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1、一类递推数列问题的解决与延伸已知数列an,a1=a,an+1=pan+q(p1,q0是常数),求数列an的通项公式an,是高中常见的递推数列问题.这类数列通常可转化为,或消去常数转化为二阶递推式,或归纳猜想证明.例.已知数列中,,求的通项公式解析:解法一(待定系数法)转化为型递推数列又,故数列是首项为,公比为的等比数列,即解法二(差分法形成差数列)转化为型递推数列=2an+1(n1)=2an+1+1,得(n1),故是首项为a2-a1=2,公比为的等比数列,即,再用累加法得解法三用迭代法 解法四.归纳猜想证明法,猜想:.用数学归纳法证明(证明略).这类递推数列解决后, 其他类型的递推可以转化并解
2、决.类型一: 这类数列可变换成,令,则转化为型.例2.设数列求数列的通项公式解析:,两边同除以,得令,则有于是,得,数列是以首项为,公比为的等比数列,故,即,从而类型二: 若取倒数,得,令,从而转化为型.例3. 已知数列中满足,求数列的通项.解:数列 中, ,即数列是以公差为3的等差数列.类型三: 这类数列可取对数得,从而转化为数列.例4. 已知数列中满足,求数列的通项.解: , 是以为首项,5为公比的等比数列.类型四:可转化为例.设数列求数列的通项公式分析: 设法把分给.转化为解:由可得设故即用累加法得解决这类问题,还可使用下面的定理定理:在数列中, ,为初始值它的特征方程的两根为,则()当时,;()当时(证明略)解法2: 递推关系对应的特征方程为:则由得:例:在数列求数列的通项公式解:令使数列是以 为公比的等比数
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