二元表达式范围的几种常见处理途径（通用）

1、二元表达式范围的几种常见处理途径江苏省高邮市送桥中学 （225651） 陈传春二元表达式是指含有两个变量的表达式，通常记着，有关二元表达式的值域、最值问题是常考题型。其中涉及的数学思想和方法也较多，本文将通过一些例题来说明其常见处理途径。一、减元例1 若分析：，利用条件，可对实施减元，使之转化成为=，这样原二元问题就转化一元表达式的最大值， ，当原表达式有最大值。注： 本题除了将二元问题化为一元问题后，还要注意对变量隐含条件的挖崛。一般说来，题目条件中有所求二元变量的等量关系，且能用其中一个去表示另外一个，通常都可以通过减元将二元问题转化为一元问题处理。二、换元例2已知,求的取值范围。分析：由

2、联想到同角三角关系中的，可采用三角换元去处理， 由得， 的取值范围是。注：三角换元是常用的一种换元方法，要选择适当的三角函数，使代数问题三角化，充分利用三角函数的图象和性质去处理，但换元时，要注意三角式和代数式的等价性。 三、不等式 例3已知a0，b0，a+2b=1，求的最小值。分析：这是有关二元表达式的最值问题，考虑道题目中的条件，可直接利用基本不等式。 当且仅当，即时 ，。注：利用均值不等式求最值时要抓住（1）“一正，二定，三等”（2）连续使用同向不等式时要保证等号条件的一致性。本题最常见的错误解法是：由a+2b，a+2b=1得1，2。其原因是两次运用基本不等式的等号成立条件不一致。在a+

3、2b中等号成立的条件是a=2b；在中，等号成立的条件是a=b，当时，a=b=0，这与已知条件矛盾。此外本题也可采用减元，换元去处理。四、数形结合例4 已知分析：，又可看成点（1，1）到直线上点的距离，由点到线的距离公式得的最小值为例5已知满足，求。分析：根据的结构特征，可联想道点到线的距离公式，则原题可转化为圆上一点到直线的距离的最小值，由图形可知，该距离的最小值又可转化为圆心到直线的距离与半径的差，即:= 二元表达式的最小值为。此外本题也可采用换元。例5 若实数x、y满足x2+y26x4y+12=0，求的最大值及最小值.分析： 点（x,y）满足圆的方程，而正好看作是圆上的点与原点连线的斜率.

4、如果把（x,y）视为动点，则的最大值和最小值正是由原点向圆所引的两条切线的斜率.由已知得（x3）2+(y2)2=1，圆心（3，2），半径为1设y=kx,即kxy=0由直线与圆相切，得，解得的最大值为，最小值为。注：以上三题都是数形结合思想中的 “形”中觅“数”，“数”上构“形”的充分体现。 由所问的问题的表达式结构特征，能让我们联系到用其几何意义去处理。五、线性规划例6 已知满足，求z=2x+y的最大值和最小值。分析： 先作出可行域，如图所示中ABC表示的区域，且求得 、B（-1，-1）、C（2，-1）。作出直线 ，再将直线L0平移，当L0的平行线L1过B点时，可使z=2x+y达到最小值，当L0的平 行线L2过C点时，可使z=2x+y达到最大值。zmin=2（-1）+（-1）=-3，zmin=22+（-1）=3。 注：线性规划作为直线方程的延伸，为我们处理二元线性函数的最值提供了一个新的思路和方法。要注意理解与掌握。总之，二元表达式的值域，最值问题的处理应是在照