四川省宜宾市第三中学高中数学 专题讲义之函数的单调性与奇偶性 新人教A版必修1（通用）

1、四川省宜宾市第三中学高中数学 专题讲义之函数的单调性与奇偶性 新人教A版必修1【知识点精析】一、函数的单调性 1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值，当时，都有 或都有 ，那么就说在这个区间上是增函数（或减函数）。如果函数在某个区间上是增函数（或减函数），就说在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做的单调区间。如函数是增函数则称区间为 区间，如函数为减函数则称区间为 区间。 2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数，函数图象如从 向 连续 ，则称函数在该区间上单调 ，函数图象如从 向 连续 ，则称函数

2、在该区间上单调 。（2）定性刻画：对于给定区间上的函数，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上 ，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上 。（3）定量刻画，即定义。上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径。二、函数奇偶性 1. 奇函数：对于函数的定义域内任意一个x，都有 或 ，则称为奇函数。 2. 偶函数：对于函数的定义域内任意一个x，都有 或 ，则称为偶函数。 3. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。（2）奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称。（3）若奇函数的定义域包含数

3、0，则 。（4）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和。即：三、几个重要的结论（解题的方法技巧）1.注意定义的如下两种等价形式： 设，那么（1）在上是 函数；在上是 函数；（2）在上是 函数；在上是 函数。2.判断函数单调性的常用方法：（1）定义法；（用于证明）（2）两个增（减）函数的和仍为 函数；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是 函数；（3）奇函数在对称的两个区间上有 的单调性，偶函数在对称的两个区间上有 的单调性；（4）如果在区间D上是增（减）函数，那么在D的任一子区间上也是增（减）函数； （5）如果和单调性相同，那么是 函数；如果和单调性相反，那么是 函数（

4、简而言之：同增异减）。 注意：（1）函数的奇偶性是对整个定义域而言的，是函数的整体性质；函数的单调性是对整个定义域或其子区间而言的，是函数的局部性质，要注意将两者结合起来研究函数的有关应用。 （2）奇函数在时有定义，则（3）在公共定义域上，两奇函数之积（或商）为_函数；两偶函数之积（或商）为_函数；一奇一偶函数之积（或商）为_函数。（奇奇）为_。（偶偶）为_。【实战演练】一、选择题。1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()Ayx3，xR By，xR Cyx，xR Dyx，xR定义在R上的偶函数满足：对任意的，有.则（ ）(A) (B) (C) (D) 3. 已知在区间上是增函数

5、，则的范围是（ ）A B C D 4. 已知函数（）Ab Bb C D下列说法正确的是()A函数y是奇函数，且在定义域内为减函数B函数yx3(x1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C函数yx2是偶函数，且在(3,0)上为减函数D函数yax2c(ac0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数6奇函数f(x)在区间3,7上是增函数，在区间3,6上的最大值为8，最小值为1，则2f(6)f(3)的值为()A10B10C15 D157. 已知函数，则的奇偶性依次为A 偶函数，奇函数 B 奇函数，偶函数 C 偶函数，偶函数 D 奇函数，奇函数8.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f

6、(2)()A1B. C1 D9.已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则( ).A. B. C. D. 10已知函数，其中log2f(x)=2x，xR，则g(x)是（ ）A奇函数又是减函数 B偶函数又是增函数 C奇函数又是增函数 D偶函数又是减函数11已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有 ，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 12定义在区间(-,+)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间0,+)的图象与f(x)的图象重合.设ab0,给出下列不等式f(b)-f(-a)g(a)-g(-b);f(b)-f(-a)g(b)-g(-a);f(a)-f(-b)1b0)(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在(1，)上递增且恒取正值，求a，b满足的关系式19 已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：（1）函数是上的减函数；（2）函数是奇函数 20. 已知奇函数f(x)是定义在(3，3)上的减函数，且满足不等式f(x3)+f(3x1)0,设不等式解集为A，B=Ax|1x,求函数g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值.21设函数.(1)确定函数f (x)的定义域；(2)判断函