小学六年级奥数教案：第27讲 表面积与体积（一）

1、第27讲表面积和体积(一)一，知识的要点小学学习的三维图形主要包括四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到三维图形是认知上的一次飞跃，需要更高层次的空间想象。因此，要牢牢把握这些几何图形的特点和相关的计算方法，对公式进行适当的变形，培养数形结合的良好习惯。解决问题时，我们应该仔细观察，合理灵活地想象，并正确计算。在解决三维图形的表面积问题时，我们应该注意以下几点：(1)充分利用立方体的六个面面积相等，每个面都是正方形的特点。(2)将三维图形切割成两部分，新增加的表面积等于截面积的两倍。相反，当两个三维图形结合在一起时，减小的表面积等于结合面积的两倍。(3)如果几个长方体拼接成一个表面积

2、最大的长方体，它们的最小表面应该拼接在一起。如果几个长方体拼接成一个表面积最小的长方体，它们最大的面应该拼接在一起。第二，精心和简洁实施例1从长10厘米的方形木块上挖出一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体。剩余部分的表面积是多少？这是一个悬而未决的问题，有许多方法：(1)如图27-1所示，沿着一边挖，剩余部分的表面积为592平方厘米。如图27-2所示，挖到一定的表面，剩余部分的表面积为632平方厘米。如图27-3所示，挖通相对的两边，剩余部分的表面积为672平方厘米。练习1:1.从一块长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖一个长2厘米的小立方体。剩余部分的表面积是多少？2.将一

3、个长12分米、宽6分米、高9分米的长方体块锯成两个相同的小型工厂建筑块。与最初的长方体相比，这两个长方体的表面积之和增加了多少平方分米？3.在一个边长为4厘米的立方体上挖一个边长为1厘米的小立方体后，表面积会有什么变化？示例2如图27-4所示，将19个边长为3厘米的立方体重叠在一起，形成一个三维图形，并计算该三维图形的表面积。为了得到这个复杂物体的表面积，我们必须从整体开始，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小立方体的面组合成下图(如图27-5所示)。从其他三个方向看的面积等于上述三个方向的面积。整个三维图形的表面积可以用(左前上)2来计算。(339 338 3310)2=(81 72 9

4、0)2=2432=486 (cm2)这个三维图形的表面积是486平方厘米。练习2:1.使用边长为1 cm的立方体制作如图27-6所示的三维图形。找出这个三维图形的表面积。2.一堆积木(如图27-7所示)由16个2厘米长的小立方体组成。它们的表面积是多少平方厘米？图27-73.立方体的表面积是384平方厘米，平均分为64个相等的小立方体。每个小立方体的表面积是多少？实施例3将两个长、宽、高分别为9厘米、7厘米和4厘米的相同长方体拼接成一个大长方体。这个大长方体的最小表面积是多少？当两个相同的大长方体拼接成一个大型厂房时，需要拼接两个相同的面，得到的大型厂房的表面积减少了两个拼接面的面积。为了最小

5、化大长方体的表面积，有必要最大化两个分裂面的面积，即减少两个97面。(99 94 74)22-972=(63 36 28)4-126=508126=382 (cm2)这座大型厂房的面积至少有382平方厘米。练习3:1.将两个底部面积为20平方厘米的立方体组装成一个长方体。长方体的表面积是多少？2.将一个表面积为30平方厘米的立方体分成两个长方体，然后将两个长方体拼接成一个大长方体。找出一个大长方体的表面积。3.有许多方法可以用六个长方体木块做成一个大长方体(如图27-8所示)。最小的平方厘米表面积是多少？图27-8例4长方体，如果长度增加2厘米，体积增加40立方厘米；如果宽度增加3厘米，体积增

6、加90立方厘米；如果高度增加4厘米，体积增加96立方英里，计算出原来长方体的表面积。我们知道：体积=长度、宽度和高度；通过将长度增加2厘米，体积增加40立方厘米，我们可以看到宽度和高度=402=20(平方厘米)；通过增加3厘米的宽度和90立方厘米的体积，可以看出长度和高度=903=30(平方厘米)；高度增加4厘米，体积增加96立方厘米。可以看出，长度和宽度=964=24(平方厘米)。长方体的表面积是(长、宽、高、宽、高)2=(20 30 24)2=148(平方厘米)。也就是说，402=20 (cm2)903=30 (cm2)964=24 (cm2)(30 20 24)2=742=148 (cm

7、2)答：原来长方体的表面积是148平方厘米。练习4:1、长方体，如果长度减少2厘米，体积减少48立方厘米；如果宽度增加5厘米，体积增加65立方厘米；如果高度增加4厘米，体积增加96立方厘米。厂房的面积是多少？2.厂房的木块从下到上切掉3厘米和2厘米高的长方体后变成立方体，表面积减少120平方厘米。原始厂房的体积是多少立方厘米？3.有一栋厂房，如下图所示，其前部和上部面积之和为209。如果它的长度、宽度和高度是质数，这个长方体的体积是多少？图27-9例5如图27-10所示，三个高度为1米、底部半径为1.5米、1米和0.5米的圆柱体构成一个物体。找出这个物体的表面积。如果分别计算三个圆柱体的表面积，然后减去重叠部分的面积，计算起来很麻烦。事实上，三个向上面的面积之和正好是大圆柱体的一个底部面积。这样，这个物体的表面积等于大圆柱体的表面积加上中小圆柱体的横向面积。3.141.51.52 23 . 141 . 51 23 . 1411 23 . 140 . 51=3.14(4.5 3 2 1)=3.1410.5=32.97 (m2)这个物体的表面积是32.97平方米。练习5:1.棱柱长度为40厘米的正方形部分(如图27-11所示)有一个直径为4厘米、孔深为10厘米的圆孔。找出这部分的表面积。2.如图27-12所示，制作一个工件(单位：厘米)