第10章 重积分

1、第十章 重积分内容概要名称主要内容二重积分定义性质 计算法利用直角坐标计算把D写成X型区域把D写成Y型区域利用极坐标计算三重积分利用直角坐标计算投影法(针刺法、先一后二法)截面法(切片法、先二后一法)利用柱面坐标计算利用球面坐标计算应用求立体的体积、求曲面的面积、求质量、重心、转动惯量等课后习题全解习题10-11.设有一平面薄板（不计其厚度），占有面上的闭区域，薄板上分布着面密度为的电荷，且在上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷.解：将任意分割成个小区域，在第个小区域上任取一点，由于在上连续和很小，所以用作为上各点函数值的近似值，则上的电荷从而该板上的全部电荷其中是各中的最大直径。2.利用

2、二重积分定义证明：（1）（为区域的面积）；（2）（其中为常数）；（3），其中, 为两个无公共内点的闭区域。证明：（1）这里，被积函数，由二重积分的定义，对任意分割和取点法，其中是各中的最大直径。 （2）（3）将任意分割成个小区域，是其各小区域的最大直径，将任意分割成个小区域，有类似的意义。记，于是对应区域就分成了个区域，当时，有且，因为, 无公共内点，将以上分割反过来处理：先将分割为个区域，此分割在上的部分为，个小区域。于是当在上可积时，便可如下推出在上可积（或反过来也一样），且有3.判断积分的符号解：由于，所以，且当时，于是4.判断下列积分值的大小：，其中由，围成，则之间的大小顺序为（ ）A

3、. B. C. D. 解：因为被比较积分的积分区域相同，故可从被积函数来判断，在区域上，当时，从而当时，其中的只有在边界处才可能取到所以，故应选C.5.估计下列二重积分的值：（1）,其中是矩形闭区域，；（2）,其中是圆形闭区域；解：（1），（2）圆形闭区域的面积为，在中，即，即6.试用二重积分性质证明不等式，其中：，.证明：当时，由重积分的性质即得，证毕。7.计算，其中由中心在原点，半径为的圆所围成。解： 在上连续，由二重积分的中值定理知，在内至少存在一点，使得，于是有1习题10-21.计算下列二重积分：(1) ，其中：，;(2) ，其中闭区域由坐标轴与所围成;(3)，其中：，;(4) ，其中

4、：，.解：(1) =而，所求(2)积分区域：， 所求(3) =1(4) =+其中=所求2.画出积分区域，并计算下列二重积分：(1)，其中:(2) ，其中是由，所围成的区域(3) ，其中是以，为顶点的三角形闭区域(4) ，其中是由，所围成的区域解：(1)所求= =(2)所求=(3)所求=(4)所求(和书上答案不一样)3.改变下列二次积分的积分次序：(1);(2) ;(3) ;(4) ;(5) 解：(1)原式(2)由二次积分的积分限有，改变积分次序后积分限为，所以，原式(3)积分区域D：，可改写为，所以，原式(4)由二次积分的积分限，画出积分区域可改写为 所以，原式(5)由二次积分的积分限画出积分

5、区域知原式4. 设是由不等式所确定的有界闭区域，求二重积分解：由对称性0+所以5.求证证明：画出积分区域知左边6.如果二重积分的被积函数是两个函数和的乘积，即，积分区域，证明证明：7.设平面薄片所占的闭区域由直线，和轴所围成，它的面密度，求该薄片的质量。解：设该薄片的质量为,则质量元素8.求曲线所围成的平面图形的面积。该曲线所围成的区域为:，故所求面积令，则， 00=9.用二重积分表示由曲面，所围成的立体的体积。解：将所围立体视为以平面为顶，以面上的圆为底的曲顶柱体，根据二重积分的几何意义，所求的体积为10.求由曲面，所围成的立体的体积。解：由于所围立体的底部为区域:，顶部是旋转抛物面，所以所

6、求体积11.求由曲面和所围成的立体的体积。解：该立体的上顶面为，下顶面为两曲面的交线为，故交线所围平面区域为平面上的圆域，令，则， 00=习题10-31.化二重积分为极坐标形式的二次积分，其中积分区域为（1） （2） （3）解：（1）积分区域为圆域，故 （2）积分区域为环域，故（3）积分区域为圆心在，半径为1的圆域，故2.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分（1） （2） （3）解：（1）画出积分区域草图知（2）（3）3.利用极坐标计算下列二重积分：（1），其中是由所围成的闭区域。（2），其中是由与轴所围成的上半部分闭区域。（3），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。（4），其中

7、是由，所围成的在第一象限内的闭区域。解：（1）（2）画出积分区域的草图知：，上半圆的极坐标方程为，所以所求（3）所求（4）经极坐标变换，边界曲线方程为，故所求4.选用适当的坐标计算下列各题：（1），其中是由与所围成的闭区域。（2），其中是由圆周，及所围成的闭区域。（3），其中：，（4），其中是由圆周与坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域。（5），其中：，解：（1）利用极坐标计算。抛物线的极坐标方程为即，所求（2）本题用直角坐标计算比较简单。积分区域可表示为，故所求（3）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，故所求（4）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，可表示为，故所求令，则， 0101

8、所求（5）画出积分区域的草图，采用极坐标计算，所求5.求区域的体积,其中由，所围成。解：注意到曲面在第一、三象限时位于面的上方，在第二、四象限时位于面的下方。曲面在面上的投影区域为：，故所求体积为6.求球体与所围公共部分的体积。解：因为两球面的交线为，所以两球体公共部分在面上的投影区域为：，故=7.设均匀薄片所占的闭区域由，所围成，求此薄片的重心。解：不妨设该薄片的面密度为1，则该薄片的质量=静矩=重心坐标，即重心在点8.设半径为1的半圆形薄片上各点处的面密度等于该点到圆心的距离，求此半圆的重心坐标及关于轴（直径边）的转动惯量。解：依题意，面密度。由对称性知，重心必在轴，即，故只需计算。=。所

9、以即重心坐标为对于轴的转动惯量为=。9.设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域由抛物线与直线所围成，求和解：=10.设有一由，及所围成的均匀薄片（密度为1），问此薄片绕哪一条垂直于轴的直线旋转时转动惯量最小？解：令0，得由于所以当时最小。11.计算，其中为椭圆形闭区域：解：作广义极坐标变换，则被积函数。区域：化为，即:，而=所以，原式12.计算解：由对称性知,所以，原式作变换则1由对称性知所以，所求13.计算重积分，其中是由直线，和所围成。解：作变换，则被积函数。区域化为：，而=所以，原式14.进行适当的变量代换，化二重积分为单积分，其中为由曲线，所围成的闭区域。解：作变换，则，化为：，而=所

10、以，所求15.作适当的变换，证明等式，其中闭区域:解：画出积分区域的草图，并结合被积函数的形式，作变换，即，区域化为：，而=，所以所求习题10-41.化三重积分为三次积分，其中积分区域分别是：（1） 由，所围成的闭区域；（2） 由六个平面，所围成的闭区域；（3） 由曲面及所围成的闭区域。解：（1）想像的形状，可把表示为，所以，（2）画出积分区域的草图，可知区域介于平面与之间，且，在面上的投影区域为：，所以（3）不难求得两曲面的交线在面上的投影为，在面上的投影区域为：，所以2.设有一物体，占有空间闭区域：，在点处的密度为，计算该物体的质量。解：该物体的质量=183.设积分区域：，证明：证明：左边

11、右边4.计算，其中是由曲面，所围成的区域。解：根据题意，积分区域可表示为：，所以5.计算，其中是由，和所围成的四面体。解：在面上的投影区域为：，于是所求6.计算，其中是由，所围成的区域。解：由消去，得，区域可分成两个区域和，：，；：，。所求+(和书上答案不一样)7.计算，其中：解：被积函数仅为的函数，截面为圆域：，故采用“先二后一”法8.设在上可积，试证，其中是由球面围成的空间闭区域。解：（法一）直接在空间直角坐标系中计算（法二）将球域分割成许多平行于面的小薄片，设第片的竖坐标为，厚度为，该片在面上的投影区域记为，在极坐标系下计算该三重积分：9.计算，其中为圆绕轴旋转一周所生成的空间环形闭区域

12、。解：所求习题10-51.利用柱面坐标计算三重积分，其中积分区域由曲面及所围成（在抛物面内的那一部分）解：画出积分区域的草图，经柱面坐标变换，上曲面方程为，即，下曲面方程为，即。故：， 2.利用柱面坐标计算三重积分，其中积分区域由曲面及所围成的闭区域。解：和的交线是平面上的圆，故在面上的投影区域为：，利用柱坐标得所求3.利用球面坐标计算三重积分，其中由所围成的闭区域。解：在面上的投影区域为：，利用球面坐标得所求4.利用球面坐标计算三重积分，其中：，解：画出积分区域的草图，：，所求5.计算，其中由柱面及平面，所围成的在第一卦限内的闭区域。解：易知宜采用柱面坐标计算，在面上的投影为位于第一卦限的个

13、单位圆，于是，所求6.计算，其中由平面，与圆柱面所围成的闭区域。解：在面上的投影为:,而当时，易证所以平面位于平面的上方，采用柱坐标，7.，其中是由所围成的闭区域。解：利用球面坐标，题设球面方程可化为，它位于面的上方，且与面相切，故，所求8.计算，其中是由曲线，绕轴旋转一周而成的曲面与两平面，所围成的立体。解：曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为，由于积分域在面上的投影域的两个不同的部分：，：其中任一点所作平行于轴的直线与围成的不同曲线相交，故原积分应视为柱坐标下两个不同的三重积分之和，即=+9.计算，其中是两个球，所围成的闭区域。解：利用柱坐标，=10.计算，其中是由椭球面所围成的区域。解

14、:令，则，故有所求11.求由曲面及所围立体的体积。解：利用柱坐标计算，积分区域的上半曲面是抛物面，下方是开口向上的锥面，由又两曲面的交线为消得即，故在面上的投影区域为圆域：于是所求12.曲面将球分成两部分，求这两部分的体积比。解：球面方程，球体体积，题设曲面与球面的交线在面上的投影区域为，球面的下部与曲面之间的体积为球面的上部与曲面之间的体积-=所以：13.计算密度函数为的立体的质量，这里是由球面与锥面所围成的区域（锥面的内部）解：由题意知，用球面坐标表示积分区域，有：,，于是14.球心在圆点，半径为的球体，在其上任意一点的密度的大小与该点到球心的距离成正比，求该球体的质量。解：密度函数，是比

15、例系数，质量元素，所求的质量，由于是球体，故宜采用球面坐标，=15.利用三重积分求由曲面，所围成的立体的重心（设密度）。解：这是一个锥体，由对称性易知，利用柱坐标计算，投影区域:及，即，于是静矩，故重心坐标为16.球体内，各点处的密度的大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求该球体的重心。解：由于此球体关于，坐标面对称，所以，下面求。为球体，用球坐标计算三重积分，将球坐标代入球面方程，得，又易见，所以静矩=，故该球体的重心坐标为17.一均匀物体（密度为常量）占有的闭区域由曲面和平面，所围成，（1）求物体的重心；（2）求物体关于轴的转动惯量。解：（1）由为常量和物体关于，坐标面对称知，所以物体的重

16、心坐标为（2）18.设有半径为的均匀球体（ ），球外一点放置一单位质点，试求球体对该质点的引力。解:设球心为原点，建立直角坐标系，使点在轴上，坐标为，由对称性知，=故所求引力=，其中为球的质量，为引力常数，上式负号表示引力的方向与轴的正方向相反。总习题十1.计算下列二重积分：（1），其中是由，及所围成的区域。（2），其中是由，及所围成的在轴上方的区域。（3），其中：，（4）（），其中是由圆心在点，半径为且与坐标轴相切的圆周的较短的一段弧和坐标轴所围成的区域。解：（1）视为型区域，（2）视为型区域，积分区域关于轴对称，且被积函数满足，故由对称性知（3）画出积分区域的草图，从的形状来看，似乎应先对

17、积分，但从被积函数来看，这样会对第二次积分带来困难，故选择先对积分，易知题设两曲线的交点为+-（4） 解:圆的方程为，区域的边界所涉及的圆弧为，所以注：本题的积分域涉及圆，虽可以考虑使用极坐标系，但这段圆弧的极坐标表达式并不简单，同时被积函数化为极坐标后也会增加难度，所以使用直角坐标系较为简单。2.改变下列二次积分的积分次序：（1）（2）（）解：（1）积分区域：，其中：，：，所以+（2）积分区域：，将分成、及三部分，：，：，：，故+3.计算下列二次积分：（1）（2）解：（1）因为，与的原函数都不是初等函数，所以不能先对积分，必须交换积分顺序，积分区域如图，+1-+-1-（2）原式4.设在上连续

18、，并设，求解：因为不能直接积出，所以应该改变积分次序，令则原式，故+所以5.证明证明：由等式左端，易画出积分区域的草图，交换积分次序得左边右边。6. 设在区间上连续，证明 证明：左边，其中：，由于，所以=，由此即可推出左边右边。7.已知函数的三阶导数连续，且，求解：所求68.计算解：积分区域是，显然关于轴、轴、原点对称，所以0，又，故所求9.计算二重积分解：（法一）用极坐标计算所求（法二）作变换，则所求（法三）本题一个简单解法是：由，的轮换对称性知，所求，而均匀圆板：的质心为圆心：，但,所以，故所求10.计算，其中是由曲线，与轴所围成的在右上方区域的部分。解：选用极坐标，所涉及的两个圆的极坐标

19、方程为和，交点的极坐标为，则11. 计算=，其中是由，所围成的平面区域。解：注意到被积函数在直角坐标系下不能用有限形式表示，但，故积分有可能在极坐标系下算出，直线的极坐标方程为，故所求12.计算=，其中，由，和所围成。解：画出积分区域的草图，结合被积函数的表达式，将分成三个部分，在上，所以0，因此=+13.计算=，其中：解:为去掉被积函数的绝对值，将积分区域分成如下两个部分: ,: ,则=+2=+=+=+=+=+14. 计算=，其中是由直线，所围成。解：=，划分积分区域以去掉绝对值=+-15.设，证明证明：化成二重积分证明，记=，由不等式,有左边的面积16.计算以面上的由圆周所围成的闭区域为底

20、，以曲面为顶的曲顶柱体的体积。解：将底：用极坐标表示,利用积分区域和被积函数的对称性，所求体积17.在均匀半圆形薄片的直径上，要接上一个一边与直径等长的均匀矩形薄片，为了使整个均匀薄片的重心恰好落在圆心上，问接上去的均匀矩形薄片另一边的长度应是多少？解：设旁接矩形的宽度为，建立如图坐标系，由于要求拼接的平面块形的重心在圆心（坐标原点），故平面块对轴的静力矩应为0，即有关系式。+由此推出18.密度均匀的平面薄片，由曲线，（可变）所围成，求该可变面积平面薄片的重心轨迹。解：=，于是，这是可变面积平面薄片重心的参数方程，消去参数，即得重心的直角坐标系下方程为，仍是一条抛物线。19.已知均匀矩形板（面

21、密度为常数）的长和宽分别为和，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。解：取形心为圆点，两条坐标轴分别平行于矩形的两边，则矩形为。其中为矩形板的质量20.求由及直线（）所围成的图形对直线的转动惯量（密度1）解：（法一）（法二）先作平移变换，则区域变成了，由和围成。21.试证其中闭区域:，且证：令，为了便于解出对称的和并便于计算，不妨再令，则，由:有所以也为单位圆域，故所求右边。22.计算，其中是由平面与三个坐标面围成。解：由积分区域和被积函数对三个变量的轮换对称性得故所求323.计算，其中由，以及所围成。解：易知在面上的投影区域：，因此所求24.计算，其中是由锥面与平面（）

22、所围成的闭区域。解：将锥面与平面的方程联立，消去，得投影柱面的方程,即，故在面上的投影区域：,，于是所求（令）25.交换下列积分的积分顺序:= 改换成先对最后对的积分顺序。解：交换三重积分的积分顺序，可分两步走，其中的每一步均是二重积分交换积分顺序的问题，对本题，第一步，交换与的次序；第二步，交换与的次序，就会得到以的顺序的累次积分。对第一步，其积分区域：，所以= ，对第二步，其积分区域：，所以=+26. 计算= ，其中：，解：为了消去被积函数里的绝对值号，用曲面把分成上下两个部分，、，作柱面坐标变换得：，：，=+27.计算，其中是由，所围成。解：由于关于坐标面、坐标面均对称，故0，于是，所求

23、28.计算，其中是由及所围成的闭区域。解：为锥体，宜用柱面坐标计算，将代入锥面方程，得两曲面的交线：（），故在坐标面上的投影区域：又由曲面方程知，所以所求29. 计算，其中由与所围成。解：由于关于坐标面对称，且被积函数是的奇函数，故0所求30.计算，其中由所围成。解：利用广义球坐标变换，令， （1）则=将变换式（1）代入题设曲线的方程，得，于是但变换式（1）本身须限定于是应取，又中的变化范围与无关，故应取，变换后积分区域为，所以所求31.计算，其中：解：由于积分区域关于坐标面、坐标面均对称，故所求因此可应用球坐标进行计算，球面的球坐标方程为，故在球坐标下可表示为：，所求32.设函数具有连续的导

24、数，且，试求解：所求33.证明：证：从改变积分次序入手。，所以左边右边34.设函数在上连续，且满足，求。解：从积分区域和被积函数的形式可见宜选极坐标计算。两边求导得，所以边积分得，又由题设条件知代入上式得,故35.求由曲面及所围成的立体的体积。解：由上半球面与向上的抛物面所围成，利用柱坐标计算。两曲面的交线为（），故在面上的投影区域为：（）从而，将柱坐标变换，代入所以所求的体积36.求由曲面所围立体的体积。解：观察曲面方程，宜用球坐标计算，将变换式代入曲面方程得，由，而仅含平方项，故所求体积为第一卦限部分体积的4倍，因此37.设有一物体，由圆锥以及与这一锥体共底的半球拼成，而锥的高等于它的底半

25、径，求该物体关于对称轴的转动惯量（）解：选球心为坐标原点，对称轴取作轴，半球面与锥面方程分别为，半球关于轴的转动惯量为=锥体关于轴的转动惯量为=所以该物体关于对称轴的转动惯量=+=38.一个由曲面与（）围成的漏斗盛满液体，斗内任一点处液体的密度为（），求斗中液体的质量解：设为曲面与所围成的区域，则39.求密度均匀的圆柱体对其底面中心处单位质点的引力。解：设圆柱底半径为,高为,以中心轴为轴，底面为面建立空间直角坐标系，则所求引力为柱体对原点处单位质点的引力，设引力，显然，取中是圆柱体，是圆柱中任一点处小体积元素到原点（单位质点）的距离，为和的夹角，于是（利用柱坐标计算）引力方向同轴正向（,）考研真题1.（2000年数学一）设有一半径为的球体,是此球体的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到的距离的平方成正比（比例常数），求球体的重心的位置。解：记所考虑的球体为，以的球心为原点，射线为正轴建立直角坐标系，则点的坐标为，球面的方程为，设的重心位置为，由对称性得，而+=+=所以的重心位置为注：本题也可将定点设为原点，球心为,射线为正轴建立直角坐标系，则球面的方程为，采用如上方法可求出重心位置在2.（2002年数学一）计算，其中解：设，则所求+3.（2003年数学一）设函数连续且恒大于零，其中=, =(1) 讨论在区间内的单调性；(2) 证明：当时，（1） 解：显然在上，