在中性轴上”？,当中性轴附近没有尺寸突变时,最大切应力发生在中性轴上,当中性轴附近有尺寸突变时,最大切应力不发生在中性轴上,例题3一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F=30kN.跨长l=5m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许用弯曲切应力=100MPa，试校核梁的强度.,解：此吊车梁可简化为简支梁，力F在梁中间位置时有最大正应力

14、.,（a）正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,（b）切应力强度校核,在计算最大切应力时，应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示，因为此时该支座的支反力最大，而梁的最大切应力也就最大.,查型钢表中，20a号工字钢，有,d=7mm,据此校核梁的切应力强度,以上两方面的强度条件都满足，所以此梁是安全的.,例题4简支梁AB如图所示.l2m，a0.2m.梁上的载荷为q=10kN/m，F200kN.材料的许用应力为=160MPa，100MPa，试选择工字钢型号.,解：（1）计算支反力,做内力图.,（2）根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表，选用22a工字钢，其Wz309cm3,（3）校核梁的切应力,腹板厚度d=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过t很多，应重新选择更大的截面.现已25b工字钢进行试算,所以应选用型号为25b的工字钢.,练习铸铁梁的截面为T