信号的描述方法.ppt

1、BG,1,第3章 信号的描述方法,3.1 信号的分类 3.2 信号的时域描述 3.3信号的频域描述 3.4 随机信号的描述,返回,BG,2,在工程和科学研究中，经常要对许多客观存在的物体或物理过程进行观测，就是为了获取有关研究对象状态与运动等特征方面的信息。被研究对象的信息量往往是非常丰富的，测试工作是按一定的目的和要求，获取信号中感兴趣的、有限的某些特定信息，而不是全部信息。为了达到测试目的，需要研究信号的各种描述方式，本章介绍信号基本的时域和频域描述方法。,BG,3,3.1 信号的分类,信号按数学关系、取值特征、能量功率等，可以分为确定性信号和非确定性信号、连续信号和离散信号、能量信号和功

2、率信号等。,BG,4,3.1.1 分类方法一：确定性信号和随机信号,BG,5,1.确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。,m,x(t),0,x(t),f0,A,t,k,BG,6,周期信号：经过一段时间间隔重复出现的信号，无始无终（时域无穷）。典型的如正（余）弦信号。,周期：满足上式的最小T 值。 频率：周期的倒数，f = 1/T，单位：（Hz 赫兹） 圆频率/角频率：频率乘以2 f, 即 =2 f =2 /T 实际应用中，n 通常取为正整数。,数学表达：,信号的分类,T0 = 2 / 0 =1/ f0,BG,7,(a) 周期信号之-正弦信号：,这种频率单一的正弦或余弦

3、信号称为谐波信号。,BG,8,（如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公共周期。,x(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 t,(b) 周期信号之-复杂周期信号,BG,9,(a)非周期信号之-准周期信号,非周期信号 能用明确的数学关系进行描述，但又不具有周期重复性的信号，称为非周期信号。它分为准周期信号和瞬态信号两类。,也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期（本质上不属于周期信号）。,BG,10,是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。,(b)非周期信号之-瞬态信号,BG,1

4、1,2.随机性信号：,不能准确预测信号未来瞬时值，也无法用准确数学关系式来描述的信号，称为随机信号，也称不确定性信号。,特点： 非确定性信号。 具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性。 采用概率和统计的方法进行描述。,t,0,x(t),BG,12,3.1.2 分类法二：连续信号和离散信号,若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为连续信号。若独立变量取离散值，则称为离散信号。,BG,13,BG,14,3.1.3分类法三：能量信号和功率信号,如周期信号、准周期信号、随机信号等。,信号的瞬时功率：,信号能量：,能量（有限）信号：,功率（有限）信号： 信号在

5、有限区间（t1, t2）上的平均功率：,如各类瞬变信号。,BG,15,信号的时域描述 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系。 波形图：时间为横坐标的幅值变化图。 优点：形象、直观。 缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。,信号的描述分时域描述与频域描述两大类方法 。,3.2 信号的时域描述,BG,16,信号的频域描述 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的函数关系。 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。 幅值谱：幅值-频率图 相位谱：相位-频率图 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅

6、值和相角的大小，描述更简练、深刻、方便。,BG,17,信号时域与频域描述的关系 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同； 时域描述与频域描述各有用武之地； 将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析； 采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitude spectrun)和相位谱(phase spectrum)。,BG,18,3.2.1 时域信号的合成与分解,1.稳态分量与交变分量； 信号可以分解为稳态分量与交变分量之和，如图所示。即,BG,19,2.偶分量与奇分量； 信号可以分解为偶分量与奇分量之和，如图所示。即 偶分量关于纵轴对称，奇分量关于原

7、点对称。 信号分解为奇、偶分量之和,BG,20,3.实部分量与虚部分量； 对于瞬时值为复数的信号可分解为实、虚两部分之和，即 4.正交函数分量,信号,可以用正交函数集来表示，即,各分量正交的条件为,各分量的系数,满足正交条件的函数集有：三角函数、复指数函数等。,BG,21,常用统计参数：均值、均方值和方差。,均值(mean)反映信号的静态分量，即常值分量：,均方值(mean square)反映信号的能量或强度：,3.2.2 信号的统计特征参数,方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况：,三者关系,BG,22,狄里赫利（Dirichet）条件： 信号（函数）在一个周期内，若存在间断点，

8、则间断点的数目为有限个。 信号（函数）在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。 信号（函数）在一个周期内，信号绝对可积，即,3.3.1 周期信号的频域描述 （1）三角函数展开式 （傅里叶级数法）,3.3 信号的频域描述,BG,23,其中,则可以展开为,傅里叶系数,BG,24,式中,进一步，可以改写为,BG,25,例：求方波信号的频域描述（傅里叶级数法）,T0,T0,T0 2,T0 2,0,t,x(t),BG,26,解：信号x(t)为奇函数，在一个周期内对奇函数积分结果为0，故有：,BG,27,，,4A ,4A 3,4A 5,0,A(),0,30,50,0,0,30,50, (),/2,幅值谱

9、,相位谱,BG,28,BG,29,周期方波信号的时、频域描述,BG,30,（2）复指数展开式,所以：,欧拉公式,令：,BG,31,(n=0,1,2,）,信号的描述,其中：,故用统一的公式描述傅里叶级数的复数形式为：,BG,32,按实频谱和虚频谱形式,幅频谱和相频谱形式,幅频谱图：| Cn | - 实频谱图： CnR - 虚频谱图： CnI - 相频谱图： n - ,信号的描述,BG,33,例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。,解：,C-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, ）,C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3,

10、）,BG,34,单边幅频谱,单边幅频谱,双边幅频谱,双边幅频谱,BG,35,几点结论,复指数函数形式的频谱为双边谱（ 从 - 到 +），三角函数形式的频谱为单边谱（ 从 0 到 +）。,两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：,双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数,一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。,BG,36,综上所述，周期信号频谱的特点如下： 周期信号的频谱是离散谱； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数； 复杂周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次数的增高而减小 在频谱分析

11、中没有必要取次数过高的谐波分量。,信号的描述,BG,37,3.3.2 非周期信号的频域描述,瞬变信号例 参见下页,频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，是周期信号。 当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号（属非周期信号）。 一般非周期信号是指瞬变信号。,BG,38,非 周 期 信 号,准周期信号 信号中各简谐成分 的频率比为无理数 具有离散频谱,瞬变信号 在一定时间区间内 存在或随时间的增 长衰减至零,BG,39,（1）傅里叶变换 （非傅里叶级数）,非周期信号可以看成是周期T0 趋于无穷大的周期信号。,谱线无限靠近，变为连续谱 。,谱线长度：,此时根据傅里叶

12、级数展开所表示的谱线失去意义。 信号存在就必然含有一定的能量，无论信号怎样分解，其所含总能量应当不变。 无论周期增大到何种程度，信号能量沿频率域的分布特征总存在，即非周期信号的频谱依然存在。,BG,40,设周期信号x(t)在一周期内的傅里叶级数表示为,其中：,T0时， = 0 0，n0 ，Cn0。 但 CnT0 存在：,信号的描述,BG,41,Cn表示n0（即）处的频谱值，而 反映了单位频带的频谱值（0为谱线间隔），称为非周期信号的频谱密度(spectrum density)函数，简称频谱函数，它反映了信号能量沿频域的分布状况。 若以 的值为高、以间隔0为宽画一个小矩形，则该小矩形的面积等于

13、= n0频率处的频谱值Cn(n0)。,信号的描述,BG,42,信号的描述,BG,43,傅里叶变换（FT）,傅里叶逆变换（IFT）,以,代入得,记为：,BG,44,用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为,非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。 为信号幅值的量纲。 为信号单位频宽上的幅值，是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。,BG,45,例：矩形窗函数的频谱（属非周期、瞬态信号，区别方波）,W(f)中 T 称为窗宽，,森克函数，通常称窗函数,BG,46,W(f)函数只有实部，没有虚部。,sinc 以2为周期并随的增加作衰减振荡。 sinc是偶函数，在n（n=1,

14、 2, ）处其值为0。,信号的描述,BG,47,非周期信号频谱的特点,基频无限小，包含了从 0 的所有频率分量。,频谱连续。,|X()|与|Cn|量纲不同。|Cn|具有与原信号幅 值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值。,非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。,BG,48,（2） 傅里叶变换的主要性质,积 分,x(t t0),时 移,频域微分,x(kt),尺度变换,时域微分,x(-f),X(t),对 称 性,X1(f)X2(f),x1(t) x2(t),频域卷积,AX(f)+bY(f),ax(t)+by(t),线性叠加,X1(f) X2(f),x1(t)x2(t),时域卷积,实奇函数,虚奇

15、函数,X*(-f),x*(t),共 轭,虚偶函数,虚偶函数,X(-f),x(-t),翻 转,虚奇函数,实奇函数,X(f f0),频 移,实偶函数,实偶函数,函数的奇偶虚实性,频 域,时 域,性 质,频 域,时 域,性 质,BG,49,频域分析：傅里叶变换，自变量为 j w 复频域分析：拉普拉斯变换, 自变量为 S = +j w Z域分析：Z 变换，自变量为z,频域、复频域、Z域的关系,补充预备知识：,BG,50,奇偶虚实性,若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数。 若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数。 若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X

16、(f)为虚偶函数。 若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数。,若x(t)为实函数，则 ReX( f ) = ReX( -f ) ImX( f ) = - ImX( -f ),BG,51,对称性：,证明： 互换 t 和 f 从而：X(t) x(-f),BG,52,尺度改变性,证明：,（k 0）,（k 1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。,BG,53,尺度改变性质举例,BG,54,证明： 若 t0为常数 则,时移结果只改变信号的相频谱，不改变信号的幅频谱,时移性,BG,55,(c) 时移的时域矩形窗 (d) 图(c)对应的幅频和相频特性曲线 时移性质举例

17、,（a）时域矩形窗,图（a）对应的幅频和相频特性曲线,0,0,0,0,0,0,BG,56,例：求三个窗函数的频谱。,对于矩形窗函数w(t),问题描述为求w(t -)+ w(t)+ w(t +)的频谱,根据时移性质,BG,57,频移特性,若f0为常数,证明,BG,58,卷积特性,证明： 函数x(t)与y(t)的卷积定义为,同理可得,BG,59,微分特性,证明：,同理：,BG,60,傅里叶的两个最主要的贡献,周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和 傅里叶的第一个主要论点 非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示 傅里叶的第二个主要论点,BG,61,3.3.3 几种典型信号的频谱,3.3.3.1

18、单位脉冲函数(函数) 的频谱 1. 函数定义,且其面积（强度）：,BG,62,2. 函数的性质,采样性,BG,63,函数与其他函数的卷积示例,(t),0,t,1,x(t),0,t,A,0,t,A,x(t) (t),(tt0),0,t,x(t),0,t,0,t,(t+t0),(t-t0),x(t) (t t 0),-t0,t0,-t0,t0,BG,64,3. 函数的频谱,对(t)取傅里叶变换,函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”。,函数是偶函数，即 ，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对,BG,65,（各频率成分分别移相2ft0）,(t t0),(f) （单

19、位脉冲谱线）,1 （幅值为1的直流量）,1 （均匀频谱密度函数）,(t) （单位瞬时脉冲）,频 域,时 域,单位脉冲函数的时、频域关系,BG,66,3.3.3.2 矩形窗函数和常值函数的频谱,（1）矩形窗(rectangle window)函数的频谱,BG,67,BG,68,（2）常值函数(又称直流量) 的频谱,幅值为1的常值函数的频谱为 f = 0处的函数。,当矩形窗函数的窗宽 T 趋于无穷时，矩形窗函数就成为常值函数，其对应的频域为函数。,BG,69,(3) 单位阶跃函数的频谱 单位阶跃函数可以看作是单边指数衰减函数a 0时的极限形式。,BG,70,单位阶跃函数及其频谱,BG,71,（4）

20、正余弦(sine/cosine)函数的频谱密度函数,正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅里叶变换。由欧拉公式知：,BG,72,BG,73,（5）梳状(comb)函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱,Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅里叶级数,（fs = 1 / Ts）,因为在（-Ts /2，Ts /2）区间内只有一个函数(t)，故,BG,74,从而,所以,即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。,BG,75,（6）指数(exponent)函数的频谱,双边指数衰减函数,其傅里叶变换为,BG,76,单边指数衰减函数及其

21、频谱,BG,77,（7） 符号(sign)函数及其频谱,符号函数的频谱 符号函数可以看作是双边指数衰减函数当a 0时的极限形式，即：,BG,78,随机信号是非确定性信号 随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性 随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述 相关概念 随机现象：产生随机信号的物理现象 样本(sample)函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第i次观测。 样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数 随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作x(t)，即 x(t) = x1(t)，x2(t)，xi(t)，,3.4 随机信号的频域描述,BG,79,随机变量：随机过程在某一时刻t1的取值x(t1)是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。 集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程 x(t) ，随机过程在任何时刻的统计特性需用其样本函数的集合平均来描述。 时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。 平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特性不随时间而变化，或者说，不随时间坐