高中数学 第二章 函数 第3节 函数的单调性基础知识素材 北师大版必修1（通用）

1、三函数的单调性1 .理解函数单调性的定义2 .用函数单调性的定义判断函数的单调性3 .可以从给定函数图像直观地求出函数的单调性和单调区间1 .增加函数(1)定义：在函数y=f(x )的定义域内的一个区间a中，对于任意的数x1，x2A，如果x100.(2)几何意义：函数f(x )的图像在区间a中是_的东西。(3)未图示：如图所示【做1】下一个命题正确的是().在存在x1，x2(a，b )并且x1x2的情况下，当在a.(a，b )中定义的函数f(x )满足f(x1)f(x2 )时，f(x )在(a，b )处变为增加函数b .在存在无限多对x1和x2(a，b )的情况下，当满足f(x1)f(x2)时

2、，f(x )在式(a，b )中是增加函数如果c.f(x )在区间I1是增加函数，在区间I2也是增加函数，则f(x )在I1I2也一定是增加函数如果d.f(x )在区间I是增加函数并且f(x1)f(x2)(x1，x2I )，则x1x22 .减法函数(1)定义：在函数y=f(x )的定义域内的一个区间a中，对于任意两个x1，x2A，如果x1x2的情况下有_ _，则有时也称函数y=f(x )在区间a减少，函数y=f(x )在区间a减少.假设x1，x2A，x1x2，f(x )在a上减少了(x1-x2)f(x1)-f(x2)0-d.a &【做的事2-2】函数f(x )在r上是减法函数，()A.f(3)f

3、(5) D.f(3)f(5)。3 .单调性(1)定义：函数y=f(x )在有定义域的子集中是_或_ _ _ _时，据说函数y=f(x )在该子集中具有单调性。 当函数y=f(x )在_内增加或减少时，我们分别称为增加函数或减少函数，统称为单调函数。(2)几何意义：函数f(x )的图像在区间a中为_或者函数y=，其定义域是(-，0)2222222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓地6写函数单调的区间时，区间的端点的开闭没有严格规定，习惯上，如果函数由区间的端点来定义，当然可以写闭区间，如果可写开区间的函数没有由区间的端点来定义，就必须写开区间【做的事3-1】函数y=-x2的单调增

4、加区间是().A.(-，0 B.0，)C.(1，) D.(-，)做的事情3-2在图中示出已知函数y=f(x )的图像时，其单调减少区间是.4 .最大值和最小值(1)定义：一般地，假设对于函数y=f(x )定义域为d，存在x0D，f(x0)=M，并且对于任意x-d存在f(x)M或f(x)M，则m是函数y=f(x )的最大(最小(2)几何学意义：函数y=f(x )的最大(小)值是该图像上最高(低)点的纵轴.“要做的事情4”函数f(x)=x-1的区间 3，6 中的最大值和最小值分别为().a.6，3 b.5，2 c.9，3 d.7，4答案：1. f (x1 ) f (x2) (2)下降【做的事2-1

5、】 D f(x )是r上的减法函数2a-10，即a &【做的事2-2】 C 函数f(x )在r中是减法函数，3f(5)3.(1)增加的减少的定义域整体(2)的上升下降【试试看吧3-1】 A【试试看吧3-2】当b函数f(x)=x-1在区间 3，6 中增加时，当3x6时，f(3)f(x)f(6)，即，2f(x)5，因此最大值和最小值分别为5，2 .理解函数的单调性分析：函数的单调性描绘函数图像的特征，其反映了函数图像的变化趋势(自变量变大时函数值会变大还是变小，图像会上升还是下降)。 函数y=f(x )在区间d是增加函数(减法函数)，d中的任意两个参数x1， 相当于x2且x1x2，存在f(x1)f

6、(x2)，在此任意两个字很重要，如果不能用具体的两个参数替换，就会发生错误如果f(x2)=1 f(x1)f(x2 )，由此f(x)=是增加函数，则发生错误是因为x1、x2是一定的，不具有任意性.另一方面，从背面考虑，由于存在x1=-1x2=1，f(x1)=-1，f(x2)=1，f 当函数有多个单调的增加(减少)区间时，这些增加(减少)区间必须用逗号隔开(即“局部”)，不能用和集合的符号连接(并且完成后成为“整体”) 因为可以写为0 )的函数的单调性反映了函数图像的变化倾向，所以函数的单调性不能在一点上讨论，例如函数y=x2的单调增加区间可以写为(0，)或0，但是如果定义域中不包含这一点，就必须

7、在开区间上表现步骤如下所示。(1)取值：在指定区间内任意2个自变量x1、x2且x1x2；(2)变形：主要是处方和分解的原因、通分等(3)判断常规： f(x1)-f(x2)的符号(4)结论：根据定义得出结论问题类型一判定或证明函数的单调性证明函数f(x)=x以(0，1 )减少。分析：委托(0，1 ) x1，x2，x1f(x2 )即可反省：证明函数的单调性主要有两种方法(1)定义法.该步骤在给定区间中取2个自变量x1和x2，通常作为差比较法来比较x1x2的f(x1 )和f(x2 )的大小，比较此时的大小的步骤是看差、变形、符号.总结结论(2)图像法.利用图像，根据函数单调性的几何意义来判断.该方法

8、适用于客观问题(选择问题和填补问题) .问题型二求函数的单调区间描绘函数y=-x2 2|x| 3的图像，指出函数的单调区间。分析：只需绘制函数的图像，看看曲线在哪个区间上升，在哪个区间下降，就能确定函数的单调区间反省：利用函数图像确定函数的单调区间。 具体的方法是简化函数解析式，然后画出其草图，最后根据函数定义域和草图的位置、状态，确定函数的单调区间。问题型三函数单调性的应用已知函数f(x )在区间(0，)是减法函数，尝试比较f(a2-a 1 )和f的大小.分析：要比较两函数值的大小，首先需要比较自变量的大小反省：利用函数单调性的定义来比较大小，另一方面，若y=f(x )在规定区间内是增加函数

9、，则在x1x2时，f(x1)x2时，f(x1)f(x2 )。 另外一方面，y=f(x )在规定区间是增加函数，f(x1)f(x2 )时，是x1f(x2 )时，是x1x2的反向的应用.在y=f(x )为某区间中减法函数的情况下，也能够得到同样的结论.已知f(x )是用-1，1 定义增加函数，如果f(x-2)f(1-x )，则求出x的可取范围.分析：需求x的值的范围必须根据f(x-2)0时，f(x)0，f(1)=-。(1)判断并证明f(x )在r上的单调性(2)求出2)f(x )在-3，3 上的最大、最小值.分析：抽象函数的性质要好好定义，也要注意特殊值的应用反省：要证明函数的单调性，必须用定义严

10、格证明，不能用特殊的值来验证，判断函数的最大值多从单调性开始问题型五易错误判别分析容易出错的地方是单调的区间和区间中单调的两个概念理解错误当函数y=|x-a|在区间(-，4 )减少时，实数a能取的值的范围是_ _ _ _ _ _ _ .误解：函数y=|x-a|图像如图所示，函数在区间(-，4 )减少，所以a=4.错误原因分析：因错误解而误认为函数在区间(-，4 )减少的函数的单调减少区间是(-，4 )。如果将原问题变更为函数y=|x-a|的单调减少区间(-，4 )，a=4就符合问题意思。答案：【例1】证明：0x1x21的话f(x1)-f(x2)=-=(x1-x2)=(x1-x2)=.0 x1

11、x2 1，8756； x1x2-10，x1-x20，即f(x1)f(x2)。f(x)=x以(0，1 )减少解： y=-x2 2|x| 3=函数图像如图所示函数以(-1)和 0，1 增加函数以-1，0 和1，)减少因此函数的单调增加区间为(-1 )和 0，1 ，单调减少区间为-1，0 和1，。解： a2-a 1=2 下和a2-a 1都是区间(0，)上的值.另外f(x )在区间(0，)是减法函数ff(a2-a 1)【例4】解：从题意可以知道1x2。f(x )是在-1，1 中定义的递增函数，f(x-2)f(1-x )x-21-x.x 。1x 是满足问题设定条件的x值的范围。解： (x=y=0时，f(

12、0)=0设y=-x为f(-x)=-f(x )。在r中设x1x2时，f (x2)-f (x1)=f (x2) f (-x1)=f (x2- x1) .x1 0。另外，在x0的情况下，f(x)0f(x2-x1)0，即f(x2)f(x1)。从定义可知，f(x )在r上是单调递减函数.(2)？f (x )在r中是减法函数f(x )在-3，3 处减少f (-3 )最大，f(3)最小f (3)=f (2) f (1)=f (1) f (1)=3=-2f(-3)=-f(3)=2，即f(x )在-3，3 中的最大值为2，最小值为-2.正解：函数y=|x-a|图像如图所示，所以a=4或a为4的右侧，能够保证函数y=|x-a|在区间(-，4 )减少，所以a4 .一个函数y=x2-6x 10在区间(2，4 )中是().a .递减函数b .增加函数c .先递增再递减d .先递减再递增2函数的单调减少区间是().A.0，) B.(-，0 )C.(-，0 )，(0，) D.(-，0)(0，)在3以下函数中，追加到区间(0，2 )的是().A.y=3-x B.y=x2 1C.y=-x2 D.y=x2-2x-3四函数f(x)=x2-|x|的单调减少区间是5求证：函数f(x)=以(-1，)减少答案：从1.D函数图像可以看出，