广东省潮州市2020届高三数学上学期期末教学质量检测试题 理（含解析）（通用）

1、广东省潮州市2020届高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则A. B. C. R D. 【答案】D【解析】【分析】求解不等式化简集合A、B，然后直接利用交集运算得答案【详解】，故选：D【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了不等式的解法，是基础题2.复数z满足为虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】由，得，故选：C【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.若A、B、C、D、E五位同学站成一排照相，则A、B两位同学至少有一人站

2、在两端的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】五名同学站成一排照相，共有种排法、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，由此能求出A、B两位同学至少有一人站在两端的概率【详解】五名同学站成一排照相，共有种排法A、B两位同学至少有一人站在两端的排法有：种，、B两位同学至少有一人站在两端的概率为故选：C【点睛】该题考查的是有关概率的求解问题，涉及到的知识点有有条件的排列问题以及古典概型概率公式，属于简单题目.4.下列函数在区间上是增函数的是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意，依次分析选项中函数在上的单调性，综合即可得答案【详解】根据题意，依次分析选项，对

3、于A，其导数，当时，有恒成立，则函数在上为增函数，符合题意；对于B，其导数为，在上，则函数在上为减函数，不符合题意；对于C，其导数为，当时，有恒成立，则函数在上为减函数，不符合题意；对于D，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；故选：A【点睛】本题考查函数的单调性的判断，注意函数的导数与函数单调性的关系，属于基础题5.已知随机变量，若，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性即可求解【详解】，且，且，故选：B【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题6.等比数列中，若，且成等差数列，

4、则其前5项和为（ ）A. 30 B. 32 C. 62 D. 64【答案】C【解析】【分析】设等比数列an的公比为q，a48a1，可得a1q38a1，解可得q又a1，a2+1，a3成等差数列，可得2（a2+1）a1+a3，解可得a1，由等比数列前n项和公式计算可得答案【详解】根据题意，设等比数列an的公比为q，a48a1，a1q38a1，a10，解得q2又a1，a2+1，a3成等差数列，2（a2+1）a1+a3，2（2a1+1）a1（1+22），解得a12；则其前5项和S562；故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式与求和公式，掌握等比数列的通项公式和前n项和公式即可7.已知命题是P：“”

5、是“”的充要条件，q：，使得；则A.为真命题 B.为假命题C.为真命题 D.为真命题【答案】C【解析】【分析】由指数函数的单调性可得：函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，由不等式有解问题，存在时，即命题q是真命题，得结果.【详解】因为函数在R上为增函数，所以“”是“”的充要条件，即命题P是真命题，因为存在时，即命题q是真命题，即为真命题，故选：C【点睛】本题考查了指数函数的单调性及不等式有解问题，属简单题目.8.已知函数的图象经过点，则A. 2020 B. C. 2 D. 1【答案】B【解析】【分析】由函数的图象经过点，可得，进而可得答案【详解】因为函数过点，所以，解得：，所以，故选

6、：B【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，方程思想，函数求值，难度不大，属于基础题9.已知函数，则A. 0 B. 7 C. D. 4【答案】B【解析】【分析】推导出，且，由此能求出的值【详解】函数，且故故选：B【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10.平面直角坐标系xOy中，点在单位圆O上，设，若，且，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可【详解】，则，故选：C【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键11.某几何体的三视图如图所示，若该

7、几何体的体积为2，则图中x的值为A. 1 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，利用体积转化求解即可【详解】三视图对应的几何体的直观图如图：几何体的体积为：，解得故选：A【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键12.已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，且双曲线C与圆在第一象限相交于点A，且，则双曲线C的离心率是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】运用双曲线的定义和条件，求得，由直径所对的圆周角为直角，运用勾股定理和离心率公式，计算可得所求值【详解】双曲线C与圆

8、在第一象限相交于点A，可得，由，可得，由，可得，即为，即有，即有故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用直径所对的圆周角为直角，以及双曲线的定义，考查化简运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x、y满足约束条件，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由解得：由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时z最小，此时，故答案为：【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键14.已知向量、，满足，且，则在上的投影为

9、_【答案】【解析】【分析】根据得，在上的投影为【详解】，在上的投影为，故答案为：【点睛】本题平面向量数量积的性质及其运算，属基础题15.过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为_【答案】【解析】【分析】求导函数，确定切线的斜率，可得所求直线的斜率，再利用点斜式可得直线方程【详解】，当时，即曲线在点处的切线斜率为，与曲线在点处的切线垂直的直线的斜率为2，直线过点，所求直线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查导数的几何意义，考查直线方程，解题的关键是理解导数的几何意义16.设数列的前n项乘积为，对任意正整数n都有，则_【答案】【解析】【分析】对任意正整数n都有，时，化为：时，可得：利用等差数列的

10、通项公式即可得出【详解】对任意正整数n都有，时，化为：时，可得：，可得：故答案为：【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四棱锥中，.（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】() 先证明CDBCCDCE，得到CD平面BCE再证明平面BCE平面CDE； （）建立空间直角坐标系，采用向量法求解二面角的余弦值.【详解】()证明：因为,，所以. 因为,所以, 所以, 因为,所以平面. 又平面,所以平面平面. ()以为原点,建立空间直角坐标系

11、如图所示,则, 所以, 设平面的法向量为,则,即,令, 解得,即, 显然平面的一个法向量为, 所以,所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了面面垂直的判定和求二面角的余弦值，考查了空间想象能力以及计算能力；求二面角的空间向量坐标法的一般步骤：建立空间直角坐标系，确定点及向量的坐标，分别求出两个平面的法向量，通过两个法向量的夹角得出二面角的大小.18.已知点，圆，点是圆上一动点，的垂直平分线与交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为曲线，过点且斜率不为0的直线与交于两点，点关于轴的对称点为，证明直线过定点，并求面积的最大值.【答案】(1).(2).【解析】【试题分析】（1）由于，所以的轨

12、迹为椭圆，利用椭圆的概念可求得椭圆方程.（2）当直线的斜率存在时，设出直线方程和点的坐标，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，求得直线的方程，求得其纵截距为，即过.验证当斜率不存在是也过.求出三角形面积的表达式并利用基本不等式求得最大值.【试题解析】解：（1）由已知得：，所以又,所以点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆，所以点轨迹方程是.（2）当存在时，设直线，则，联立直线与椭圆得，得，所以直线，所以令，得，所以直线过定点，（当不存在时仍适合）所以的面积，当且仅当时，等号成立.所以面积的最大值是.【点睛】本小题主要考查动点轨迹方程的求法，考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查与圆锥曲线有关的三角形面积的最值.由于给定点，而圆心恰好是，由此考虑动点是否满足椭圆或者双曲线的的定义，结合垂直平分线的性质可知动