高中数学 第1章 空间几何体 1.3 空间几何体的表面积与体积 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积教材梳理素材 新人教A版必修2（通用）

1、1.3.1圆柱、圆锥、平台的表面积和体积牛起水泡知识聪明一、柱的表面积1.棱镜的表面积。如果棱柱的侧面与底面垂直，则移除底面将产生矩形，例如方块、直棱柱等，如图1-3-1所示。图1-3-1因此，侧面积为s直棱镜侧面积=Ch。也就是说，直棱柱的侧面面积是底面周长乘以高度。其中c是底面的周长，h的侧角长度也很高。总面积S整体=S侧S楼板。如果是规则多边形，则使用公式的楼板面积方法；当是不规则多边形时，首先使用分割方法分割成多个三角形，然后寻找。方法占据棱镜的整个区域，一般有两种方法。一是逐面求面积。这是解决问题的一般方法。另一种方法是剪切补充方法。例如，在一般棱柱中，DE、EF、FD互垂于肋，被剖

2、面DEF切割为两部分，接合后形成侧面积保持不变的直棱柱，如图1-3-2所示。图1-3-2圆柱体的表面积。圆柱体的侧面展开模式是矩形，如图1-3-3所示。图1-3-3因此，圆柱体的侧面面积为S=Ch=2rl。二、圆锥体的表面积1.棱锥体的表面积通常使用面法，对于正棱锥体，可以使用公式s面=。其中c是底面的周长，h 是侧面的高值。金字塔表面积的解决方案可以这样理解。图1-3-4，每个边都是正三角形，因此s面=h h=(ab BC ca) h 或s面=n，其中a是底面边的长度。图1-3-4圆锥的表面积。圆锥的侧展开图为扇形(如图1-3-5所示)，因此侧面积为扇形面积，S=rl。其中c是底面周长，l是

3、母线长度，r是底面半径。图1-3-5三、平台的表面积1.棱镜的表面积。长寿台的表面积由向上、向下和侧面组成，没有固定的解决方案，通常按面添加。正装台面的侧面是等边梯形，底面是正多边形，可以用公式求。深化升华时，例如，四面体的展开模式由四个等边梯形和两个正方形组成，如图1-3-6所示，棱柱的侧面区域为s面=n (a h=(na na) h )。其中a 是顶面边缘长度，a是底面边缘长度，n是侧面数，h 是四边形梯形的高度，C是底面周长，C 是顶面周长。此结果可以找到两个图1-3-6圆形表格的表面积。圆形表格的侧展开图为图1-3-7，AC=l，OC=l1，OA=l2，l=l2-l1，r 是顶部半径，

4、r是底部半径图1-3-7因此，L1 (r-r)=lr ，l1r-l1r-lr ，l2r l1r-l1r-l2r=lr ，l2r-l1r=(也就是说，s侧=rl2-r L1=l(r )=(c c )l四、圆柱、圆锥、桌子体积1.棱镜，圆柱体的体积。一般棱柱体积显示为V=Sh。其中s是底面面积，h是棱柱的高度，顶柱，直棱柱的高度是侧角长度。圆柱体的体积也是底部面积乘以高度。也就是V=Sh=r2h。棱锥体，圆锥体体积。棱锥体体积是圆柱体底部的体积，可以分解为三个高度相同的棱锥体，如图1-3-8所示。图1-3-8所以金字塔的体积是V=，圆锥也是V=r2h。棱镜和圆台体积。棱锥体和圆锥体的体积可以从从原

5、始圆锥体或棱锥体体积中剪切的圆锥体或棱锥体的体积中获得。V=。圆锥的体积也可以用V=(r2 Rr R2)表示。方法某些几何体由一些简单几何体(如柱、圆锥体、桌子等)的组合构成。解决组合体表面积和体积的关键在于掌握简单几何图形的体积公式，并将组合体分解为多个简单几何图形。探索问题问题1 .把柱子、圆锥体、平台的体积公式比较一下，就知道它们之间的联系了吗？从探索：运动的角度来看，柱、圆锥、平台的体积公式之间存在一定的联系，具体关系可以列为：如下所示问题2图1-3-9中的哪些展开图可以折叠为方块？图1-3-9图1-3-10看：长方体有6个面，一个图形可以折叠成长方体。本质上是查看长方体的侧面展开模式

6、是什么。很容易确认。只有a和c图符合要求。经典标题列问题示例1图1-3-11，侧aa1b水平放置时，直三角棱镜描述符有水，侧AA1=8，侧aa1b正好通过AC、BC、A1C1、B1C1的中点，如果基准ABC水平放置，那么标高高度是多少？图1-3-11想法分析：三角棱镜描述符中含有水，无论如何布置，水的体积都不变，因此建立关系就能解决问题。解决方案：如果将直棱柱的底面ABC面积设定为s，将高度设定为h，则h=8。如果水平放置侧AA1B1B，则直四棱柱的底部面积是直三棱柱的底部面积，因为水造型正好位于AC、BC、a1和B1C1的中点上方。也就是说，直线四棱柱的底部面积为h=6S。水平放置底部ABC

7、时，如果液面高度为h1，则v水=Sh1，Sh1=6S，因此h1=6、也就是说，如果底部ABC水平放置，则液体标高高度为6。方法该问题的实质是体积的等量变换，即等量变换，这是求体积的一般方法。第一，变换几何体的顶点和底面；第二种方法是分割原始几何图形，以找到几个小几何图形的总和。第三，改变几何图形的形状，但体积不变，如本例所示。示例2图1-3-12，圆台轴截面ABCD，ABCD，ACBD，e为垂直脚，BCD=75，BC=a，圆台侧面积。图1-3-12想法分析：需要饼图的侧面区域。您必须知道顶部、底部半径和总线(已知)。也就是说，AB和DC、已知AEB和DCE都是等腰直角三角形，BE和EC都可以解

8、决问题。解决方案：ad=BC，AC=BD，DC=CD，ADCBCD。BDC=ACD。ACBD，dec=90。BDC=ACD=45。Bcd=75，ACB=30。在RtBCE中，be=，ce=，ab=。顶部半径r=。同样，CD=。底部半径R=。圆形托架的侧面面积s= (r) l=。升华深化这一问题是圆台表面积公式的应用，通常将旋转体的表面积代入公式中直接求解。示例3图1-3-13，长度、宽度和高度分别为4厘米、2厘米和1厘米的纸盒。蚂蚁从a点出发，从纸盒表面上升到b点，运送食物，寻找蚂蚁行走的最短路径。图1-3-13想法分析：因为在立方体表面爬行，所以寻找立体图形的最短路径问题，经常转换为平面上的最短路径问题。如果蚂蚁在同一平面上展开爬行的两个面，则图1-3-13展开图，AB之间的最短路径是连接这两个点的直线段。解决方案：蚂蚁有三条从a点出发到b点的路径：(1)从a点出发，通过顶面前进，到达b点，在同一平面上展开这两个平面，则a和b之间的最短路径为链接AB。图1-3-14，AB是RtABC的斜边。根据毕达哥拉斯定理，ab2=ac2 BC 2=(1 2)2 42=25；(2)如图1-3-14所示，ab2=22(1 4)2=29；(3)从a点出发，经过上底面，进入右侧，到达b点，