高中物理天体运动多星问题

1、双星模型、三星模型、四星模型 天体物理中的双星，三星，四星，多星系统是自然的天文现象，天体之间的相互作用遵循万 有引力的规律，他们的运动规律也同样遵循开普勒行星运动的三条基本规律。双星、三星系统的等 效质量的计算，运行周期的计算等都是以万有引力提供向心力为出发点的 【例题 1】天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河 系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗 恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试 推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G） 【例题 2】神奇的黑

2、洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体， 探寻黑洞的方案之一是观测双星系统 的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX3 双星系统，它由可见星 A 和不可 见的暗星 B 构成，两星视为质点，不考虑其他天体的影响.A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周 运动，它们之间的距离保持不变，如图 4-2 所示.引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 v 和运行周期 T. (1)可见星 A 所受暗星 B 的引力 Fa可等效为位于 O 点处质量为 m的星体(视为质点)对它的引力， 设 A 和 B 的质量分别为 m1、m2，试求 m(用 m1、m2表示). (2)求暗星 B 的质

3、量 m2与可见星 A 的速率 v、运行周期 T 和质量 m1之间的关系式； (3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 ms的 2 倍，它将有可能成为黑洞.若可见星 A 的速率 v=2.7105 m/s，运行周期 T=4.7104 s，质量 m1=6ms，试通过估算来判断暗星B 有可能是黑洞吗？ （G=6.6710-11 Nm2/kg2，ms=2.01030 kg） 【例题 3】天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星，它们在万有引力作用下间距始终保持 不变，并沿半径不同的同心轨道作匀速园周运动，设双星间距为L，质量分别为 M1、M2，试计算（1） 双星的轨道半径（2）双星运动的周期。

4、【例题 4】我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星.某双星由质量不等的星体 S1和 S2构成,两星 在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动.由天文观察测得其运动 周期为 T,S1到 C 点的距离为 r1,S1和 S2的距离为 r,已知引力常量为 G.由此可求出 S2的质量为 （ D ） 2 A. 4 2r2(rr 1) GT2 B. 42r3 1 GT2 C. 4 r3 D. 2r2r 1 GT2 4 GT2 【例题 5】如右图，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速周运动， 星球 A 和 B 两者中心之间距离为 L。已知 A、

5、B 的中心和 O 三点始终共 线，A 和 B 分别在 O 的两侧。引力常数为G。 求两星球做圆周运动的周期。 在地月系统中，若忽略其它星球的影响， 可以将月球和地球看成 上述星球 A 和 B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T1。但在近似处 理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期 T2。已知地球和月球的质量 分别为 5.981024kg 和 7.35 1022kg 。求 T2与 T1两者平方之比。（结果保留3 位小数） 【例题 6】【2012江西联考】如右图，三个质点a、b、c 质量分别为 m1、m2、M（Mm1，Mm2）。在 c 的万有引力作用下， a、 b 在同一

6、平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动， 它们的周期之比 Ta Tb=1k；从图示位置开始，在b 运动一周的过程中，则 （） Aa、b 距离最近的次数为 k 次 Ba、b 距离最近的次数为 k+1 次 Ca、b、c 共线的次数为 2k Da、b、c 共线的次数为 2k-2 【例题 7】宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统 ,通常可忽略其 他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位 于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等 边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运

7、行.设每个星体的质量均为m. (1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期. (2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少? 【例题 8】（2012湖北百校联考）宇宙中存在由质量相等的四颗星组成的四星系统，四星系统 离其他恒星较远，通常可忽略其他星体对四星系统的引力作用.已观测到稳定的四星系统存在两 种基本的构成形式:一种是四颗星稳定地分布在边长为a 的正方形的四个顶点上，均围绕正方形 对角线的交点做匀速圆周运动，其运动周期为；另一种形式是有三颗星位于边长为a 的等边 三角形的三个项点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，其运动周期为，而第四颗星 刚好位于三角

8、形的中心不动.试求两种形式下，星体运动的周期之比 T 1 T . 2 例题 1【解析】：设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做圆周运动的半径分别为 r1、r2，角速度分别为 例题 2 解析：设 A、B 的圆轨道半径分别为，由题意知，A、B 做匀速圆周运动的角速度相同， 1、2。根据题意有 1 2 r 1 r 2 r 根据万有引力定律和牛顿定律，有 G m 1m2 r2 m 1w 2 1 r 1 G m 1m2 r2 m 1w 2 2 r 1 联立以上各式解得 r m 2r 1 m 1 m 2 根据解速度与周期的关系知 2 1 2 T 联立式解得 m m 4 2 3 12 T2G r a a O

9、 r O 设其为。由牛顿运动定律，有F 22 A m 1 r 1 ，FB m2 r 2 ，FA FB 设 A、B 间距离为，则r r 1 r 2 由以上各式解得r m 1 m 2 m r 1 2 由万有引力定律，有F m mm 3 1m2 A G12 r2 ，代入得FA G (m 2 2 1 m 2 ) r 1 3 令F 1 m A G m ，通过比较得m m 2 r 2 1 (m m 2 12 ) （2）由牛顿第二定律，有G m 1m2 r2 m v2 1 r 1 而可见星 A 的轨道半径r vT 1 2 将代入上式解得 m 3 2 v3T (m 2 1 m 2 )2G 3）将m m 3 3

10、 （ 2 v T 1 6m s 代入上式得 (6m 2 s m 2 )2G 3 代入数据得 m 2 (6m 2 3.5m s s m2) 设m2 nms(n 0)，将其代入上式得 m 23 (6m n m s 3.5m s s m 2( 6 n 1)2 m 23 (6m n s m 2( 6 m s 3.5m s 1)2 n 3 可见， m 2 (6m 的值随的增大而增大，试令n 2，得 s m 2 )2 n m s 0.125m s 3.4m s ( 6 n 1)2 可见，若使以上等式成立，则必大于 2，即暗星 B 的质量ms必大于2ms，由此可得出结论： 暗星 B 有可能是黑洞。 例题 3

11、.解析：双星绕两者连线上某点做匀速圆周运动，即： G M 1M2 L2 M 1 2L 1 M 2 2L 2 - .L L-由以上两式可得：L M 2 M 2 12 L 1 M L，L 2 L 1 M 2 M 1 M 2 2 又由G M 1M2 L2 M 4L 1 T2 L 1 .-得：T 2L G(M 1 M 2 ) 例题4解析双星的运动周期是一样的,选S1为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律得 Gm 1m2 42 r2 m 42r2r 1 1r1 T2 ,则 m2= GT2 .故正确选项 D 正确. 例题 5【解析】 A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则

12、A 和 B 的向 心力相等。且 A 和 B 和 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期。因此有 m2r M2R，r R L，连立解得R m m M L，r M m M L 对 A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得 GMm L2 m( 2 T )2 M M m L T 2 L3 化简得 G(M m) 将地月看成双星，由得T L3 1 2 G(M m) 将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm L2 m( 2 2 T ) L L3 化简得T2 2 GM (T2 2 m M5.9810247.35 T ) 1022 所以两种周期的平方比值为 24 1.01 1

13、 M5.9810 例题 6 【解析】在 b 转动一周过程中，a、b 距离最远的次数为 k-1 次，a、b 距离最近的次数为 k-1 次，故 a、b、c 共线的次数为 2k-2，选项 D 正确。 例题 7 解析(1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引 力定律有: Gm2 F1=F Gm2 R2 2 (2R)2 F1+F2=mv2/R 运动星体的线速度:v = 5GmR 2R 周期为 T,则有 T= 2R v R3 T=4 5Gm (2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为 R= r/2 cos 30 由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供 ,由力的合成和牛顿 运动定律有： Gm2 F 合= 2 r2 cos30 F 42 合=m T2 R 1 所以 r=(12 5 )3R 例题 8【解析】对三绕一模式，