复变函数与积分变换作业答案

1、14分式线性映射1、 选择题：【 A 】1、分式线性变换把圆周映射为（A） （B) （C） (D) 【 D 】2、点关于单位圆周的对称点是（A） （B） （C） （D）2、 填空题：1、把点分别映射成点的分式线性映射是2、关于圆周的对称点是三、求把点分别映射成点的分式线性映射【解】 由分式线性映射的保比性可得, 化简可得所求映射为. 四、求把上半平面映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件：（1）；【解】 由于, 根据分式线性映射的保对称性可知. 故可令, (其中为待定常数) . 又因为, 代入上式得, 解之可得, 从而所求映射为. （2）。【解】 由于, 根据分式线性映射的保对称性可知. 故可

2、令, (其中为待定常数) . 由此可得, . 又因为 所以. 从而所求映射为.2、求把单位圆映射成单位圆的分式线性映射，并满足条件：（1）【解】 由于, 故可设. 又, 代入上式可得 . 从而所求映射为. （2）【解】 由于, 故可设 ,由上式可得, .又因为 所以. 从而所求映射为. 15唯一确定分式线性映射的条件、几个初等函数所构成的映射一、选择题：【 B 】1、把带形域映射成上半平面的一个映射为（A） （B） （C） （D）【 D 】2、把角形域映射成上半平面的一个映射为（A） （B） （C） （D）2、 填空题：1、 把角形域映射成圆域的一个映射为2、 映射将上半平面映射为三、求一个共

3、形映射将下列区域映射成上半平面：（1）：，(w)(z)-22OOO()【解】 如下图所示:所求满足要求的映射为.（2）：；(z)O-11OO()O(w)()1O【解】 如下图所示:所求满足要求的映射为.四、求把偏心圆环域映射为同心圆环域的一个映射【解】 如下图所示: 为简便起见，在单位圆内实轴上取一点 映射成原点，对单位圆而言，根据保对称性，映射成无穷远点所求的映射为 对园也有保对称性，且为同心圆则 解得 因此所求映射为 因为单位圆映射成单位圆，则取代入得 故所求映射为 16傅氏变换的概念1、 设周期函数在一个周期上的表达式为，求的傅里叶级数的指数形式，并作出及振幅与相位频谱图像。【解】 所以

4、指数形式为：振幅频谱图相位频谱图二、求函数 的傅里叶积分，并作出及振幅与相位频谱图像。【解】由于, 故的傅里叶积分为 .振幅频谱图振幅频谱图17单位脉冲函数1、 选择题：【 B 】1、下面结论不正确的是（A） (B)（C）是偶函数 (D)的傅里叶变换是【 D 】2、函数的傅里叶变换是（A） （B）（C） （D）2、 填空题：1、 单位跳跃函数的傅里叶变换是2、 衰减函数的傅里叶变换是三、求函数的傅里叶变换，并作出及频谱图像。【解】 四、求函数的傅氏变换，并作出及其频谱图。【解】 ,则 五、求函数的傅氏逆变换。并作出及其频谱图。【解】 根据Fourier逆变换的定义, 有下面取18傅氏变换的性质

5、1、 选择题：【 C 】1、设的傅里叶变换为，则的傅里叶变换为（A） （B）（C） （D）【 A 】2、设的傅里叶变换为，则的傅里叶变换为（A） （B）（C） （D）【 D 】3、设的傅氏变换为（），则的傅氏变换为（A） （B）（C） （D）二、填空题：1、设的傅里叶变换为，则的傅里叶变换为2、设的傅里叶变换为，则的傅里叶变换为 三、利用傅氏变换的性质，求下列函数的傅氏变换：（1）；【解】 由于三角函数 , 由Fourier变换原像函数的位移性质, 可得, 再由Fourier变换像函数的位移性质, 可得（3）【解】 由于衰减函数有 F 由相似性质得 F , 由Fourier变换像函数的微分,

6、可得（4）【解】 由于 , 而 , 再由Fourier变换的线性性质和像函数的位移性质, 可得. 四、设，求。【解】 根据卷积的定义, ,下面根据的不同取值范围进行讨论. 1) 当时,显然有;2) 当时, .19拉斯变换的概念1、 选择题：【 C 】1、函数的拉斯变换是（A) (B)（C) (D)【 D 】2、函数的拉斯变换为（A) (B) (C) (D)二、提空题：1、函数的拉斯变换为。2、单位跳跃函数的拉斯变换是。三、用拉氏变换的定义求下列函数的拉氏变换：（1）【解】 根据Laplace变换的定义，有, .（2）【解】 根据Laplace变换的定义，有, .（3）【解】 根据Laplace

7、变换的定义，有, .（4）；【解】 根据Laplace变换的定义，有（5）。【解】 根据Laplace变换的定义，有.20拉氏变换的性质一、选择题：【 D 】1、设的拉斯变换为，则的拉斯变换为（A） (B)（C） (D)【 C 】2、设的拉斯变换为，则的拉斯变换为（A） (B)（C） (D)2、 填空题：1、 设函数的拉斯变换为，则的拉斯变换为。2、设函数的拉斯变换为，则的拉斯逆变换为。三、利用常见函数的拉斯变换公式及拉斯变换的性质求下列函数的拉斯变换：（1）；【解】 由于, 由像函数的微分性质，有.再利用线性性质, 可得 , .（2）。【解】 由于, 由延迟性质，有，.（3）；【解】 由于,

8、由像函数的位移性质, 有,再利用像函数的微分性质，有 , .（4）【解】 由于L , 再利用像函数的积分性质，有L ，3、设以为周期的函数在一个周期上的表达式，求的拉氏变换。【解】 根据周期函数Laplace变换的公式，可得 .21拉氏逆变换1、 选择题：【 A 】1、函数的拉斯逆变换为（A） （B） （C） （D）【 D 】2、函数拉斯逆变换为（A） (B)（C） (D)2、 填空题：1、函数的拉斯逆变换为2、 函数函数的拉斯逆变换为三、用留数方法求下列函数的拉氏逆变换：（1） 【解】 由于是的一级极点, 由Heaviside展开式, 有.（2）【解】 由于是的一级极点, 是的二级极点, 且有; ,故有 .四、利用拉氏变换的性质求函数的拉氏逆变换。【解】 由于 ,且有 .根据微分性质, 有 , 因此, 有 .二、求下列函数在拉斯变换下的卷积： ，。【解】 根据卷积的定义, 有,下面根据的不同取值范围进行讨论. 1) 当时,显然有; 2) 当时, 有 ; 3) 当时, 有.22拉氏变换的应用一、用拉氏变换求解下列微分方程（1）；【解】 设,方程两边取Laplace变换, 可得,代入初始条件, 化简得.由于, , 取Laplace逆变换,可得原方程的解为.（2）；【解】 设,方程两边取Laplace变换, 可得,代入初始条件,