江苏省扬州市高中数学 （向量8课时）教学案 苏教版必修4（通用）

1、12级高一数学导学案（61）平面向量的基本定理 课 型：新授课【教学目标】了解平面向量基本定理，掌握平面向量基本定理及其应用【课前自主学习】：一、复习引入：1、共线向量基本定理：对于两个向量，如果有一个实数，使_ _那么与是共线向量；反之，如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使 2、问题：平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？二、数学建构：1、情景：火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度。= = 2、建构：（1）平面向量基本定理：如果和是同一平面内两个_ _的向量，那么对于这一平面内的任一向量， _ _一对实数，使得=_；（2）基底：不共线的向量，叫做

2、表示这一平面内所有向量的一组_；（3）正交分解：一个平面向量用一组基底，表示成的形式，称它为_ _，当，互相垂直时，就称为向量的_；【课堂讲练互动】一、典例分析：例1已知向量，求作向量 ，作图： 例2ABMDC如图，平行四边形的对角线和交于点，试用基底表示和。 变式：若试用基底表示例3. 设是平面内的一组基底，如果求证：三点共线。（以A为起点） （以B为起点）变式：若且三点共线，求的值；例4.已知、是平面内两个不共线的向量，试用和表示二、课堂演练1、设是不共线向量，若与共线，则实数2、已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则_.（用表示）3、已知中，是的中点，用向量表示向量

3、= 。4、设分别是四边形的对角线与的中点，并且不是共线向量，试用基底表示向量。12级高一数学导学案（62） 平面向量的坐标表示（1）课 型：新授课【教学目标】掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；【课前自主学习】一、复习准备：问题：如图，平面内点可以用坐标 表示，那平面上的向量也能用坐标来表示吗？二、数学建构1、平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，、为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量，有且只有一对实数x，y，使 成立，即向量 的坐标是 的坐标为 ，的坐标为 .= 2、平面向量的坐标运算:已知、实数，那么： ； ； 。3、设A(x1，y1)，B(x

4、2，y2)，则= ， 【课堂讲练互动】一、典例分析：例1如图，已知是坐标原点，点在第一象限，求向量的坐标。变式：（1）若，则 （2）与平行的单位向量是 例2如图，已知，求向量，的坐标。变式1：用，表示= 变式2：判断四边形ABCD的形状: 变式3：若四边形ABCD是平行四边形，则D的坐标是 例3已知，是直线上一点，且，求点的坐标。变式：若，求点的坐标。例4已知点O(0,0), A(1,2), B(4,5), 及问：(1)t 为何值时，P在x轴上? P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能；求出相应的t值；若不能；请说明理由.二、课堂演练1、若，则= 2、与向量平行的单位向量为

5、 3、设，且，则的坐标分别是_4、若（1，1），（1，1），（1，2），则等于 ；（用，表示）12级高一数学导学案（63） 平面向量的坐标表示（2） 课 型：新授课【教学目标】掌握向量平行的坐标表示方法【课前自主学习】一、复习引入：1、平行向量（共线向量） ；2、共线向量基本定理：_；二、数学建构：问题：与是否平行？_ _；此时向量与的坐标满足_ _。猜想：一般地，设向量，如果，那么_ _,反过来， 如果_，那么。证明：【课堂讲练互动】例1.已知与，当实数为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向。例2.设向量，当为何值时，三点共线。例3已知点的坐标分别为，是否存在常数，使成立？解释你

6、所得结论的几何意义。例4正方形ABCD中，P为对角线BD上的一点，四边形PECF是矩形，证明PA=EF。ACDPBEF三、课堂演练1、已知与，且，则= 。2、已知，且，则= 。3、若平面向量满足平行与轴，则_4、已知向量，且A、B、C三点共线，则 ；12级高一数学导学案（64）向量的数量积（1）课 型：新授课【教学目标】理解平面向量数量积的概念及其几何意义；SF【课前自主学习】一、问题情景：一个物体在力F的作用下发生的位移S，那么该力对物体所做的功为多少？二、数学建构：1、已知两个非零向量与，它们的夹角是，我们把数量 叫做向量与向量的数量积，记作。即= 。= 。2、两个非零向量，夹角的范围为

7、。3、（1）当，同向时，= ，此时= 。（2）当，反向时，= ，此时= 。（3）当时，= ，此时= 。4、= = = 。5、设向量，和实数，则（1）（）=（ ）=（ ）= （2）= ； （3）（+）= 。【课堂讲练互动】一、典例分析：例1已知向量与向量的夹角为, |=2 , |=3 , 分别在下列条件下求。（1）=135 （2）/ （3）变式1：若=，求。变式2：若=120，求（4+）（32）和|+|的值。变式3：若（4+）（32）=5，求。变式4：若|+|，求。变式5：若，则_。例2（1）已知等腰直角三角形ABC中，求下列向量的数量积:（1） （2） （3） （4） 例3如图，AB是半圆O的

8、直径，C，D是弧AB的三等分点，M，N是线段AB的三等分点，若OA6，则的值是_。ABCEFD（2）如图，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 例4在中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是_。二、课堂演练 1若非零向量与满足，则 2已知，那么实数的值为 .3设向量和的长分别为6和5，夹角为120，则+= 4、在平行四边形ABCD中，求(1);(2)求12级高一数学导学案（29）12级高一数学导学案（65）向量的数量积（2）课 型：新授课【教学目标】掌握平面向量数量积的坐标表示；知道向量垂直的坐标表示的等价条件；【课前自主学习】1、设轴上的单位向量，轴上

9、的单位向量，则= ，= ，= ，= ，若=，=，则= + . = + 。2、推导坐标公式：= 。3、（1）=，则|=_；，则|= 。（2）= ；（3） ；（4） / 。【课堂讲练互动】一、典例分析：例1已知=，=，求（1）(3)(2)，（2）与的夹角。例2已知|=1，|=，+=，试求：（1）| （2）+与的夹角例3在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。例4已知（1）当为何值时?（2）当为何值时？平行时它们是同向还是反向？二、课堂演练1、若=，=，当为何值时：（1） （2） （3）与的夹角为锐角2、已知 3、已知，若，= 4、已知，若平面内三点共线，则_。12级高一数学导学案（66）向量的应用

10、 课 型：新授课【教学目标】经历用向量解决某些简单的几何问题、力学问题的过程，体会向量是一种数学工具；【课前自主学习】向量是既有 又有 量， 它既有 又有 特征，通过向量可以实现 与 的互相转化，所以向量是 的桥梁，同时也是解决许多物理问题的有力工具。【课堂讲练互动】一、典例分析：例1一条向正东方流淌的河，河水流速为3m/s，若一条小船为m/s的速度向正北方向航行，求该船的实际航速和航向。例2如图所示，无弹性的细绳，的一端分别固定在，处，同质量的细绳下端系着一个称盘，且使得，试分析，三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大。例3已知，求证：。思考：你能画一个几何图形来解释例3吗？例4已知向量，

11、满足条件+=，且|=|=|=1，求证：为正三角形。二、课堂演练1、已知(1，2)，(4，3)，(2，4)，则|= ，= 。= ；若四边形为平行四边形，则点坐标为 。2、已知在平面内向量和的模都是2，其夹角为，又知，试求P，Q两点间的距离。3、在中，的长分别为，试用向量的方法证明：4、如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，求点和向量的坐标。AOBBB12级高一数学导学案（67） 向量的习题课（1） 课 型：习题课【教学目标】对本章知识进行一次梳理，突出知识间的内在联系，提高综合运用向量知识解决问题的能力。【课堂讲练互动】一、典例分析：例1在平面直角坐标系xOy中，点A(1,2)、B(2,3)、C(

12、2,1)。(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足()=0，求t的值。例2已知在四边形ABCD中,若/,且,求的值及四边形ABCD的面积S。例3设平面向量a(cos，sin)(02)，b，a与b不共线(1)证明：向量ab与ab垂直； (2)若两个向量ab与ab的模相等，求角.例4已知向量=(，1)，= (，)。 （1）求证：；（2）是否存在不为0的实数和，使=+(23)，= +，且？如果存在，试确定与的关系，如果不存在，请说明理由。二、课堂演练1、已知(1，2)，(4，3)，(2，4)，则|= ，= 。= ；若四边形为平行四边形，则点坐标为 。2、已知的

13、两个顶点为原点和，且，则的坐标为 ；点的坐标为 ；3、四边形为菱形，且，求实数的值。4、在ABC中，已知，边上的高为，求；12级高一数学导学案（68）向量的习题课（2） 课 型：习题课【教学目标】向量知识的综合应用。【课堂讲练互动】一、典例分析：例1已知= (2，1)，= ，与的夹角为锐角，则的取值范围是_。例2. 已知平面上三个向量的模均为1，它们相互之间的夹角均为。（1）、求证：。（2）、若 ，求的取值范围。例3已知坐标平面内= (1，5)，= (7，1)，= (1，2)，是直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标，并求的值。例4如图，在RtABC中，已知BC=a.若长为2a的线段PQ以点

14、A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值. 二、课堂演练1、在ABC中，C，AC1，BC2，则f()|2(1)|的最小值是_2、已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且t (0t1)，则的最大值是多少?3、设为原点，点在以为端点的线段上，求的最大值和最小值。4、设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1与e2的夹角为,若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的范围.12级高一数学作 业（61）平面向量的基本定理 班级 姓名 一、感受理解1、已知、不共线，要使，能作为平面内所有向量的一组基底，则实数的取值范围是 ；2

15、、已知共线，且不共线，则xy的值为 。3、若，且三点共线，则_。4、在ABC中，若D，E，F依次是的三个四等分点，则以，为基底时， 5、已知四边形ABCD是正方形，E是DC的中点，且，则 6、在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD和BC的中点，若，其中，则_。7、在中，在线段上，, ，则 .8、已知分别是的边上的中线，且，试用向量表示。ABCDMN9、如图，是一个梯形，且，、分别是和中点若试用表示和。二、思考运用10、设两个非零向量不共线。（1）如果，求证：三点共线。 （2）试确定实数，使共线。11、已知向量，其中不共线，向量问是否存在这样的实数，使向量与共线？三、探究拓展12、已知，P，Q

16、是线段AB的两个三等分点，试用、表示，12级高一数学作 业（62）平面向量的坐标表示（1） 班级 姓名 一、感受理解1、已知，终点坐标是，则起点坐标是 。2、已知，求= 3、已知，向量与相等.则 。4、已知，则与同方向的单位向量_5、已知向量不超过5，则k的取值范围是 6、设中, 若的周长为则的值为_（第7题图）7、如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量,满足（），求的值8、已知A（，B(，)，求线段AB中点M和三等分点P、Q的坐标。二、思考运用9、已知ABC的两个顶点A（3，7）和B（2，5），求C点坐标，使AC的中点在轴上，BC的中点在轴上.10、已知点，及，求点，和的坐标。11、

17、已知点，若点满足，当为何值时：（1）点在直线上？ （2）点在第四象限内？三、探究拓展12、12级高一数学作 业（63） 平面向量的坐标表示（2） 班级 姓名 一、感受理解1、若向量与共线且方向相反，则_2、设，且，则角= 3、梯形的顶点坐标为，且，则点的坐标为_。4、已知，若平行，则= 5、已知向量，且 ，则一定共线的三点是 6、已知和，如果点在直线上，则_。7、已知点(1，2)，若向量与向量=共线，则点的坐标为 二、思考运用8、已知向量，当为何值时：（1） （2）9、已知，且，若，试求。10、平面内给定三个向量 （1）求 （2）满足的实数（3）若，求实数（4）设满足且，求11、已知点及，试问

18、：（1）为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限？（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由.三、探究拓展12、如图，平行四边形中，点的坐标为，且。若是的中点，与相交于点，求的坐标。xOCDEAB12级高一数学作业（64）向量的数量积（1） 班级 姓名 一、感受理解1、设|=12，|=9，=54，则与的夹角= 。2、已知向量和的夹角为120，则_。3若向量a，b的夹角是60，|b|=4，（a+2b）（a3b）=72，则向量a的模是 4、在中，|=3, |=4, C=30，则=_。5、在中，已知|=|=4，且=8，则这个三角形的形状为_。6、在菱形ABCD中，若AC4，则

19、_。7、在平行四边形ABCD中，若AC3，BD2，则_。8、已知，点C在线段AB上，且AOC60，求；9、已知，。（1）、若，求；（2）、若向量与的夹角为，求；（3）、若与垂直，求与的夹角。二、思考运用10、已知向量与向量的夹角为=120，|=2 , |+|，求|。11、已知，且与的夹角为45，设=5+2，=3，求|+|的值。三、探究拓展12、已知|=|=1，与的夹角是90，=2+3，= k4，且，试求的值。12级高一数学作 业（65） 向量的数量积（2） 班级 姓名 一、感受理解1、，则 2、已知=(1,), / ,且|=4,则的坐标是_3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为 。4、已知 5

20、.已知 时，。6、已知，若，= 7、已知a(1,2)，b(3,2)，当kab与a3b平行时，k 8、已知，若与轴的正方向的夹角的正切值为，则 9、已知向量=，|=2，求满足下列条件的的坐标。（1） （2）二、思考运用10、已知直角坐标平面中，,求证：三角形ABC是等腰直角三角形11、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？三、探究拓展12、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。12级高一数学作 业（66）向量的应用 班级 姓名 一、感受理解1

21、、已知，则 2、在三角形ABC中，则的值为 3、若在直角三角形ABC中，那么= 。4、在平行四边形中，则 .5、在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB3，BD1，则_6、在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若，,则 7、在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于 8、某人在静水中游泳速度为m/s，河水自西向东流速为1m/s，若此人朝正南方向游去，则他的实际前进的方向_，速度大小_。二、思考运用9、已知，两两所成的角相等，且|=1，|=2，|=3，求+的长度及它与三个已知向量的夹角10、如图所示，ABC中，D,分别是BC,AC的中点，AE=2ED,(1)用表示向量(2)求证：B, E, F三点共线。.11、求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。A B D C三、探究拓展12、已知，。（1）若时，求的模； （2）求；（3）为锐角三角形，求的范围。12级高一数学作 业（67）向量的习题课（1） 班级 姓名 一、感受理解1、已知|a|3，|b|5，如果ab，则ab . 2、已知向量，互相垂直，|=1，|=2，=+2，=+，