圆与方程基本题型

1、圆与方程基本题型基本题型类型一：圆的方程例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为圆心在上，故圆的方程为又该圆过、两点解之得：，所以所求圆的方程为解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即又知圆心在直线上，故圆心坐标为半径故所求圆的方程

2、为又点到圆心的距离为点在圆外类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例6 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程分析：首先求、两点的坐标，再用两点式求直线的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧解：设两圆、的任一交点坐标为，则有：得：、的坐标满足方程方程是过、两点的直线方程又过、两点的直线是唯一的两圆、的公共弦所在直线的方程为2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为 解：设直线方程为，即.圆方程可化为，圆心为（2，-1），半径为.依题意有，解得或，直线方程为或.类型三：弦长、弧问题例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为 解：依题意得，弦心距，故弦长，

3、从而OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.类型四：直线与圆的位置关系例12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：曲线表示半圆，利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.类型五：圆与圆的位置关系例15：圆和圆的公切线共有 条。解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，.，两圆相交.共有2条公切线。类型六：圆中的最值问题例18：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是 解：圆的圆心为（2，2），半径，圆心到直线的距离，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.（一） 直击高考题一、选择题1.（辽宁理，4）已知圆C与直线xy=0 及xy4=0都相切，圆心在直线x

4、+y=0上，则圆C的方程为A. B. C. D. 【解析】圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.【答案】B2.（重庆理，1）直线与圆的位置关系为（ ）A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。【答案】B3.（重庆文，1）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）A B CD解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于

5、圆心在轴上，排除C。【答案】A4.（上海文，17）点P（4，2）与圆上任一点连续的中点轨迹方程是（ ）A. B.C.D.【解析】设圆上任一点为Q（s，t），PQ的中点为A（x，y），则，解得：，代入圆方程，得（2x4）2（2y2）24，整理，得：【答案】A5. （上海文，15）已知直线平行，则k得值是（ ） A. 1或3 B.1或5 C.3或5 D.1或2 【解析】当k3时，两直线平行，当k3时，由两直线平行，斜率相等，得：k3，解得：k5，故选C。【答案】C7.（陕西理，4）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为A. B.2 C. D.2 【答案】D二、填空题8. （广东文，13）以点（2

6、，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为 【答案】9.（天津理，13）设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_ 【解析】由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。【答案】13.（全国文15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。【答案】 三、解答题16.（2009江苏卷18）（本小题满分16分） 在平面直角坐标系中，已知圆和圆.（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。解 (1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得： 化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标