余弦定理（公开课）

1、一、实际应用问题,5km,8km,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角， 最后通过计算求出山脚的长度BC。,思考：你能求出上图中山脚的长度BC吗？,二、化为数学问题,已知三角形的两边及它们的夹角，求第三边。,例：在ABC中，已知BC=a，AC=b，BCA=C 求：c（即AB）,探 究： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c.,设,由向量减法的三角形法则得,三、证明问题,C,B,A,c,a,b,

2、由向量减法的三角形法则得,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,C,B,A,c,a,b,由向量减法的三角形法则得,探 究： 若ABC为任意三角形，已知角C， BC=a,CA=b,求AB 边 c.,设,同理：,D,bcosC,bsinC,a-bcosC,同理：,探 究： 在ABC中，已知CB=a,CA=b，CB与CA 的夹角为C， 求边c.,(0，0),(a,0),(bcosC,bsinC),坐标法,同理：,余 弦 定 理,推论：,角对边的平方等于两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,余 弦 定 理,三角形任何一边的平方等于其他两边平

3、方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。,剖析余弦定理：,（1）本质：揭示的是三角形三条边与某一角的关系， 从 方程的角度看，已知三个量，可以求出第四个量；,（2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例；,（3）主要解决两类三角形问题：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边；,（4）余弦定理的优美形式和简洁特征：给定一个三角形任意一个 角都可以通过已知三边求出；三个式子的结构式完全一致的。,题型一、已知三角形的两边及夹角求解三角形,解决实际应用问题,5km,8km,某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道通过这座山的长度。工程技术人员先在地面上选一适当位置A，量

4、出A到山脚B、C的距离，分别是AC=5km，AB=8km ，再利用经纬仪（测角仪）测出A对山脚BC的张角， 最后通过计算求出山脚的长度BC。,例2.在ABC中，已知a= ,b=2,c= , 解三角形(依次求解A、B、C).,解：由余弦定理得,题型二、已知三角函数的三边解三角形,例3、在ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断ABC的形状,题型三、判断三角形的形状,解：,由余弦定理得：,变式训练：,在ABC中，若 ，则ABC的形状 为（ ）,、钝角三角形 、直角三角形 、锐角三角形 、不能确定,A,推论：,知识提炼：,提炼：设a是最长的边，则,ABC是钝角三角形,ABC是锐角三角形,ABC是直角三角形,思考,在解三角形的过程中，求某一个角有时 既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？,在已知三边和一个角的情况下：求另一个角,用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断舍取。,用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要进行判断舍取,小结:,余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断