湖南省师大附中2020届高三数学上学期月考试题（二）理（含解析）（通用）

1、湖南省师大附中2020届高三数学上学期月考试题（二）理（含解析）时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若集合A，B，则满足AXB的集合X的个数为(D)A1 B2 C3 D4 【解析】集合X可以是，共4个，故选D.2在ABC中，三个内角A，B，C满足sin2Asin2Bsin2Csin Asin B，则角C的大小为(A)A30 B60 C120 D150【解析】由正弦定理知：a2b2c2ab，则cos C，又0C180，则C30.3已知随机变量X服从正态分布N(5，2)，且P(X7)0.8，则P(3X5)

2、(C)A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2【解析】由题意，随机变量X服从正态分布N(5，2)，所以正态曲线的对称轴为x5，因为P(X7)0.8，所以P(X7)0.2，根据正态分布曲线的对称性可知，所以P(3X5)0.50.20.3，故选C.4已知数列是首项为3，公差为d(dN*)的等差数列，若2 019是该数列的一项，则公差d不可能是(D)A2 B3 C4 D5【解析】由题设，an3(n1)d，2 019是该数列的一项，即2 0193(n1)d，所以n1，因为dN*，所以d是2 016的约数，故d不可能是5，故选D.5公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数

3、无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出n的值为(参考数据：1.732，sin 150.258 8，sin 7.50.130 5)(B)A12 B24 C48 D96【解析】执行程序：n6，S3sin 60，不满足条件S3.10；n12，S6sin 303，不满足条件S3.10；n24，S12sin 15120.258 83.105 6，满足条件S3.10，退出循环输出n的值为24.故选B.6设变量x，y满足约束条件则z|x3y|的取值范围是(C)A2

4、，8 B4，8 C0，8 D8，)【解析】作出约束条件对应的可行域如图，z|x3y|，其中表示可行域内的点(x，y)到直线x3y0的距离，由图可知，点A(2，2)到直线x3y0的距离最大，最大为；又距离最小显然为0，所以z|x3y|的取值范围为0，8，故选C.7.已知的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k(B)A6 B7 C6或7 D5或6【解析】的展开式中第5项与第8项的二项式系数相等，所以n4711，第r1项系数为Tr1C(1)r，r6时Tr1最大，故展开式中系数最大的项为第7项8如图直角坐标系中，角和角的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标

5、为，且满足SOAB，则sin的值为(A)A. B. C D【解析】由图知xOA，xOB，且sin .由于SOAB知AOB，即，即. 则sinsincos .故选A.9已知某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积是(A)A.3 B.3 C. D. 【解析】几何体为圆锥挖掉个圆台. 其表面积为：S表22124223.故选A.10将函数f(x)ln(x1)(x0)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角(0，)，得到曲线C，若对于每一个旋转角，曲线C都仍然是一个函数的图像，则的最大值为(D)A B. C. D.【解析】函数f(x)ln(x1)(x0)的图像绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线都

6、不经过y轴时，其图像都仍然是一个函数的图像. 因为f(x)在0，)是减函数且00只有2个整数解，则实数a的取值范围是_【解析】作出函数f(x)的图像：若a0，由f2(x)af(x)0，可得f(x)a，显然f(x)a有2个整数解，由图可知：aln 2；若a0，可得f(x)0，显然f(x)0有无数多个整数解，不符题意，舍去；若a0，由f2(x)af(x)0，可得f(x)0，有无数多个整数解，不符题意，舍去综上可知：a.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：60分17(本小题满分12

7、分)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an1(1)Sn1(nN*，2)，且3a1，4a2，a313成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足anbnlog4an1，数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn.【解析】(1)因为an1(1)Sn1，所以当n2时，an(1)Sn11，由得an1an(1)an，即an1(2)an(n2)，2分又因为2，且a11，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，故a22，a3，由题知8a23a1a313，所以816，整理得2440，解得2，4分所以an4n1.6分(2)因为anbnlog4an1，即4n1bnlog44n，所以bn，8分则T

8、n1 ，Tn，得Tn1，Tn，11分又nN*，所以Tn.12分18(本小题满分12分)如图，l，二面角l的大小为，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1.已知AB2，AA11，BB1.(1)若120，求直线AB与平面所成角的正弦值；(2)若90，求二面角A1ABB1的余弦值【解析】 (1)如图， 过点A作平面的垂线交于点G，连接GB、GA1，因为AG. 则ABG是AB与所成的角RtGA1A中， GA1A60，AA11, AG.RtAGB中，AB2，AG， sinABG，故AB与平面所成的角的正弦值为. 5分(2) 解法一：BB1，平面ABB1.在平面内过A1作A1EAB1交

9、AB1于E，则A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1FAB, A1FE就是所求二面角的平面角在RtABB1中，BAB145，AB1B1B. RtAA1B中，A1B. 由AA1A1BA1FAB得 A1F，在RtA1EF中，sinA1FE，二面角A1ABB1的余弦值为cos .12分解法二： 如图，建立坐标系， 则A1(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(0，1，0)，B(，1，0)在AB上取一点F(x，y，z)，则存在tR，使得t， 即(x，y，z1)t(，1，1), 点F的坐标为(t, t，1t)要使，须0, 即(t, t，1t) (，1，1)0, 2

10、tt(1t)0，解得t， 点F的坐标为， . 设E为AB1的中点，则点E的坐标为. .又(，1，1) 0, ， A1FE为所求二面角的平面角又cosA1FE，二面角A1ABB1的余弦值为.12分19(本小题满分12分)某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，当k85时，产品为一级品；当75k85时，产品为二级品，当70k75时，产品为三级品，现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果：(以下均视频率为概率)A配方的频数分配表：指标值分组频数10304020B配方的频数分配

11、表：指标值分组频数515253025(1)若从B配方产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的B配方产品中至少1件二级品”为事件C，求事件C发生的概率P(C)；(2)若两种新产品的利润率y与质量指标k满足如下关系：y其中0t，从长期来看，投资哪种配方的产品平均利润率较大？【解析】(1)由题意知，从B配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为，则没有抽中二级品的概率为，所以P(C)1.5分(2)A配方产品的利润分布列为yt5t2p0.60.4所以E(y)A0.6t2t2，8分B配方产品的利润分布列为yt5t2t2p0.550.40.05所以E(y)B0.55t2.05t2，11分因为0t，所以E(y)

12、BE(y)A0.05t20.05t0.05t(t1)0，所以从长期来看，投资A配方产品的平均利润率较大12分20. (本小题满分12分)如图，已知圆E：(x1)2y28，点F(1，0)，P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q.(1)求动点Q的轨迹上的方程；(2)已知A，B，C是轨迹上的三个动点，点A在一象限，B与A关于原点对称，且|CA|CB|，问ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相应直线AB的方程；若不存在，请说明理由【解析】(1)Q在线段PF的垂直平分线上，|QP|QF|，得|QE|QF|QE|QP|PE|2，又|EF|22，Q的轨迹是以E，F为焦点，长

13、轴长为2的椭圆，的方程为y21. 5分(2)由点A在第一象限，B与A关于原点对称，设直线AB的方程为ykx(k0)，|CA|CB|，C在AB的垂直平分线上，直线OC的方程为yx.由(12k2)x22，|AB|2|OA|22，7分同理可得|OC|，SABC|AB|OC|，9分方法1：设tk211，则k2t1，故SABC，由二次函数的图像及性质可求得当t2，即k1时，SABC有最小值为.12分方法2：(12k2)(k22)，SABC，当且仅当12k2k22，即k1时取等号SABC.综上，当直线AB的方程为yx时，ABC的面积有最小值.12分21(本小题满分12分)已知函数f(x)ax2aln x，

14、aR，g(x)ex1aln xx，其中e为自然对数的底数(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线经过(0，2)，证明：f(x)g(x)1； (2)若函数yf(x)与y2g(x)ln x的图像有且仅有一个公共点P(x0，y0)，证明：x00)，则F(x)ex1，3分当x(0，1)时F(x)0，函数F(x)单调递增，故函数F(x)的最小值为F(1)1，即f(x)g(x)1.5分(2)G(x)2g(x)ln xf(x)2ex1ln x2xax，由题意函数G(x)有且仅有一个零点，因为G(x)2ex12a，G(x)2ex10，7分则G(x)为(0，)上的增函数，且其值域为R，故G(x)在(0，

15、)上有唯一的零点，设为t，则当x(0，t)时G(x)0，则G(x)单调递增，从而函数G(x)在xt处取得最小值，又函数G(x)有唯一零点x0，则必有tx0，9分所以：消去a整理得：(22x0)ex011ln x00，令H(x)2(1x)ex11ln x，显然x0为其零点，而H(x)x0，H1eln 0，所以H(x)在内有且仅有一个零点，在内无零点，即x0.12分(二)选考题：共10分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的

16、极坐标方程为2cos.(1)分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(2)已知点P(2，1)，直线l与曲线C相交于M，N两点，若6，求直线l的斜率【解析】(1)将(t为参数)消去参数t可得y1tan (x2)，直线l的普通方程为ytan x2tan 10.2分由2cos，得22(cos sin )，将2x2y2，cos x，sin y代入上式，得x2y22x2y0，即(x1)2(y1)22，曲线C的直角坐标方程为(x1)2(y1)22.5分(2)将代入(x1)2(y1)22中，整理得t22cos t10，设M，N两点对应参数分别为t1，t2，则t1t22cos ，t1t21，7分因为6，所以(t1t2)266t1t2，所以(t1t2)22t1t20，即4cos2