第五章5.3概率的计算公式...ppt

1、全班共有50个学生，其中数学成绩优秀者15人，语文成绩优秀者10人，数学与语文成绩优秀者5人,求数学或语文成绩优秀者的概率,解：设A=数学成绩优秀者，B=语文成绩优秀者,则数学与语文成绩优秀者=AB,数学或语文成绩优秀者=A+B,（一）概率的加法公式,对任意两个事件A与B，有,特别地，（1）若A与B互不相容，则,（2）若A与B为对立事件，则,可推广到有限多个互不相容事件：若A1，A2，An两两之间互不相容，则,例1设、为两事件，,且设，求,解,而,所以,于是,例2：某商店销售的某种商品由甲厂与乙厂供货，历年供货资料表明，甲厂按时供货的概率为0.8，乙厂供货的概率为0.7，甲乙厂供货的概率为0.

2、6，求此种商品在该商店货架上不断档的概率,例3：某人选购了两支股票据专家预测，在未来的一段时间里，第一支股票能赚钱的概率为2/3，第二支股票能赚钱的概率为3/4，两支股票都能赚钱胡概率为3/5，求此人购买这两支股票中，至少有一支能赚钱的概率,例4：某家庭中有两个孩子，已有一个孩子是女孩的条件下，求另一个也是女孩的概率,解：=男男，男女，女男，女女B=已有一个孩子是女孩,在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，通常称为条件概率，记为P(A|B).,从而,（二）条件概率和乘法公式,A=另一个也是女孩,=男女，女男，女女,=女女,例5设某种动物从出生起活20岁以上的概率为80%，活25岁以上的

3、概率为40%如果现在有一个20岁的这种动物，求它能活25岁以上的概率解：设A表示“能活20岁以上”的事件，B表示“能活25岁以上”的事件,则有所求概率为,由于BA,所以P(AB)=P(B),由条件概率公式容易得到下面定理定理1设A与B是同一样本空间中的两个事件，如果P(A)0，则如果P(B)0，则上面均称为事件概率的乘法公式定理1容易推广到求多个事件积事件概率的情况,事实上,可进一步推广如下:,右侧的条件概率均有意义,例6某厂的产品中有4%的废品，在100件合格品中有75件一等品，试求在该厂的产品中任取一件是一等品的概率解：设A=“任取的一件是合格品”，B=任取的一件是一等品因为且BA所以,例

4、7.某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号求他拨号不超过三次而接通电话的概率若已知最后一位数字是奇数，那么此概率又是多少？解：设Ai=“第i次接通电话”，i=1，2，3，B=“拨号不超过3次接通电话”，则事件B的表达式为利用概率的加法公式和乘法公式,若已知最后一位数字是奇数，则,课堂练习设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.,解,B“透镜落下三次而未打破”.,一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到一张入场券.大家都想去

5、,只好用抽签的方法来解决.,5张同样的卡片，只有一张上写有“入场券”，其余的什么也没写.将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”,后抽比先抽的确实吃亏吗？,到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每个人抽到“入场券”的概率到底有多大?,“大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到入场券的机会都一样大.”,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,（三）全概率公式与贝叶斯公式,A1,A2,A3,A4,A6,A7,A5,A8,由概率的可加性及乘

6、法公式,有,这个公式称为全概率公式，它是概率论的基本公式.,全概率公式,利用全概率公式，可以把较复杂事件概率的计算问题，化为若干互不相容的较简单情形，分别求概率然后求和,例8市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品,已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50,且三家工厂的次品率分别为3、3、1，试求市场上该品牌产品的次品率.,设A1、A2、A3分别表示买到一件甲、乙、丙的产品；,B表示买到一件次品，,解,加权平均,显然A1、A2、A3构成一个完备,事件组，,由题意有,由全概率公式，,例9袋中有a个白球b个黑球，不放回摸球两次，问第二次摸出白球的概率为多少？,解,分别记A,B为第一次、第

7、二次摸到白球，,由全概率公式,在上面例8中，如买到一件次品，问它是甲厂生产的概率为多大？这就要用到贝叶斯公式.,(贝叶斯公式),定理,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因Ak的概率.,所以这件商品最有可能是甲厂生产的.,例10已知三家工厂的市场占有率分别为30、20、50,次品率分别为3、3、1.如果买了一件商品，发现是次品，问它是甲、乙、丙厂生产的概率分别为多少?,0.3,0.2,0.5,0.45,0.3,0.25,解,全概率公式可看成“由原因推结果”,而贝叶斯公式的作用在于“由结果推原因”:现在一个“结果”A已

8、经发生了，在众多可能的“原因”中,到底是哪一个导致了这一结果？,故贝叶斯公式也称为“逆概公式”.,在不了解案情细节(事件A)之前，侦破人员根据过去的前科，对他们作案的可能性有一个估计，设为,比如原来认为作案可能性较小的某丙，现在变成了重点嫌疑犯.,例如，某地发生了一个案件，怀疑对象有甲、乙、丙三人.,丙,乙,甲,P(A1),P(A2),P(A3),但在知道案情细节后,这个估计就有了变化.,P(A1|B),知道B发生后,P(A2|B),P(A3|B),偏小,最大,解,例1110个乒乓球有7个新球3个旧球.第一次比赛时随机取出2个，用过后放回.现在第二次比赛又取出2个，问第二次取到几个新球的概率最

9、大？,具体计算得,由全概率公式，,所以第二次取到一个新球的概率最大.,（四）独立事件的概率公式,由条件概率，知,一般地，,这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率有影响.,然而，在有些情形下又会出现：,则有,引例,注.1,说明,事件A与B相互独立,是指事件A的发生与事件B发生的概率无关.,独立与互斥的关系,这是两个不同的概念.,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立但两事件不互斥.,两事件相互独立,两事件互斥.,由此可见两事件互斥但不独立.,又如：,两事件相互独立.,两事件互斥,若A与B互斥，则AB=,B发生时，A一定不发生.,这表明:B的发生会影响A发生的可能性(造成A不发

10、生),即B的发生造成A发生的概率为零.所以A与B不独立.,理解:,若事件A与B相互独立,则以下三对事件,也相互独立.,注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.,甲,乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率为0.5,求敌机被击中的概率.,解,设A=甲击中敌机,B=乙击中敌机,C=敌机被击中,依题设,A与B不互斥,例12,(P(A)+P(B)=1.11P(AB),由于甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以A与B独立,进而,=0.8,三事件两两相互独立的概念,定义,设A1，A2，An为n个事件，若对于任意k(1kn),及1i1i2ikn,n个事件的独立性

11、,定义,若事件A1，A2，An中任意两个事件相互独立，即对于一切1ijn,有,定义,两个结论,n个独立事件和的概率公式:,设事件相互独立,则,也相互独立,即n个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.,结论的应用,则“至少有一个发生”的概率为,P(A1An)=1-(1-p1)(1-pn),类似可以得出：,=1-p1pn,对独立事件，许多概率计算可得到简化：,例13三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解：将三人编号为1，2，3，,所求为P(A1+A2+A3),记Ai=第i个人破译出密码i=

12、1,2,3,记Ai=第i个人破译出密码i=1,2,3,1,2,所求为P(A1+A2+A3),已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,P(A1+A2+A3),=1-1-P(A1)1-P(A2)1-P(A3),3,则“至少有一个发生”的概率为,P(A1+An)=1-(1-p1)(1-pn),类似可以得出：,=1-p1pn,加工某一零件共需经过四道工序,设第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的,零件的次品率.,解,本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.,设,为四道工序发生次品事件,加工出来的零件为次品的事件,的事件,故有,为,分别是2%,3%,5%,加工某一零件共需经过四道工序,设第一、,二、三、四道工序的次品率,3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的,零件的次品率.,解,本题应先计算合格品率,这样可以使计算简便.,分别是2%,3%,5%,则称这n次重复试验为n重贝努里试验，简称为贝努里概型.,若n次重复试验具有下列特点：,（五）二项概率公式,1)每次试验的可能结果只有两个A或,2)各次试验的结果相互独立，,(在各次试验中p是常数，保持不变）,一般地，对于贝努里概型，有如下公式：,定理,如果在贝努里试验