定积分的概念与性质

1、第一讲 定积分的概念与性质,一、定积分的概念,（一）引例 （二）定义 （三）可积条件 （四）几何意义,（一）引例,1.曲边梯形的面积,（一）引例,1.曲边梯形的面积,（一）引例,1) 分割.,在a , b中任意插入 n 1 个分点,2) 取近似.,3) 求和.,4) 取极限.,1.曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,将它分成,1) 分割.,2) 取近似.,在T1 , T2中任意插入 n 1 个分点,（一）引例,1) 分割.,在a , b中任意插入 n 1 个分点,2) 取近似.,3) 求和.,4) 取极限.,1.曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,将它分成,1) 分割.,2) 取近似.

2、,在T1 , T2中任意插入 n 1 个分点,（一）引例,1) 分割.,在a , b中任意插入 n 1 个分点,2) 取近似.,3) 求和.,4) 取极限.,1.曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,将它分成,1) 分割.,2) 取近似.,在T1 , T2中任意插入 n 1 个分点,3) 求和.,4) 取极限.,不同点：,背景不同,（一）引例,1) 分割.,在a , b中任意插入 n 1 个分点,2) 取近似.,3) 求和.,4) 取极限.,1曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,将它分成,1) 分割.,2) 取近似.,在T1 , T2中任意插入 n 1 个分点,3) 求和.,4) 取极限

3、.,不同点：,背景不同,相同点：,方法相同,（一）引例,1) 分割.,在a , b中任意插入 n 1 个分点,2) 取近似.,3) 求和.,4) 取极限.,1曲边梯形的面积,2.变速直线运动的路程,将它分成,1) 分割.,2) 取近似.,在T1 , T2中任意插入 n 1 个分点,3) 求和.,4) 取极限.,不同点：,背景不同,相同点：,方法相同,数学形式相同,设函数 在 上有界，,在 中任意插入若干个分点,把区间 分成 个小区间,各个小区间的长度依次为,并作和,（二）定义,注,定积分是一个数!,(1),(2),定积分仅与,(3),被积函数,积分区间,有关，,与,区间分法,i的取法,积分变量

4、记法,无关,（二）定义,定理1,设f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上可积.,定理2,设f(x)在a,b上有界，且只有有限个间断点， 则f(x)在a,b上可积.,利用定义计算定积分,例1,（三）可积条件,曲边梯形面积,曲边梯形面积的负值,（四）几何意义,x轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差,在 上 既取得正值又取得负值,（四）几何意义,利用定积分的几何意义计算下列定积分,例2,（四）几何意义,约定,性质1,性质2,性质3,可加性,设,则,注,不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立,那么,设 与 均为常数,则,二、定积分的性质,性质4,推论2,注,例3,不等式,推论1,下列积分哪一个较大？,和,那么,二、定积分的性质,性质5,例4,性质6,注,(1)几何解释,(2)实际意义,f(x)在a,b上的平均值,二、定积分的性质,小结,2定积分的实质：,