河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学 第3章 函数的应用（2.1 几类不同增长的函数模型 第1课时）示范教案 新人教A版必修1（通用）

1、河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第3章 函数的应用-3.示范教案（2.1 几类不同增长的函数模型 第1课时）教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.恰当运用函数的三种表示方法(解

2、析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.重点难点教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点:应用函数模型解决简单问题.课时安排2课时教学过程第1课时 几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度f(n)=0.012n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n

3、(cm),f(20)105 m,g(20)=2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增长差异.推进新课新知探究提出问题如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.分别用表格、图象表示上述函数.指出它们属于哪种函数模型.讨论它们的单调性.比较它们的增长差异.另外还有哪种函数模型

4、.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.总价等于单价与数量的积.面积等于边长的平方.由特殊到一般，先求出经过1年、2年、.列表画出函数图象.引导学生回忆学过的函数模型.结合函数表格与图象讨论它们的单调性.让学生自己比较并体会.另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：y=x.y=x2.y=(1+5%)x,如下表x123456y=x123456y=x2149162536y=(1+5%)x1.051.011.161.221.281.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1

5、-1 图3-2-1-2 图3-2-1-3它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a0,抛物线型)，y=kax+b(指数型).从表格和图象得出它们都为增函数.在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择

6、哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(xN*)进行描述；方案三可以用函数y=0.42x-1(xN*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.8

7、0.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象(3-2-1-4).图3-2-1-4由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变

8、，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第13天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210180360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.

9、2818.8因此，投资16天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资810天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.课本把两种回报数都列表给出的意义何在？由此得出怎样结论.答案:选择哪种方案依据的是累积回报数.让我们体会每天回报数增长变化.上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月

10、内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的

11、自变量的值较大.解：(1)y1=500.4x(x0)，y2=0.6x(x0).(2)图象如图(3-2-1-5)所示.图3-2-1-5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.另解：当y1=200时有0.4x50=200,x1=375；当y2=200时有0.6x=200,x2=.显然375,选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函

12、数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不

13、会超过公司总的利润.于是只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(图3-2-1-6).图3-2-1-6观察函数的图象，在区间10,1 000上，模型y=0.25x,y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求.下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.

14、25x，它在区间10,1 000上递增，而且当x=20时，y=5,因此,当x20时，y5,所以该模型不符合要求；对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间10,1 000上递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log7x+1，它在区间10,1 000上递增，而且当x=1 000时，y=log71 000+14.555,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1 000时，是否有=0.25成立.图3217令f

15、(x)=log7x+1-0.25x,x10,1 000.利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)-0.316 70,即log7x+10.25x.所以当x10,1 000时，0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数).目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个.(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围.解：依题意，价格上涨x%后，销售总金额为y=a(1+x%)b(1-kx%)=-kx2+100(1-k)x+10 000.(1)取k=,y=(x

16、2+50x+10 000),所以x=50,即商品价格上涨50%，y最大为ab.(2)因为y=-kx2+100(1-k)x+10 000,此二次函数的开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在x|x0的一个子集内增大时，y也增大.所以0,解得0k1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置.设

17、加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位：小时，可不为整数).(1)写出g(x),h(x)解析式；(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意,知需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，216-x人.g(x)=,h(x)=,即g(x)=,h(x)= (0x216,xN*).(2)g(x)-h(x)=.0x0.当00,g(x)-h(x)0,g(x)h(x)；当87x216时,432-5x0

18、,g(x)-h(x)0,g(x)h(x).f(x)=(3)完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值.当0x86时，f(x)递减，f(x)f(86)=.f(x)min=f(86),此时216-x=130.当87x216时，f(x)递增.f(x)f(87)=.f(x)min=f(87),此时216-x=129,f(x)min=f(86)=f(87)=,加工G型装置，H型装置的人数分别为86，130或87，129.变式训练1.某农产品去年各季度的市场价格如下表：季度第一季度第二季度第三季度第四季度每吨售价(单位：元)195.52000.5204.5199.5今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平

19、衡价m”(平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加2x个百分点，(1)根据题中条件填空，m=_(元/吨)；(2)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(3)若要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围.解：(1)f(m)=(m-195.5)2+(m-200.5)2+(m-204.5)2+(m-199.5)2=4m2-1 600m+160 041,m=200.(2)降低税率后的税率为(10x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万吨，收购总金额为200a(1+2x%),故y=200a(1+2x%)(10-x)%=a(100+2x)(10-x)=a(100+2x)(10-x)(0x10).(3)原计划税收为200a10%=20a(万元)，依题意得a(100+2x)(10-x)20a83.2%,即x2+40x-840.解得-42x2.又0x10,0x2.x的取值范围是0x2.2.假设国家收购某种农产品的价格是1