输油管线的铺设模型

1、一、问题的提出在进行输油管道工程布置中，一般从技术成熟度、经济合理性、安全可靠性、健康环保、功能使用、节能高效、管理方便为导则。题中提出在铁路线一侧要建设两家炼油厂，同时在铁路线上建造一个车站，用以运送成品油，模式具有一定的普遍性。设计中遇到在铁路线一侧两个炼油厂的定位问题，以及铁路线上车站的选址问题。以经济合理性、功能使用、节能高效为导则。既要考虑两炼油厂所在的位置，又要考虑到输油管线是否共用，还要考虑到城区输油管线的附加费用问题。而在附加费用问题上，又与三个公司的不同评估值有关。根据问题中不同的题设条件，我们要设计出相应地输油管线的铺设模型，以实现铺设总费用最省的目标。二、模型假设1.所有

2、管线的单位铺设路线的铺设费用为统一定值。2.对于所选的任意两点间的铺设路线为直线。3.所有铺设管线的技术、安全有很好的保障。4.炼油厂、车站分别用点表示5.铁道路线用直线表示三、符号说明A表示郊区的炼油厂 B表示城区的炼油厂C表示车站S表示铺距设油管线的总长度P表示到A、B、C三点离之和最小的点M表示建设运输油管所用总费用L表示铁路线表示每单位非共用铺设油管的铺设费用表示每单位共用铺设油管的铺设费用表示B、C两点间的距离表示A、C两点间的距离表示A、B两点间的距离表示A、P两点间的距离表示B、P两点间的距离表示C、P两点间的距离表示公司收取的单位附加费用四、问题分析本文以运输油管线铺设费用最省

3、为指导思想进行分析，在两个炼油厂的定位问题及铁路线上车站的选址问题上。首先由几何知识分析出车站相对于两个炼油厂应设的最优位置，其次针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形进行分析，建立相应的数学模型。铺设管线费用最省，实际上相当于铺设管线长度的总和最短。从而引申为最短网路问题，即连接个点的最短网络路径可能是连接它们的最小生成树。17世纪初，费马（Fermat）提出过如下问题：给定的平面上三个点A、B、C，求第四点P，使P到三点的距离最小。托里塞利给出了解答：若A、B、C组成的三角形中存在一内角大于或等于,则不必添加P，A、B、C的最小生成树（的周长）即是最短网络。若三角形的各内角

4、均小于，此时最小生成树（费马点到三个顶点的距离之和）即是最短网络，费马点指的是以三角形的各边为底边向三角形的外侧作等边三角形，所得三个等边三角形的各顶点与该等边三角形底边对应的原三角形的顶角连线的交点。由此只需找出“费马点”,初步解决铺设管线长度最短的问题。进而依次对题中的三个问题提出不同的假设条件，结合各题所提出的条件建立相应的数学模型并求解，最后对所得结果进行对比分析找到最佳模型。五、模型的建立与求解问题一模型一：两炼油厂到铁路线距离相等模型ABCP图1.1L当两炼油厂到铁路线距离相同时的模型时L ,过A作其关于直线L的对称点，则，连接交L于点连接若非公用管道，则最短路径 ， ；若公用管道

5、，则需进一步求解费马点P，当距离一定，C位置未定时，根据费马点的性质：当时，P与C重合，最短路径 ， ；反之，当时，P在的内部，最短路径 ，此时就必须要考虑共用管线费用与非共用管线费的相同与否：共用管线费用相同时 ;则管线建设费用 M共用管线费用相同的情形则 ；则管线建设费用 M 模型二： 两炼油厂与铁路线距离不相等模型ABL若非公用管道，则与模型一作出最小路径点的方法一致， 若公用管道，则需要讨论在上游动时，因费马点的变化直接决定着所对应三角形的最短路径，所有三角形的费马点所决定的最短路径就形成了一个较为复杂的最短路径网络。假设，当在和变动时，存在费马点，且在三角形内部，同模型一，当时；反之

6、，时， ;当在左侧，费马点与重合， ，同模型一，当时， ；当时， ；当在之间时，费马点与重合，此时不存在公用管线的可能， ；当在右侧时，费马点与重合， ，同模型一，当时， ；当时， 由费马点的知识得出，3个顶点距离之和最小的点P与C点重合,存在非共用管道铺设时的总路线 S ，又有三角形的定理不难证明出 当，从图1.1中通过作图，求出A、B、C，3个顶点距离之和最小的点P。则最短网络距离,即存在有共用管道铺设时的总路线 S 由于在问题一中，考虑到了共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形，段铺设距离确定之后则费用也不难得出，结果亦为以上两种情况，如上所求。模型二：两炼油厂到铁路线距离不相同的

7、情形类似于模型一中，在两炼油厂到铁路线距离不相同时的模型,则两炼油厂到铁路线的距离不相等，即 与L不平行 ,在此情形中随着B点与A点之间的距离发生亦能发生变动，则也在变动的过程中。同样，在确定最短网络距离之后也就与铺设所花费用有关，以下就此问题做出模型分析。ABCP1.3L在两炼油厂到铁路线距离不相同时的模型,同样类似地给定的平面上三个点A、B、C求出一点到点A、B、C距离之和最小点P，求出费马点P得出最短网络。模型如下图： 由于两炼油厂到铁路线距离不相同,与模型一求解类似，只是实际距离的确定存在差别。则 ，存在共用管线的情况，即铺设油管总路线长S 考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的

8、情形共用管线费用相同的情形则 ;管线建设费用 M 共用管线费用相同的情形则 ；管线建设费用 M ，存在非共用管线的情况，即铺设油管总路线长 模型三：两炼油厂间距不定模型图1.4 由于模型一求解费马点的过程较为复杂，现实生活中操作起来较为麻烦，此时就将问题引入怎样简单方便又精确的作出费马点。“以最小求最小”即在周长最小的三角形中作最短路径的费马点。故，以为顶点，以为动点，作关于的对称点，过作直线与的夹角为当顺时针旋转时，费马点与重合，此时不存在公用管线的可能， ； 反之，存在费马点, ，费用讨论同模型一，当时; ,当 时， 模型四：两炼油厂位置固定时车站定位模型介于模型一二在确定车站最优位置是具

9、有较大的不确定性和繁琐性，通过分析前两模型的形成过程以及研究费马点的性质，再对此进行大量推导证明，我们得到一种极为简单的确定费马点所在位置的方法，进而确定无所谓公用与非公用的确定路径的方法。ABL.图2.1.2通过研究费马点的性质得出,故，若路径最短等价于最小。以为边作正，过作直线并交于，则 点即为车站的最优位置。 通过对模型一定分析过过程中，发现在确定点A、B后，确定车站站点C，对求最小网络距离十分关键，从而结合模型一引出对C点的确定问题。模型如下： ABCPL图 2.1.1F模型四的证明： 两点到直线间的距离相等时证明： PA+PB+PC= 与都为正三角形即又将按顺时针旋转，使与重合，在上

10、取一点F，使=PC,连接BF,则;可得 则此时为正三角形即 PB+PA+PC= 由费马点知识可知： 同理可得： 进而可求得： 推广可知 ：同理可以证明两点间的距离到同一直线不相等时结论依然成立。 问题二：图2.1图中各字母表示的距离（单位：千米） 由勾股定理求得 则有余弦定理得0.8048 20.9955千米 千米所以存在共用铺设管线的总路径比非共用铺设管线总路径短，因此，所采取的最优方案为存在共用铺设管线。因为所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，在城区管线铺设另有附加费用。下面求的在城区在此情况下所要铺设的长度 铺设管线的总费用 附加费用 总费用 所有铺设费用 就资质而言，因公司二、三具

11、有相同资质，就附加费用的高低而言，因公司二高于公司三，则直接排除公司二的被选择权，则只在公司一和公司三之间进行选择。1.就资质而言，不考虑附加费用的多少，因公司一的资质高于公司三，则选择对象为公司一 在此模型下选择公司一的总费用 2.择取另一种选择，选择公司三 在此模型下选择公司三的总费用 方案二：图中各字母表示的距离（单位：千米） 由勾股定理得 由余弦定理得 由半角定理得 千米 所以存在共用铺设管线的总路径比非共用铺设管线总路径短，因此，所采取的最优方案为存在共用铺设管线。因为所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元，在城区管线铺设另有附加费用。下面求的在城区在此情况下所要铺设的长度 铺设管线

12、的总费用 附加费用 总费用 就资质而言，因公司二、三具有相同资质，就附加费用的高低而言，因公司二高于公司三，则直接排除公司二的被选择权，则只在公司一和公司三之间进行选择。就资质而言，不考虑附加费用的多少，因公司一的资质高于公司三，则选择对象为公司一 铺设过程中总花费 若选择公司三 对比可知，方案二中采取共用且聘请公司三总花费较低，为276.4677万元 对两方案分析可知:欲使附加费用降到最低，相应的所铺设总路线也在随着增加。相比之下，有以上两种方案数据可知 而节省下来的附加费用 两种方案中的总花费差值 ： 276.4677- 256.2876=20.180万元由此说明相应附加费用减少没有为总花费降低，而对应的铺设总费用的增加速度要比减少附加费用的速度大。即：方案一为最优方案，铺设总费用为151.1676万元；附加总费用，如果选择有甲等资质的公司一的附加费用为 110.3760万元，如选择有已等资质低的公司三的附加费用为 105.12万元。问题三:在问题三种提出了，进一步节省费用，可以根据炼油厂的生产能力，选用相适应