山西省忻州市高考数学 专题 计数原理2复习教学案（无答案）（通用）

1、计数原理一、教学内容解析本节课是普通高中课程标准实验教科书选修2-3（人教A版）“第一章计数原理”第1.1节的内容，教学安排4个课时，本节课为第1课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理既是解决计数问题的最基本、最重要的两种思想方法；又是继续学习排列、组合和二项式定理的理论依据在本章中是奠基性的知识从认知基础的角度看，分类加法计数原理与分步乘法计数原理实际上是学生从小学就开始学习的加法运算与乘法运算的拓展应用从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题是将一个复杂的计数问题分解为若干“类别”，再分类解决；运用分步乘法计数原理解决问题则是将一个复杂的计数问题分解为若干“步骤”，先对每个步骤分类

2、处理，再分步完成综合运用分类加法计数原理与分步乘法计数原理就是将综合问题分解为多个单一问题，再对每个单一问题各个击破所以，分类加法计数原理与分步乘法计数原理的灵魂是划归与转化的思想、分类与整合的思想和特殊与一般的思想的具体化身因此，本节课的主要任务是依托学生已有的认知基础归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理，并能初步领会应用原理解决计数问题的要领二、教学目标设置（一）知识与技能目标1. 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，理解两个计数原理的联系与区别；2. 根据具体的问题情境，学生能描述“完成一件事”的具体含义，会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题（二）过程与方法目标1

3、. 通过给出的具体实例，学生经历两个计数原理的抽象概括的发现过程，能归纳出两个计数原理，并能说出两个计数原理的联系与区别，体会从特殊到一般的思维过程，培养学生观察、分析、类比、归纳的能力；2. 通过引例探究、列举实例，学生会正确选择和应用两个计数原理解决一些简单的实际问题，领悟运用两个计数原理所包含的划归与转化、分类与整合和特殊与一般的思想方法（三）情感、态度与价值观目标1. 培养师生合作探究，学生自主探究与合作学习的学习方式，激发学生应用数学的热情，感受学习的乐趣；2. 经历由实际问题推导出两个原理，再回归实际问题的解决这一过程，体会数学源于生活、高于生活、用于生活的道理，让学生体验到发现数

4、学、运用数学的过程【教学重点】归纳地得出两个计数原理，并能初步用其解决一些简单的实际问题【教学难点】正确地理解“完成一件事”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”三、学生学情分析1. 认知基础：学生在初中学习过用列举法或树状图解决简单的计数问题，已经具备一定的归纳、类比能力，能解决一些简单的实际问题同时在学习和生活中，学生已经不自觉地会使用“分类”和“分步”的方法来思考和解决问题；2. 能力基础：本节课的授课对象为高一学生，相较于高二学生，观察能力和数学抽象概括能力存在一定的差异，所以我把“入门”的起点“放低”， 在难点处多预设一些铺垫，以作备用；3. 可能障碍：一是应用原理

5、的意识淡薄，二是不能根据问题的特征，正确地选择原理解决问题四、教学策略分析（一）教法分析对于两个计数原理，不仅仅在于规律本身，更在于如何让学生借助已有的认知基础及数学活动经验，发现原理、归纳原理，进一步深刻认识原理，在发现的过程中学会学习，学会探究，提升思维的品质因此我采用“问题驱动由浅入深启发引导反馈评价”的探究式教学方法，紧紧围绕如何抽象、怎样概括、如何归纳和怎么应用等问题展开，通过“引、思、探、练、归”相结合的做法，引导学生归纳共同特征，进一步抽象概括出两个原理的本质特征，最后通过应用示例，小组讨论，加深对原理的区分和思想方法的理解（二）学法分析学生已具备一定的计数能力（树形图、列举法等

6、），能解决一些简单的计数问题，包括本节课所涉及的一些实际问题，只是还没有上升到理论的高度本节课主要由学生自主探究，观察发现，合作交流，类比归纳，感悟两个计数原理的区别与联系及其应用的前提条件、应用的注意点五、教学流程创设情境引入课题生活感知初识原理实例探究归纳原理演练反馈巩固提升归纳小结认知升华六、教学过程（一）计数问题的引入引言：新课改考试科目设置：必考语文、数学、外语，选考考生根据报考高校要求和自身特长，从政治、历史、地理、物理、化学、生物、信息技术7门课程中自主选择3门，即“七选三”师：按照报考要求，你会选择哪3门？3位学生师：3位同学选择的都不一样，试想我们班40个人能不能选择的都不一

7、样？即转化为最多有多少种不同的选择？有大于等于40种吗？师：可以一一列举吗？生：应该可以，但需要时间师：列举要做到不重复、不遗漏，比较困难，看来我们有必要探究更有效的方法生活中我们还会遇到很多类似的计算方法数的问题，我们称之为“计数问题”为了解决这个计数问题，我们先来学习两个基本原理【设计意图】以学生关心的知识背景切入本节课，提高了学生主动参与学习的积极性，通过一个比较复杂的计数问题，制造认知冲突，激发学生的兴趣，揭示探究原理的必要性（二）初步感知两个原理北京的天空与衢州天空的对比图，“乐活在衢州”的魅力，特别是开化国家东部公园的打造吸引越来越多的北方人来游览，小宇要从北京到衢州问题1：尝试回

8、答下列计数问题.（1）一天中，适合小宇乘坐的飞机有3班，火车有4班， 一天中乘坐这些交通工具从北京到衢州共有多少种不同的走法?（2）小宇临时改变行程，要从北京先乘飞机到杭州约一朋友，再于次日从杭州乘高铁同往衢州，已知一天中适合他乘坐的飞机有3班，高铁有4班问两天中小宇从北京到衢州共有多少种不同的走法？ （3）小宇慕名要到我校参观，我们班有男生17名，女生23名从中任选1名同学接小宇，共有多少种不同的选法?（4）小宇到我校后，我们班有男生17名，女生23名从中选出男、女各一名接待小宇，共有多少种不同的选法?生：（1）3+4=7（2）34=12师：能具体分析是怎么得到的吗？引出树形图，树形图也是计

9、数问题的一种常用方法（3）17+23=40（4）1723=391 巩固树形图师：请同学们观察以上四个问题，哪些问题在算法上具有共同的特征？生：（1）（3）都是两个相加，（2）（4）都是两个相乘【设计意图】通过生活中四个简单实例的辨析，寻找共性，学生初步感知两个原理 （三）分类加法计数原理的形成 探究：（1）（3）两个计数问题的共同特征（1）（3）共性从北京到衢州选1名同学完成一件事乘飞机或乘火车选男生或女生完成这件事情有两类方案每类方案中的任一种方法能否独立完成这件事情能第类乘飞机，有3种 第类乘火车，有4种第类选男生，有17种 第类选女生，有23种在第1类方案中有m种不同的方法在第2类方案中

10、有n种不同的方法共有3+4=7种 不同走法共有17+23=40种 不同选法 完成这件事情共有m+n种不同的方法（师生共同探究，完成表格）师：同学们能否根据问题（1）和（3）的共同特征，把它们的共性进行概括呢？分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第一类方案中有种不同的方法，在第二类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法提醒注意：每类中的任一种方法都能独立完成这件事【设计意图】通过类似的两个简单问题，归纳、概括出加法原理的特征，让学生体会知识获得的过程，并体会数学源于生活的同时也培养了学生归纳概括、数学表述的能力变式1：小宇慕名要到我校参观，我们班有男生17名，女生23名，

11、还有任课老师10名从中任选1人接小宇，共有多少种不同的选法?生：17+23+10=50师：这个问题要完成的一件事情是什么？（选1个人），最后的方法数（3类中的方法数相加）师：如果完成一件事有n类不同方案，方法数又该如何计算呢？分类加法计数原理的推广：一般地，如果完成一件事有类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类中有种不同的方法，在第类中有种不同的方法，那么完成这件事一共有种不同方法【设计意图】通过变式，由易到难，循序渐进，而且为学生自主生成分类加法计数原理的推广做好铺垫，让学生经历数学知识从特殊到一般的推广过程，培养了学生类比、逻辑推理的思维能力（四）分步乘法计数原理的形成 探究：

12、（2）（4）两个计数问题的共同特征（2）（4）共性从北京到衢州选1男、1女两名同学完成一件事先乘飞机再乘火车先选男生再选女生完成这件事情要两个步骤每步中的任一种方法能否独立完成这件事情不能第1步乘飞机，有3种 第步乘火车，有4种第步选男生，有17种 第步选女生，有23种做第1步有m种不同的方法做第2步有n种不同的方法共有34=12种 不同走法共有1723=391种 不同选法 完成这件事情共有mn种不同的方法（学生自主探究，完成表格）师：同学们能否根据问题（2）和（4）的共同特征，类比分类加法计数原理，得到一些结论呢？分步乘法计数原理：如果完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第2

13、步有n种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法提醒注意：只有各个步骤都完成才算完成这件事情【设计意图】类比分类加法计数原理，由学生自主探究、合作交流，归纳、概括出（2）（4）的共同特征，并归纳出分步乘法计数原理，培养了学生类比归纳，数学表述的能力变式2：小宇到我校后，我们班有男生17名，女生23名，若再从我们班的10名任课老师中选派1名老师，带领一男一女两学生共同接待小宇，共有多少种不同选法？生：1723=3910师：这个问题要完成的一件事情是什么？（选3个人，1名男同学，1名女同学，1名老师），最后的方法数（3步中的方法数相乘）师：如果完成一件事要n个步骤，方法数又该如何计算呢？分步乘法

14、计数原理的推广：一般地，如果完成一件事要个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同方法【设计意图】类比分类加法计数原理的推广，由学生自主生成乘法原理的推广，培养学生类比、推理的能力（五）两个计数原理的辨析与应用题组训练1. 从我们班40名同学中选出2人，其中一人担任班长，另一人为副班长，共有多少种不同的选法？2. 我校高一有18个班，高二有18个班，小宇从中选择1个班级观摩，共有多少种不同的选法？3. 我校有4个门，小宇从其中的任意一个门进入学校，再从其它的门出去，共有多少种不同的进出学校的方式？4. 经推荐，小宇了解到衢州名小吃“三

15、头一掌”特色小店城区5家，航埠4家，石梁2家，小宇从中任选一家品尝，共有多少种不同的选法？【设计意图】感知容易理解难，具体应用更难，这组题组训练采用分类分步问题交叉设置，由学生板演分析，让学生在应用过程中加深对原理的理解，正确区分使用两个计数原理，提高学生的分析问题和解决问题的能力思考：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的相同点和不同点是什么?（学生独立思考、小组讨论、代表发言）分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点都是计算完成一件事方法数的问题不同点分类、加法分步、乘法分类中每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）只有各步都

16、完成这件事才算完成注意类类独立 不重不漏步步相依 缺一不可【设计意图】学生能从分析问题和解决问题的过程中去挖掘两个原理的本质区别，这是本节课的一个难点突破，所以设置了小组讨论学生在与人分享中倾听、质疑、表述，体验成功的喜悦，培养学生合作交流的能力，让学生学会在参与中发展自己的数学知识和能力例1：开化景色秀美，其中名山景点5个，名水景点3个，特色乡村4个 （1）小宇从三类景点中各选1个景点,有多少种不同选法?（2）小宇从中任选1个景点,有多少种不同选法?（3）小宇从中选2个景点，同一类型的景点至多选择1个，有多少种不同选法？学生给出3种解法，解法1强调分类不能重复，解法2分3类，每类分步完成，解

17、法3强调分类不能遗漏【设计意图】设问循序渐进，突出强调解题时，理清完成一件事的要求至关重要，只有这样才能正确区分“分类”和“分步”（区分的关键是对“完成一件事”的理解），分类注意不重不漏，分步注意步骤完整 例2：开化的“后花园”桃溪村正举办“快乐乡村周”， 小宇一行5人报名参加4项比赛（1）每人报名且限报1项，不同的报名方法共有多少种？（2）每人都参加这4项比赛，每项比赛产生1个冠军，冠军产生的方式共有多少种？【设计意图】突出强调解题时，弄清要完成的一件事是什么至关重要练习：“世界根雕在中国，中国根雕看开化”.小宇一行5人终于来到向往已久的5A级景区开化根博园，“根雕佛国”有3个殿堂，每人可任

18、选1个殿堂参观，共有多少种不同的参观方法？开放交流：同学们能从自己的生活经历中举出用两个计数原理的例子吗？【设计意图】让学生亲身经历、体验发现数学问题，数学源于生活，并应用于生活（六）思悟小结1.解决计数问题的基本原理： 分类加法计数原理 分步乘法计数原理2.选择两个原理的关键是：正确区分“分类”和“分步”,根据题目，明确“完成一件事”.（师生共同归纳）【设计意图】深化理解，完善认知，领悟方法，情感体验（七）前后呼应师：同学们试一试现在能不能解决引言中提出的问题.【设计意图】激发学生的探知欲，为本章后续学习做铺垫（八）课后作业1. 阅读作业：课本P11-12研究与发现“子集有几个” 2. 弹性作业：小宇从开化回北京，在路上他又会遇到哪些运用两个计数原理解决的问题？请同学们寻找并相互交流【设计意图】巩固课堂内容，从课堂延伸到课外，拓展探究空间，提高学生独立思考、自主探究的能力七、教学反思本节课我紧扣“概念原