粗糙集基本概念

1、一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识面对日益增长的数据库，人们将如何从这些浩瀚的数据中找出有用的知识？我们如何将所学到的知识去粗取精？什么是对事物的粗线条描述什么是细线条描述？粗糙集合论回答了上面的这些问题。要想了解粗糙集合论的思想，我们先要了解一下什么叫做知识？假设有8个积木构成了一个集合A，我们记：A=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8，每个积木块都有颜色属性，按照颜色的不同，我们能够把这堆积木分成R1=红，黄，兰三个大类，那么所有红颜色的积木构成集合X1=x1,x2,x6，黄颜色的积木构成集合X2=x3,x4，兰颜色的积木构成集合X3=x5,x7,x8。按照颜色这

2、个属性我们就把积木集合A进行了一个划分(所谓A的划分就是指对于A中的任意一个元素必然属于且仅属于一个分类），那么我们就说颜色属性就是一种知识。在这个例子中我们不难看到，一种对集合A的划分就对应着关于A中元素的一个知识，假如还有其他的属性，比如还有形状R2=三角,方块,圆形，大小R3=大,中,小，这样加上R1属性对A构成的划分分别为：A/R1=X1,X2,X3=x1,x2,x6,x3,x4,x5,x7,x8（颜色分类）A/R2=Y1,Y2,Y3=x1,x2,x5,x8,x3,x4,x6,x7（形状分类）A/R3=Z1,Z2,Z3=x1,x2,x5,x6,x8,x3,x4,x7（大小分类）上面这些

3、所有的分类合在一起就形成了一个基本的知识库。那么这个基本知识库能表示什么概念呢？除了红的x1,x2,x6、大的x1,x2,x5、三角形的x1,x2这样的概念以外还可以表达例如大的且是三角形的x1,x2,x5x1,x2=x1,x2，大三角x1,x2,x5x1,x2=x1,x2，兰色的小的圆形(x5,x7,x8x3,x4,x7x3,x4,x6,x7=x7，兰色的或者中的积木x5,x7,x8x6,x8=x5,x6,x7,x8。而类似这样的概念可以通过求交运算得到，比如X1与Y1的交就表示红色的三角形。所有的这些能够用交、并表示的概念以及加上上面的三个基本知识(A/R1,A/R2.A/R3)一起就构成

4、了一个知识系统记为R=R1R2R3，它所决定的所有知识是A/R=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8以及A/R中集合的并。下面考虑近似这个概念。假设给定了一个A上的子集合X=x2,x5,x7，那么用我们的知识库中的知识应该怎样描述它呢？红色的三角？*的大圆？都不是，无论是单属性知识还是由几个知识进行交、并运算合成的知识，都不能得到这个新的集合X，于是我们只好用我们已有的知识去近似它。也就是在所有的现有知识里面找出跟他最像的两个一个作为下近似，一个作为上近似。于是我们选择了“兰色的大方块或者兰色的小圆形”这个概念：x5,x7作为X的下近似。选择“三角形或者兰色的”x1,x2,x5,x7

5、,x8作为它的上近似，值得注意的是，下近似集是在那些所有的包含于X的知识库中的集合中求并得到的，而上近似则是将那些包含X的知识库中的集合求并得到的。一般的，我们可以用下面的图来表示上、下近似的概念。这其中蓝色曲线围的区域是X的区域，紫色曲线围的部分是内部参考消息，是下近似，红色曲线围的内部部分就是上近似集。其中各个小方块可以被看成是论域上的知识系统所构成的所有划分。整个粗集理论的核心就是上面说的有关知识、集合的划分、近似集合等等概念。下面我们讨论一下关于粗糙集在数据库中数据挖掘的应用问题。考虑一个数据库中的二维表如下：可以看出，这个表就是上面的那个例子的二维表格体现，而最后一列是我们的决策属性

6、，也就是说评价什么样的积木稳定。这个表中的每一行表示了类似这样的信息：红色的大三角积木稳定，*的小圆形不稳定等等。我们可以把所有的记录看成是论域A=x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8，任意一个列表示一个属性构成了对论域的元素上的一个划分，在划分的每一个类中都具有相同的属性。而属性可以分成两大类，一类叫做条件属性：颜色、形状、大小都是，另一类叫做决策属性：最后一列的是否稳定？下面我们考虑，对于决策属性来说是否所有的条件属性都是有用的呢？考虑所有决策属性是“稳定”的集合x1,x2,x5，它在知识系统A/R中的上、下近似都是x1,x2,x5本身，“不稳定”的集合x3,x4,x6,x7,x

7、8，在知识系统A/R中的上、下近似也都是x3,x4,x6,x7,x8它本身。说明该知识库能够对这个概念进行很好的描述。下面考虑是否所有的基本知识：颜色、形状、大小都是必要的？如果我们把这个集合在知识系统中去掉颜色这个基本知识，那么知识系统变成A/(R-R1)=x1,x2,x3,x4,x7,x5,x6,x8以及这些子集的并集。如果用这个新的知识系统表达“稳定”概念得到上下近似仍旧都是：x1,x2,x5，“不稳定”概念的上下近似也还是x3,x4,x6,x7,x8，由此看出去掉颜色属性我们表达稳定性的知识不会有变化，所以说颜色属性是多余的可以删除。如果再考虑是否能去掉大小属性呢？这个时候知识系统就变

8、为：A/(R-R1-R3)=A/R2=x1,x2,x5,x8,x3,x4,x6,x7。同样考虑“稳定”在知识系统A/R2中的上下近似分别为：x1,x2和x1,x2,x5,x8，已经和原来知识系统中的上下近似不一样了，同样考虑“不稳定”的近似表示也变化了，所以删除属性“大小”是对知识表示有影响的故而不能去掉。同样的讨论对于“形状”属性也一样，它是不能去掉的。最后我们得到化简后的知识库R2,R3，从而能得到下面的决策规则：大三角-稳定，大方块-稳定，小圆-不稳定，中圆-不稳定，中方块-不稳定，利用粗集的理论还可以对这些规则进一步化简得到：大-稳定，圆-不稳定，中方块-不稳定。这就是上面这个数据表所包含的真正有用的知识，而这些知识都是从数据库有粗糙集方法自动学习得到的。因此，粗糙集是数据库中数据挖掘的有效方法。从上面这个例子中我们不难看出，实际上我们只要