第3章 计算机控制系统理论基础

1、1.第三章，计算机控制系统的理论基础，3.1计算机控制系统的信号特性和控制方法特性，3.2信号的采样和保持，3.3Z变换理论，3.4计算机控制系统的数学描述，3.5计算机控制系统的总分析时数：8小时，2.3.1计算机控制系统的信号特性和控制方法特性，1。信号特征模拟控制系统中的所有信号都是连续的模拟信号，除模拟信号外，还有图3.1.1计算机控制系统的信号流程，3。信号形式可根据时间和振幅值进行分类：1。按时间值分类：(1)连续信号：时间轴上的值是连续信号，即在一定的时间间隔内，所有时间值都有一定的信号。(2)离散信号：时间轴上的值是离散信号，即信号只存在于某些间歇时间值，而信号在其他时间值上是

2、不确定的。2.根据振幅值分类：(1)模拟信号：振幅连续变化的信号。(2)离散信号：振幅只有离散值的信号。(3)数字信号：其幅度以二进制码的形式用一定位数表示的信号。通过在时间和幅度上组合各种信号，可以获得不同类型的信号。控制方法的特点计算机控制系统既包含数字信号又包含连续信号，因此计算机控制系统和模拟控制系统在本质上有许多不同，需要用专门的理论进行分析和设计。常用的设计方法有两种：(1)模拟设计法(模拟调节规律的离散设计法)；(2)离散直接设计法；(5)采样系统；(1)采样是指将连续模拟信号转换为离散脉冲序列的过程。2.采样器采样器是指将连续信号转换成脉冲序列的装置，也称为采样开关。3.采样系

3、统如果系统中有一个或多个采样开关，则该系统为采样系统。图3.2.1采样控制系统，3.2信号采样与保持，计算机控制系统属于采样控制系统。图3.2.2计算机控制系统；6.信号采样；1.实际的采样过程可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示，如图3.2.3所示。假设采样开关每t秒闭合一次，t称为采样周期，闭合持续时间为。采样器的输入是连续信号e(t)，输出e*(t)是幅度调制脉冲序列，宽度等于。图3.2.3实际采样过程，7.2理想采样过程采样开关的闭合时间非常小，一般远小于采样周期t和系统连续部分的最大时间常数，因此在分析中可以认为=0。此时，系统中的采样器可以被理想的采样器代替。图3.2.4理想采样

4、过程3。离散模拟信号离散模拟信号是指采样信号e*(t)在时间上是离散的，并且振幅连续变化。离散模拟信号不能直接进入计算机，但必须在被计算机接受之前被量化成数字信号。量化所谓的量化是指使用一组数字码(如二进制码)来近似离散模拟信号的幅度，并将它们转换成数字信号。量化过程：将采样信号转换成数字信号的过程。模数转换器是执行量化的设备。图3.2.5量化过程，9，3，采样定理，采样定理香农采样定理:如果连续信号带宽有限，最高频率分量最大，当采样频率最大时，采样信号可以代表原始连续信号而不失真，或者可以从采样信号中恢复而不失真。频率2最大值通常称为奈奎斯特频率，最大值通常称为奈奎斯特频率。理论上，如果进行

5、采样，原始信号可以被恢复而不失真。在实际应用中，只有当采样频率足够高时，即采样时间密集时，采集的信号才接近原始的连续模拟信号。根据采样定理，给出了采样信号恢复原始信号而不失真的唯一条件(即最低采样频率)。10，4。样品架。原则上，采样过程中不需要保持操作，但增加一个保持器可以提高采样精度。在模数转换过程中，如果输入信号变化很大，就会产生误差。因此，通常情况下，采样信号不会直接发送到模数转换器进行转换。在整个转换过程中，模数转换器的模拟输入需要保持不变，但转换后，模数转换器的输出信号需要跟随模拟变化。能够完成这一任务的设备称为采样/保持(简称S/H)。11，1。孔径时间和孔径误差(即转换时间和最

6、大转换误差)。(1)孔径时间：指在模拟输入通道中，模数转换器将模拟信号转换成数字信号需要一定的时间，完成模数转换需要时间。(2)孔径误差：这意味着对于随时变化的模拟信号，孔径时间决定了每个采样时间的最大转换误差。图3.2.6孔径时间引起的误差，那么它可能的最大误差是：假设：在横坐标的交点：12，一个10位模数转换器，量化精度是0.1%，孔径时间是10s。如果转换误差要求在转换精度范围内，则允许转换的正弦波模拟信号的最大频率为：从误差百分比公式可以知道，对于一定的转换时间，误差百分比与信号频率成正比。为了保证模数转换的精度，必须限制信号的频率范围。(3)孔径误差消除：采用具有保持电路(即样品保持

7、器)的采样器。通过这样做，可以增加模拟输入信号的频率范围，以满足某些随时间快速变化的信号的要求，并消除孔径误差。误差百分比为：如果t=tA/D，横坐标交点处的不确定电压误差为：13。(2)基本组成电路采样保持器的基本组成电路一般由输入输出缓冲器、采样开关和保持电容组成。其工作原理如下：采样：k闭合，VIN通过输入缓冲器快速充电，VOUT保持跟随VIN: k断开，VOUT保持可变电容。一旦采样保持进入保持期，模数转换器立即启动，以确保模数转换期间输入恒定。(1)工作模式采样保持的两种工作模式是采样和保持。在采样模式下，采样保持器的输出跟随模拟输入电压。在保持状态下，采样保持的输出将在命令发出时保

8、持模拟输入值，直到保持命令被取消(即再次接收采样命令时)。2、样品架的原理，图3.2.7，样品架的组成，14、(1)保持采样信号不变以完成模数转换；(2)增加模拟输入信号的频率范围，满足一些随时间快速变化的信号要求，消除转换误差；(3)同时采样几个模拟量进行数据处理和测量；(4)减少数模输出器件的输出毛刺，消除输出电压峰值，缩短稳定输出值建立时间。3。样品架的主要功能，常用的集成样品架有LF198/298/398、AD582/585/346/389等。4.常用的集成样品架；15.抽样过程的数学描述；2.调制采样信号可以表示为：1。理想的脉冲序列可以表示为：也可以表示为：3。量化单位定义为：em

9、ax和emin分别是模拟信号的最大值和最小值；n是二进制数的字长。量化过程实际上是一个舍入过程，包括“向上舍入、向下舍入”和“舍入”。大多数模数转换器采用“舍入”。16，6，信号保持，连续信号通过采样器后被转换成离散信号，它们的输出经过脉冲控制器处理后仍然是离散信号，而采样控制系统的被控对象一般只能接收连续信号，因此需要一个保持器将离散信号转换成连续信号。工程中使用最广泛、最简单的保持器是零阶保持器。零阶保持器：是一种具有常数外推规则的保持器，它在一个采样周期内保持信号不变，形成一个步进的连续模拟信号。主要功能是完成信号恢复。传递函数如下：图3.2.8零阶保持器的输入输出信号，17.3 Z变换

10、理论，1。Z变换的推导，(1)序列的傅里叶变换定义为：其中ej是一个复函数，变量是一个实数；Ej也可以看作是复变量j的函数，此时e j是复变量函数。(2)序列傅里叶变换存在的充分条件如下：(1)Z变换是由序列傅里叶变换导出的，由此可以看出某些序列傅里叶变换的存在受到绝对可加性条件的限制。为了使更多的函数具有傅里叶变换，引入了一个衰减因子e-n，并乘以f(n)，这样就很容易满足绝对可加性条件。然后是：DTFT，设z=e j，则该序列的Z变换公式可以从上面的公式中得到：双边Z变换，当0n时，单边Z变换，18，(2)连续函数f(t)的拉普拉斯变换为：(1)连续信号f(t)通过采样开关后得到的采样信号

11、f*(t)为：(3)采样信号f*(t)的拉普拉斯变换为：然后，当0n时，得到单边Z变换，(4)采样信号f*(t)的Z变换定义为：f(n)的单边z变换定义为：双边z变换定义为：2。z平面和s平面之间的映射关系。对于连续系统，当复变量s的实部在s平面上为0 (s=j)时，即在虚轴j上，拉普拉斯变换是连续时间傅里叶变换。对于离散系统，当复变量Z在Z平面上的模为1时，即在半径为1的单位圆上，Z变换是离散时间傅里叶变换。左半平面，虚轴J，右半平面，从左向右移动，在单位圆内，在单位圆上，在单位圆外，半径展开，22，3，Z变换的定义，典型序列的收敛域和Z变换，1，离散序列f(n)的Z变换(单侧)的定义为：离

12、散序列f(n)的根据级数理论，对于任何有界的离散序列f(n)， z变换公式(即级数)绝对收敛或F(z)存在的充要条件是幂级数是绝对可和的，即z变换只有当级数绝对收敛时才有意义。因为，为了满足上述绝对可加性的条件，|z|必须在一定程度上受到限制。这个范围一般可以表示如下：可以看出，Z变换的收敛域是一个环形区域，它被两个圆所包围，其中Rx-和Rx是Z平面上的半径。24，3，典型序列的Z变换，典型序列的Z变换及其收敛域，拉普拉斯变换和常用函数的Z变换见教材P186的附录A。25，性质和定理4，z变换，26，(1)线性性质，如果x1nX1(z)，ROC=R1x2nX2(z)，ROC=R2，然后ax1n

13、 bx1naX1(z) bX2(z)，ROC包括R1R2a，b是任何复常数注：对于具有有理z变换的序列，如果线性组合后极点和零点互相抵消，收敛域可能扩大。27，例：线性组合后，anun-anun-1=n1，此时，收敛域扩展到整个z平面。28，xn-n0z-n0x (z)如果xnX(z)，ROC=R，(2)时移属性，ROC=R，原点或无穷大可以被移除或添加。时移后，收敛域可能会改变。这是因为因子z-n0是相乘的。如果为n00，则z=0时引入的极点将抵消z=0时的零点。此时，z-n0X(z)的ROC是时间偏移之前的X(z)的ROC移除原点(即，z0)。如果为n00，则z=0时引入零将抵消z=0时的

14、X(z)极点。此时，z-n0X(z)的ROC是时间偏移之前的X(z)的ROC，并且无穷远点(即，z)被移除。n的z变换的ROC是整个z平面；n-1的z变换在z=0时不收敛；n 1的z变换在z=处不收敛。29，例如，请结合线性和时移属性来寻找矩形序列un-un-k的Z变换，其中K是常数。单位阶跃序列un的z变换，|z|1。从时移性质，从线性性质，30，如果xnX(z)，ROC=R，则anxnX(z/a)，ROC=|a|R，a是任意复常数。(3)频移性质，即离散序列xn在时域上乘以指数序列an，图像函数在Z平面上按比例被压缩一倍，这种性质也称为Z域的比例变换。收敛域也在原收敛域的基础上按比例缩小到

15、|a|R。31，如果xnX(z)，ROC=R，则x-nX(1/z)，ROC=1/R，(4)时间反演性质，利用时间反演性质，可以分别得到奇数和偶数对称信号的z变换关系。对于奇对称信号x-n=-xn可以获得X(1/z)=-X(z)，对于偶对称信号x-n=xn可以获得X(1/z)共轭性质，如果xnX(z)，ROC=R如果x1nX1(z)，ROC=R1x2nX2(z)，ROC=R2，那么x1n*x2nX1(z)X2(z)，ROC包括R1R2，(6)卷积性质，X1(z)X2(z)的收敛域包括重叠部分因此，卷积性质表明当两个多项式或幂级数X1(z)和X2(z)相乘时，表示乘积的多项式的系数是多项式X1(z

16、)和X2(z)中的系数的卷积。33，(7)z-域中的微分性质，(8)z-域中的积分性质，(34)，(9)初始值定理，它表明对于因果序列，如果xn是有限的，那么它是有限的。也就是说，如果将X(z)写成两个多项式的比值，则分子多项式的阶数不能大于分母多项式的阶数，或者零的个数不能大于极点的个数。利用初值定理可以方便地检验Z变换的结果是否正确。X0通常是已知的，通过求解并与x0进行比较，我们可以判断Z变换结果是否正确。35，36，10，终值定理。利用终值定理，我们可以发现当n非常方便时xn的特征。这有助于研究系统的稳态特性。37，5。寻找Z变换的方法，1。级数求和法。利用Z变换性质的方法，3。部分分式法，4。查表法，38。6.Z逆变换(逆Z变换)，1。从F(z)恢复原始序列F(n)的操作称为Z逆变换。2.在复变函数理论中，Z逆变换的定义公式为：它是一个轮廓积分，而C代表一条在收敛域中逆时针围绕Z平面坐标原点的闭合曲线。3.z逆变换也可以记录为