音乐信号的频域分析

1、 山东交通学院2013届毕业生毕业论文(设计)题目：音乐信号的频域分析院(系)别 信息科学与电气工程学院专 业 电子信息工程 班 级 电信091 学 号 090819507 姓 名 陈 鹏 指导教师 饶中洋 二一三年六月原 创 声 明本人陈鹏郑重声明：所呈交的论文“音乐信号的频域分析”，是本人在导师饶中洋的指导下开展研究工作所取得的成果。除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明，本人完全意识到本声明的法律后果，尊重知识产权，并愿为此承担一切法律责任。 论文作者(签字)： 日期： 年

2、月 日 摘要信号不仅在时域有表现形式，在频域、复频域等同样有表现形式。在时域难以辨别的信号可通过傅里叶变换到频域进行分析。往往在频域分析音乐信号时更容易找出它们之间各自的特点。时域信号通过傅里叶变换就可以转换到频域，特别是离散傅里叶变换近年来发展迅猛，先后出现了多种快速算法，特别是借助计算机后，使得繁杂的计算变的简单化、快速化、形象化。但是，傅里叶变换是一种整体变换，作为频域表示的功率谱并不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。在许多实际应用场合，信号是非平稳的，这时，只了解信号频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的是信号频谱随时间变化的情况。为此，需要使用时间和频率的联合函

3、数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示。时频分析的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。本文就是基于Matlab 本文用Matlab版本均为R2007a.应用短时傅里叶变换的方法对钢琴等乐器发出的单个音进行分析，然后对一段未知乐曲进行同样的频域分析，与已知音名的音的频域特点进行对比进而翻译这段音乐的乐谱。关键词：音乐信号，时频分析，MatlabAbstract Not only has the form the signal in time domain, but also in frequency domain, in complex fr

4、equency domain .The signal which is not distinguished in the time domain can be analyzed by the Fourier transforming to the frequency domain. Music signal analysis in frequency domain is more likely to identify their respective characteristics between them in often. The time domain signal can be con

5、verted to the frequency domain through the Fourier exchange, especially the discrete Fourier transform is developing rapidly in recent years, there are a variety of fast algorithms, especially the help of the computer makes the complicated calculation become simple, fast and visual.However, Fourier

6、transform is an integral transform, power spectrum as a representation of frequency domain can not tell us some frequency components appear at any time and its changes. The signal is non-stationary in practice, if we only know the global properties of signal frequency at this time, it is far from en

7、ough, and what mostly we want is the signal spectrum varies with time. Therefore, we need to use the function between the time and frequency to express the signal, we regard this representation as time-frequency signal representation in short words. The main research object of the time-frequency ana

8、lysis signals is non-stationary or time-varying signals. It is aimed at how to describe the change of the content of signal spectrum over time.This paper makes use of the method of Matlab application of short-time based on Fourier transform to analyze any tone which is produced on the piano, and the

9、n analyze the interception of a piece of music of the same frequency which is unknown, and the compared with the sound of the frequency domain characteristics of known name and then translate this paragraph of music score.Key words：The music signal, Time-frequency analysis, Matlab目 录前言11 时频分析的基本理论11

10、.1 傅里叶变换21.2 离散傅里叶变换21.3 快速傅里叶变换(FFT)31.3.1 Matlab中的FFT31.3.2 FFT的验证性举例31.4 时频分析62 基础乐理知识142.1 钢琴各音的频率142.2 音的成分152.3 音符时值172.4 和弦173 单音与和弦的研究及判定193.1 单音的研究193.1.1 钢琴193.1.2 小提琴233.1.3 长笛243.2 和弦264 乐曲中单音音名的判定294.1 钢琴曲294.2 小提琴曲30结论32致谢33参考文献34附录A部分Matlab程序35III山东交通学院毕业设计(论文)前 言曾经看到一则新闻：一名大学生利用记者拨打3

11、60公司CEO周鸿祎的手机的拨号声音，“破译”了周鸿祎的手机号码，并被周鸿祎证实。据介绍这名大学生用信号处理的技术，即通过相关软件做出来当时记者拨号声音的声谱，对照每个号码按键声音的标准音就还原了周鸿祎的手机号码。在音乐中同样有类似拨号声音的乐曲，以及类似号码按键标准音的单个琴键或琴弦的标准音，用同样的方法我们理论上也能还原未知乐曲的乐谱。传统的信号处理领域，基于傅里叶变换的信号频域表示及其能量的频域分布揭示了信号在频域的特征，它们在传统的信号分析与处理的发展史上发挥了极其重要的作用1。但是，傅里叶变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要么完全在频域，作为频域表示的功率谱并不能告诉

12、我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。然而，在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量(如相关函数、功率谱等)是时变函数。这时，只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示2。时频分析的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。时频分析有短时傅里叶变换(Short-time Fourier transform，简记为STFT)、Gabor展开和小波变换(Wavelet Transformation，简记为WT)等。本文主要

13、应用的方法是短时傅里叶变换。钢琴共有88个键，其中包括52个白键，36个黑键。其中白键的频率范围从27.5Hz到4186Hz。本文要解决的问题就是通过频率来区分乐曲中单个音的音名。由于频率相差不是悬殊，区分过程要求精细。特别是黑键频率是两边白键频率的中间值，区分难度较大。先通过Matlab绘制出所要研究的单个标准音的时频图，并分析它的特征特点，以及它们之间的区别。这样就能在没有噪音的情况下区分每个音的音名。然后再判断乐曲中的单音。由于乐曲中的单音是演奏者连续弹奏产生的音，其中每个单音都夹杂着前一个单音的泛音，这样区分起来就要考虑到前一个单音的泛音的干扰。由于音名过多工作量过大，我们只做部分单音

14、的理论分析，以达到理论技术上的验证和工程技术上的初期探索。当然其他部分单音的区分也是一样的。如果做好以相邻黑白键及和弦的区分，再用Matlab做乐曲单音的模糊识别就可做到乐曲译谱了。1 时频分析的基本理论这一章针对时频分析技术的一些基本理论首先介绍了傅里叶变换、离散傅里叶变换以及它的快速算法FFT，然后介绍时频分析技术，同时引入一些Matlab实现的技术基础。1.1 傅里叶变换我们知道一周期信号必定可用傅里叶级数来表示。这种级数或是三角级数或是指数级数。其频谱的谱线是离散的。当周期性信号的重复周期无限增大时，信号频谱的相邻谱线间的距离=2t无限趋小，直至成为连续谱F(j)。其表达式：Fj=-f

15、(t)e-jtdt (1.1.1)以及其反变换表达式：ft=-Fjejtd (1.1.2)傅里叶变换建立了从时域到频域的桥梁，但这是对于连续时间信号而言的，随着数字化技术的发展，现在数据的存储、处理、传送等都是已经是数字化的，我们研究的对象也是数字化音频信号文件，特别是借助于数字计算机只能处理有限长的离散序列。离散傅里叶变换3(Discrete Fourier transform，DFT)就是一种适合计算机处理的离散时间信号的谱分析工具。1.2 离散傅里叶变换离散傅里叶变换主要意义在于它在实际应用中的价值，它可以对有限长的时间序列进行谱分析，同时其分析结果也是一个有限长的离散序列。这里我们直接

16、给出它的表达式：Xk=DFTfk=n=0N-1xne-j2Nnk k=0,1,N-1 (1.2.1)以及其反变换表达式：xn=IDFTXk=1Nk=0N-1Xkej2Nnk n=0,1,N-1 (1.2.2)由于直接计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比，当N较大时，计算量太大，所以在快速傅里叶变换4FFT(Fast Fourier transform)出现以前，直接用DFT进行谱分析和信号处理是不切实际的。例如：有限长序列x(n)的N点DFT为X(k)=DFTfk=n=0N-1xne-j2Nnk (k=0,1,N-1)考虑x(n)为复数序列的一般情况，对某一个k值，直接上式计算X(k

17、)的1个值需要N次复数乘法和(N-1)次复数加法。因此，计算X(k)的所有N个值，共需N2次复数乘法和N(N-1)次复数加法运算。当N1时，DFT的乘法加法运算次数均为N2次。当N较大时，运算量就相当大了58。1.3 快速傅里叶变换(FFT)1.3.1 Matlab中的FFTFFT即为快速傅里叶变换6，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。在Matlab的信号处理工具箱中函数FFT和IFFT用于快速傅立叶变换和逆变换。函数FFT用于序列快速傅立叶变换，其调用格式为y=FFT(x)。其中x是序列，y是序列的FFT，x可以为一向量或矩阵。若x为一向量，y

18、是x的FFT且和x相同长度；若x为一矩阵，则y是对矩阵的每一列向量进行FFT。如果x长度是2的幂次方，函数FFT执行高速基2FFT算法，否则FFT执行一种混合基的离散傅立叶变换算法，计算速度较慢。函数FFT的另一种调用格式为y=FFT(x,N)，式中，x，y意义同前，N为正整数。函数执行N点的FFT，若x为向量且长度小于N，则函数将x补零至长度N；若向量x的长度大于N，则函数截短x使之长度为N；若x 为矩阵，按相同方法对x进行处理。经函数FFT求得的序列y一般是复序列，通常需要求其幅值和相位。Matlab提供求复数的幅值和相位函数：abs，angle，这些函数一般和FFT同时使用。用Matla

19、b工具箱函数FFT进行频谱分析时需注意：a、 函数FFT返回值y的数据结构对称性；b、 频率计算：若N点序列x(n) (n=0,1,N-1)是在采样频率fs下获得的。它的FFT也是N点序列，即X(k) (k=0,1,N-1)，则第k点所对应实际频率值为f=k*fs/N。1.3.2 FFT的验证性举例为了验证通过程序调用FFT可以很好的绘制出信号的频谱，可使读入信号为已知频率的简单信号程序17：N=11025; %采样点数f1=100;f2=200;targetsr=11025;t=0:1/targetsr:(N-1)*1/targetsr);x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*

20、f2*t);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;xlabel(时间(秒);ylabel(幅度(伏);xlim(0 (N-1)*1/targetsr);title(时域波形图);NFFT = 1024Y = fft(x,NFFT)/N; f = targetsr/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);subplot(2,1,2);plot(f,2*(abs(Y(1:NFFT/2+1);xlim(0 targetsr/2)xlim(0 targetsr/8);xlabel(Frequency);grid on;title(FFT变换频谱图);我们获得的图形

21、如下图：图1.1Matlab工具绘制的时域波形和频谱图Fig. 1.1Matlab tool to draw the time-domain waveform and spectrum从图中我们可以清楚的看到Matlab绘制出来的频谱，主要就集中在100Hz和200Hz上，但从图中我们可以看到这里除了100Hz和200Hz以外还有别的频率分量，而已知信号中100Hz和200Hz频率分量的幅值是相等的，图中显示与理论结果有出入。这是因为上面程序中所做的是对已知序列做1024点FFT变换。下面我们再对上面的信号做4096点和32768点FFT运算作比较程序2：N=11025;%采样点数f1=100

22、;f2=200;targetsr=11025;t=0:1/targetsr:(N-1)*1/targetsr);x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);NFFT = 1024;Y = fft(x,NFFT)/N;f = targetsr/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);subplot(3,1,1);plot(f,2*(abs(Y(1:NFFT/2+1);xlim(0 targetsr/2)xlim(0 targetsr/16);xlabel(Frequency)grid on;title(1024点FFT变换频谱图);NFFT = 4096;Y = f

23、ft(x,NFFT)/N;f = targetsr/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);subplot(3,1,2);plot(f,2*(abs(Y(1:NFFT/2+1);xlim(0 targetsr/2)xlim(0 targetsr/16);xlabel(Frequency)grid on;title(4096点FFT变换频谱图);NFFT = 32768;Y = fft(x,NFFT)/N;f = targetsr/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);subplot(3,1,3);plot(f,2*(abs(Y(1:NFFT/2+1);xlim(0 tar

24、getsr/2)xlim(0 targetsr/16);xlabel(Frequency)grid on;title(32768点FFT变换频谱图);结果如下：图1.2不同FFT点数对频谱精度的影响Fig. 1.2 effect of different points on the accuracy of FFT spectrum从图1.2可以看出随着N点数的增加，FFT变换的精度就提高，只要点数N足够，频率分辨率就高、幅值也准确，也就不影响研究结果。但是样本的时间往往是有限的，为了增加FFT变换的点数就需要增加采样频率，这样才能得到足够的样本点数，使FFT变换结果足够精确。这同时说明程序上已

25、经没有问题。1.4 时频分析下面我们对另一信号绘制频谱图程序38：N=11025*2; %采样点数f1=100;f2=200;fs=11025;t1=0:1/fs:11024*1/fs;x1=sin(2*pi*f1*t1);x2=sin(2*pi*f2*t1);x=x1 x2;t=0:1/fs:(length(x)-1)*1/fs;subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;xlabel(时间(秒);ylabel(幅度(伏);xlim(0 (N-1)*1/fs);title(时域波形图);NFFT =11025*2Y = fft(x,NFFT)/N;f = fs/2*li

26、nspace(0,1,NFFT/2+1);subplot(2,1,2);plot(f,2*(abs(Y(1:NFFT/2+1);xlim(0 fs/16);xlabel(Frequency);grid on;title(FFT变换频谱图);xlabel(Frequency);clear f;clear Y;运行结果如下：图1.3时间对频率含量随的影响Fig. 1.3 effect of time on the frequency content很明显，图1.1和图1.3的两个信号是不一样的，通过傅里叶变换得到的频谱却是是一样的，这是因为傅里叶变换是一种整体变换，即对信号的表征要么完全在时域，要

27、么完全在频域，作为频域表示的功率谱并不能告诉我们其中某种频率分量出现在什么时候及其变化情况。然而，在许多实际应用场合，信号是非平稳的，其统计量(如相关函数、功率谱等)是时变函数。这时，只了解信号在时域或频域的全局特性是远远不够的，最希望得到的乃是信号频谱随时间变化的情况。为此，需要使用时间和频率的联合函数来表示信号，这种表示简称为信号的时频表示。时频分析的主要研究对象是非平稳信号或时变信号，主要的任务是描述信号的频谱含量是怎样随时间变化的。时频分析有短时傅里叶变换(Short-time Fourier transform，简记为STFT)、Gabor展开和小波变换(Wavelet Transf

28、orm，简记为WT)等。本文主要应用的方法是短时傅里叶变换。为了分析语音信号，Koenig等人提出了语谱图(Spectrogram)方法 语谱图即时频图，这里spectrogram函数同样适用于音乐信号。，定义为信号的短时傅立叶变换STFT的模平方，故亦称为STFT方法或者STFT谱图9。离散短时傅立叶变换定义如下：STFTXm,=n=-x(n)(m-n)e-jn (1.4.1)式中(m)是时间窗函数(一般为汉明窗)。短时傅立叶变换的基本思想是用一个时间宽度足够窄的固定的窗函数乘时间信号，使取出的信号可以被看成平稳的，然后对取出的一段信号进行傅立叶变换，便可以反映出该时间宽度中的频谱变化规律，

29、如果让这个固定的窗函数沿着时间轴移动，那就可以得到信号频谱随时间变化的规律了。 下面做出上述两个已知信号的时频图。程序4：N=11025; %采样点数f1=100;f2=200;fs=11025;t=0:1/fs:(N-1)*1/fs);x=sin(2*pi*f1*t)+sin(2*pi*f2*t);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;xlabel(时间(秒);ylabel(幅度(伏);xlim(0 (N-1)*1/fs);title(时域波形图);window=512;%窗长度noverlap=window/2;%重合度F=window;S,Fd,Td,P =

30、spectrogram(x, window, noverlap, F ,fs);subplot(2,1,2);surf(Td,Fd,20*log10(P),edgecolor,none); axis tight; view(0,90);xlabel(时间 t(s);ylabel(频率 f(Hz);ylim(0 fs/20)title(FFT变换时频图);set(gca,YDir,normal);colorbar;结果如下：图1.4信号1的波形和时频图Fig. 1.4 The waveform and time-frequency diagram of signal 1同样我们绘出信号2的时频图

31、(程序见附录)，结果如下：图1.5信号2的波形和时频图Fig. 1.5 The waveform and time-frequency diagram of signal 2需要指出的是：第一，长窗具有较高的频率分辨率，但具有较低的时间分辨率。从一个周期到另一个周期，共振峰是要发生变化的，这一点即使从信号波形上也能够看出来。然而，如果采用较长的窗，这种变化就模糊了，因为长窗起到了时间上的平均作用。第二，短窗的频率分辨率低，但具有较高的时间分辨率。采用短窗时，能够从短时频谱中提取出共振峰从一个周期到另一个周期所发生的变化。当然，激励源的谐波结构也从短时频谱上消失了。所以，在对信号进行短时傅里叶分

32、析时，需要折衷考虑时间分辨率与频率分辨率以适当选取窗长10。下面我们做一个简单的时频分布图，并取不同的窗长来说明程序5：filename=E:音频文件piano-G4.wav;x,fs=wavread(filename);t=0:1/fs:(length(x)-1)*1/fs);N=length(x);NFFT = 4096Y = fft(x,NFFT)/N; f = fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);subplot(3,1,1);plot(f,2*(abs(Y(1:NFFT/2+1);xlim(0 fs/8);xlabel(Frequency)grid on;title

33、(FFT变换频谱图);clear f;clear Y;window=2048;%窗长度noverlap=window/2;%重合度F=window;S,Fd,Td,P = spectrogram(x, window, noverlap, F ,fs);subplot(3,1,2);surf(Td,Fd,20*log10(P),edgecolor,none); axis tight; view(0,90);xlabel(时间 t(s);ylabel(频率 f(Hz);ylim(0 fs/12)title(FFT变换时频图-窗长2048);set(gca,YDir,normal);colorbar

34、;window=256;%窗长度noverlap=window/2;%重合度F=window;S,Fd,Td,P = spectrogram(x, window, noverlap, F ,fs);subplot(3,1,3);surf(Td,Fd,20*log10(P),edgecolor,none); axis tight; view(0,90);xlabel(时间 t(s);ylabel(频率 f(Hz);ylim(0 fs/12)title(FFT变换时频图-窗长256);set(gca,YDir,normal);colorbar;运行结果如下：图1.6不同窗长对时间精度与频率精度的影

35、响Fig. 1.6 effect of different window length of time accuracy and frequency accuracy这里的目标文件是钢琴的G4音 文中提到的单音音频目标文件来源于/dpwe/sounds/instruments/ G4音基频在后面表2.1中给出。，图1.6(a)，显示出了它的基频。图1.6(b)中可以看出时频图不仅显示了G4音的频率，同时体现了频率随时间变化的关系。其中体现频率的线段相对于图1.6(c)中要细很多，即其频率分辨率较高；而图1.6(b)中时间区间明显大于图1.6(c

36、)的时间区间，也就是其时间分辨率要小。以上明显体现出了长窗具有较高的频率分辨率，但具有较低的时间分辨率。而短窗的频率分辨率低，但具有较高的时间分辨率。我们再取适当的窗长做出钢琴G4音的频谱图和时频图：图1.7窗长为1024时钢琴G4音的时频图Fig. 1.7 window length is 1024 G4 piano sound spectrogram从图1.7(b)中可以看出代表钢琴G4音基频的线随时间的变化颜色越来越浅，这说明基频幅值越来越小。其不足之处在于很难定量的分析频率幅值随时间变化的关系。对此，三维时频图就很好的解决了这个问题。下面我们同样对钢琴的G4音做出三维时频图程序6：T=

37、5;N=16384;x=zeros(1,N);t=0:N-1;x,fs=wavread(E:音频文件piano-G4.wav,N);Ts=1/fs;Nw=128;L=Nw/2;Tn=(N-Nw)/L+1;nfft=2048;TF=zeros(Tn,nfft);for i=1:Tn xw=x(i-1)*64+1:i*64+64); temp=fft(xw,nfft); temp=fftshift(temp); TF(i,:)=temp;endfnew=(1:nfft)-nfft/2)*fs/nfft;tnew=(1:Tn)*L*Ts;F,T=meshgrid(fnew,tnew);mesh(F,

38、T,abs(TF);结果如下：图1.8三维时频图显示的频率幅值的变化Fig. 1.8 three-dimensional display of the Changes in amplitude of frequency 如图，三维时频图中有两面相同的类似于墙的“凸起”部分，之所以有两面就是因为它是双边谱。这“凸起”部分就相当于二维时频图中深颜色的线段。它的横坐标表示的是频率，纵坐标表示的是时间，而竖坐标则表示了频率幅度的大小。也就是说“凸起”的位置、高度等就代表着频率的各项信息。很明显从三维时频图中我们就可以定量的分析频率幅值随时间变化的规律了。2 基础乐理知识本章以钢琴为例，介绍相关的一些乐

39、理知识。这主要是因为钢琴的音域是最广的，频率范围从27.5Hz到4186Hz。2.1 钢琴各音的频率钢琴共有88个键，其中包括52个白键，36个黑键。其频率范围从27.5Hz到4186Hz。如下表：表2.1：钢琴的音高与频率对照表(单位：Hz)11Table 2.1: Piano pitch and frequency table (unit: Hz)八度音名O1O2O3O4O5O6O7O8A27.55511022044088017603520Bb29.13558.27116.541233.082466.164932.3281864.6553729.31B30.86861.735123.471

40、246.942493.883987.7671975.5333951.066C32.70365.406130.813261.626523.2511046.5022093.0044186.009C#34.64869.296138.591277.183554.3651108.7312217.461D36.70873.416146.832293.665587.331174.6592349.318Eb38.89177.782155.563311.127622.2541244.5982489.016E41.20382.407164.814329.629659.2551318.522637.02F43.65

41、487.307174.614349.228698.4561396.9132793.826F#46.24992.499184.997369.994739.9891479.9782959.955G48.99997.999195.998391.995783.9911567.9823135.437G#51.913103.826207.652415.305830.6091661.2193322.437小字1组 钢琴中低音区到高音区每组键分别为：大字二组、大字一组、大字组、小字组、小字一组、小字二组、小字三组、小字四组。(O5)的A音(简谱的6 “啦”)是440Hz，国际标准，这也是钢琴调音的基准音。其它

42、的音都可由基准音得到：Bb5=4401.0594631=466.164B5=466.1641.0594631=493.883同理往下：G#4=4401.0594631=415.305G4=415.3051.0594631=391.995这样就可以计算出88个音的各自频率。任意相临两音的比值永远是1.0594631，它是2的开12次开方，这就是十二平均律！ 详见：/view/31722.htm。2.2 音的成分以G4为例，绝大多数物体在振动时，振动的不仅是整个物体，它的各个部分也分别在同时振动，这种振动叫复合振动。复合振动所产生的音叫复合音。其中整体振动

43、所产生的音叫基音，各个部分振动所产生的音叫泛音，统称为分音。我们所听到的声音就是整体振动与各个部分振动共同的振动引起的，即复合音。把分音按照音的高低从低到高排列起来，就叫做分音列。从基音开始，分别叫做一分音、二分音、三分音等等。把分音列去掉基音，就叫做泛音列，二分音就是第一泛音、三分音就是第二泛音等等。从信号的角度，分音相当于谐波，当然基波就相当于一分音、一次谐波就相当于二分音，也就是第一泛音等等。从波动学的角度，钢琴琴弦振动时会产生不同频率的驻波，其频率最低者称为基频，对应的声音就是基音。高于基频且与基频成简单整数比的频率对应的声音就是泛音12。下面我们通过Matlab绘制出G4的频率成分来

44、说明音的成分程序7：filename=E:音频文件piano-G4.wav;x,fs=wavread(filename);t=0:1/fs:(length(x)-1)*1/fs);subplot(2,1,1);plot(t,x);grid on;xlabel(时间(秒);ylabel(幅度(伏);N=length(x);xlim(0 (N-1)*1/fs);title(时域波形图);N=length(x);NFFT = 32768Y = fft(x,NFFT)/N; f = fs/2*linspace(0,1,NFFT/2+1);subplot(2,1,2);plot(f,2*(abs(Y(1

45、:NFFT/2+1);xlim(0 fs/4)xlabel(Frequency)grid on;title(FFT变换频谱图);clear f;clear Y;运行结果：图2.1钢琴G4音的频率成分Fig. 2.1 G4 piano sound frequency components从表2.1我们可以知道G4的基频约为392Hz，图2.1中显示的基频大小与实际是相符的。而且各谐波频率都是基波频率的整数倍。需要指出的是，我们常常听到的也只是基音，因为它的能量最大，也就是它的幅值最大。泛音的能量也就是谐波分量的能量相对要小的多，这一点从图中也可以很明显的看出。2.3 音符时值以钢琴为例，琴弦振动

46、发音，其能量来源于击弦槌的敲击。当我们按下一个键并按着不松时琴弦会一直发音，直到击弦槌传递的能量释放完全。有时候这种效果并不是演奏者想要的，特别在弹奏一些欢快的曲子时，每个音之间不能有干扰，整体要有一种零碎感。这时候就需要滞音器在适当的时候将剩余的能量吸收，也就是我们按下一个键然后就松开，琴弦响一下，随后停止的效果。这其中就产生一个问题了，按下琴弦后多久松开合适？音符时值就解决了这个问题。音符时值，也称为音符值或音值，在乐谱中用来表达各音符之间的相对持续时间。一个全音符等于两个二分音符；等于四个四分音符，八个八分音符；十六个十六分音符，三十二个三十二分音符等。这只是音符时值的比例。如果说全音符

47、代表某个音响一个时间单位，那么二分音符就代表响半个时间单位，当然四分音符就代表四分之一个时间单位等等。如图2.2各个时值的音符。了解音符的意义在于翻译乐谱时不仅要判断出音的音名，还要知道这个音名的时值，当然还要知道这个音是不是和弦。关于和弦的知识在下一节介绍11。 图2.2音符及其时值 Fig. 2.2 note and its value2.4 和弦和弦是乐理上的一个概念，指的是一定音程关系的一组声音。将三个和三个以上的音，按三度叠置的关系，在纵向上加以结合，就成为和弦。通俗的说和弦就是一起按下的一组音。通常有三和弦(三个音的和弦)、七和弦(四个音的和弦)、九和弦等概念。和弦的音程：两个“半

48、音”构成一个“全音”即“大二度”一个“全音”加上一个“半音”叫做“小三度”两个“全音”即构成“大三度”这些度全音半音都表示音调间不同的距离，就是“音程”。和弦的频率比：a、 八度音程时两个音的频率比是1:2，五度音程时是2:3，大三度音程时是4:5，小三度音程时是5:6。表示频率比的两个整数越大，协合程度就越差。也就是说并不是任意多个音的组合就是和弦，钢琴中常用的和弦数目也是不是很大，是可以研究的。b、 三个音的频率比，如“大三和弦”是一个“大三度”再叠置一个“小三度”共三个音的频率比是4:5:6，“小三和弦”是一个“小三度”再叠置一个“大三度”，其三个音的频率比是10:12:15，在听感上“

49、大三和弦”比“小三和弦”更和谐的原因，是频率比越小就越谐和，也就是谐波有更多重合的地方。3 单音与和弦的研究及判定前两章的介绍我们已经了解了时频分析的基本理论以及基础乐理知识。这一章我们先来分析几种乐器部分单音的特征，然后判断乐器的名称。3.1 单音的研究这一节我们首先将对几种乐器的单音做频谱和时频分析，找出他们的特征，分析各自特征形成的原因，为下一章在乐曲的时频图中找出特征，翻译出乐谱做准备。最后再通过它们的频谱和时频特征来区别乐器的种类。3.1.1 钢琴钢琴的88个键涵盖了从27.5Hz到4186Hz的频率范围。我们从中抽取了部分音来研究。它们分别是G2、C4、C6和G6。下面我们先对四个

50、音做频域分析。我们先绘制出它们的频谱图和时频图，程序上和程序5类似(见附录)。下面直接给出绘制出来的频谱图和时频图13。钢琴G2：图3.1钢琴G2音的频谱图和时频图Fig. 3.1 G2 piano sound spectrum and time-frequency diagram图3.1是钢琴G2音的频谱图和时频图，它的频谱图中FFT变换为32768点，它的时频图中汉明窗的窗长为8192个点。从表2.1可知钢琴G2音的基频约为98Hz，从图3.1就可以清楚的看到通过FFT变换到频域展现出来的基波频率是96.9Hz，在误差允许范围之内，而且精度相对是比较高的。同时各次谐波频率是基波频率的整数倍

51、，这与2.2节对G4音的分析结果是一致的。下面我再给出钢琴C4的频谱图和时频图(程序见附录)：图3.2钢琴C4音的频谱图和时频图Fig. 3.2 C4 piano sound spectrum and time-frequency diagram图3.2是钢琴C4音的频谱图和时频图，它的频谱图中FFT变换为4096点，它的时频图中汉明窗的窗长为1024个点。从图3.1它的频谱图就可以清楚的看到通过FFT变换到频域展现出来的基波频率是261.1Hz，和表2.1给出的数值相一致。也在误差允许范围之内。同时各次谐波频率也是基波频率的整数倍，这与图3.1对G2音的分析结果类似。下面我再给出钢琴C6的频

52、谱图和时频图(程序见附录)：图3.3钢琴C6音的频谱图和时频图Fig. 3.3 C6 piano sound spectrum and time-frequency diagram图3.3是钢琴C6音的频谱图和时频图，它的频谱图中FFT变换为4096点，它的时频图中汉明窗的窗长为512个点。图3.3显示出钢琴C6音的频率成分和表2.1给出的理论值也是一致的，从时频图也可以看出随着时间的变化，其频率成分也是稳定的。从上面的三个图可以看出：(1) 各音的频率成分基本都是相应音的基频以及它们的倍频，在图中就是个分音频率的间距是相等的。而且随着音高的增加，基波的能量占总能量的比值也越来越大，也就是各谐

53、波能量比越来越小。在上面三个图中表现为一次谐波能量越来越小。(2) 随着时间的增加，各频率幅值越来越小，也就是音的总能量越来越小。对于现象(1)在2.2节有提到：“物体在振动时，振动的不仅是整个物体，它的各个部分也分别在同时振动，这种振动叫复合振动。复合振动所产生的音叫复合音。其中整体振动所产生的音叫基音，各个部分振动所产生的音叫泛音。”从琴弦发音原理上看，低音区的琴弦是属于裹弦，而且弦长要比高音区长的多(特别是高档三角钢琴)，振动频率低，振动过程中左右挤压空气的速度低，我们知道空气阻力与速度的平方成正比，所以低音区琴弦的有足够的能量产生局部振动发出泛音。对于现象(2)是因为钢琴琴弦发音的能量

54、是击弦槌一次性给予的，之后琴弦便做阻尼运动，所以能量会衰减12。下面再给出钢琴中的G6音，以验证上述各音及它们之间的特点规律。钢琴G6(程序见附录)：图3.4钢琴G6音的频谱图和时频图Fig. 3.4 G6 piano sound spectrum and time-frequency diagram 图3.4是钢琴G6音的频谱图和时频图，它的频谱图中FFT变换为4096点，它的时频图中汉明窗的窗长为256个点。从图3.4可以看出一次谐波分量更小了，能量衰减也很明显。3.1.2 小提琴上一小节我们介绍了部分钢琴单音的特征，以及它们之间的渐变规律。对于小提琴是同样有这样的规律还是另有特征。下面我们做出小提琴C4、G6两个音的频谱图和时频图来研究。小提