正弦定理（新人教A版必修5用

1、主讲老师：张胜波,1.1.1正弦定理,想一想？,一、情景导入：,问题1：如图，河流两岸有A、B两村庄，有人说利用测角器与直尺，不过河也可以得到A、B两地的距离(假设你现在的位置是A点)，请同学们讨论设计一个方案解决这个问题。,问题2：此类问题可以归纳为在三角形中，已知某些边与角，求其他的边与角的问题，此类问题在数学里称为_问题.,解三角形,C,1、测出角A、C的大小,2、量出AC的长度,正弦定理,问题3：在Rt三角形中，角C=90o，如何定义 sinA, sinB?,那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？,正弦定理,?,可分为直角三角形，锐角三角形， 钝角三角形三种情况分析.,当ABC

2、是锐角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,C,A,B,D,a,b,c,同理，做BC边上的高可得,CD=asinB=bsinA,则,E,所以，,AE=bsinC=csinB,即：,对=斜sin(为锐角),当ABC是钝角三角形时,设边AB上的高是CD,根据三角函数的定义,同理，做BC边上的高可得,CD=asinB=bsinA,则,所以，,a,c,b,E,AE=bsinACE=bsinC=csinB,即：,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即,正弦定理,定理的应用,例 1：在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。，解三角形.（即求出其它边和角）,

3、解：,=,（1）已知两角和任一边， 求其他两边和一角,=,a,根据三角形内角和定理，,（1）在ABC中，已知 A=30，B=120，b=12。 解三角形.,练习：,已知两角和任一边，求其他两边和一角.,解：,(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.,（三角形中大边对大角）,(2)已知两边和其中一边的对角,求其他边和角.,（三角形中大边对大角）,利用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？,已知两角和任一边，求其它两边和一角； 已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。,判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120

4、o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o,两解,一解,两解,无解,练习：,2正弦定理用途：,解斜三角形,已知两角和任一边，求其它两边和一角； 已知两边及其中一边对角，求另一边的对角及其他的边和角。,实现三角形当中边角之间的转化,作业、 1、在ABC中，已知 A=75，B= 45，c= 求C，a ， b.,2、在ABC中，已知a8，B60，C75， 求A、b、c.,主讲老师：张胜波,1.1.1正弦定理,想一想？,第二课时,在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即,正弦定理,变式:,答案： C,判断满足下列的三角形的个数: (1)b=11, a=20

5、, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o,两解,一解,两解,无解,练习：,答案： A,解：,代入已知条件，得：,即,3在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若bacos C，试判断ABC的形状 解析： bacos C， 由正弦定理得：sin Bsin Asin C. B(AC)， sin(AC)sin Acos C. 即sin Acos Ccos Asin Csin Acos C， cos Asin C0，,在ABC中，若sin A2sin Bcos C，且sin2Asin2Bsin2C，试判

6、断ABC的形状 【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2Asin2Bsin2C转化为边的关系式，从而判断ABC的形状,RTX讨论六：,已知两边及夹角，怎样求三角形面积？,证明：,而,同理,ha,数学建构,三角形面积公式：,互动探究3 若本例中的条件“sin A2sin B cos C”改为“sin2A2sin B sin C”，试判断ABC的形状 解：由sin2Asin2Bsin2C， 得a2b2c2.A90. sin2A2sin B sin C， a22bc，b2c22bc. bc， ABC为等腰直角三角形,【名师点评】 判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐