北师大版初一(上)数学讲义第一章：丰富的图形世界

1、第一章：丰富的图形世界1.1生活中的立体图形1生活中常见的立体图形(1)常见的立体图形和对应的几何体图(1)是生活中几种常见的实物图形，其对应的几何体如图(2)所示 图(1) 图(2)生活中蕴含着大量的几何图形，这些几何图形可以抽象为几何体。常见的几何体有长方体、正方体、圆柱、圆锥、球和棱柱等注意：棱锥也是一种常见的几何体如上面的最后一图(2)几何体的组成几何体是由平面或曲面围成的立体图形如果围成的面都是平的，叫做多面体【例1】下列图形中，上面一行是一些具体的实物图形，下面一行是一些几何体，试用线连接几何体和类似的实物图形2几何图形的构成(1)几何图形的构成几何图形包括立体图形和平面图形，几何

2、图形是由点、线、面构成的面有平面和曲面，面不分厚薄；线有直线和曲线，线不分粗细面与面相交得到线，线与线相交得到点，点不分大小(2)点、线、面的关系从运动的角度看，点动成线，线动成面，面动成体例如，把笔尖看做一个点，笔尖在纸上移动就能形成一条线，即点动成线点动成线的实例还有：流星划过天空、粉笔在黑板上划动、保龄球滚动过的路线等钟表的分针旋转一周形成一个圆面，即线动成面线动成面的实例还有：汽车上的雨刷扫过玻璃窗、用刷子涂油漆等长方形绕它的一边旋转一周就能形成一个圆柱，即面动成体面动成体的实例还有：以三角形的一边为轴旋转一周形成的几何体等【例2】如图所示的立体图形，是由_个面组成的，其中有_个平面，

3、有_个曲面；面与面相交成_条线，其中曲线有_条点技巧 线与面的数法对于几何体，面与面相交得到线，线与线相交得到点在数面时可先数底面，再数侧面；数线时，可先数底面与侧面相交成的线，再数侧面与侧面相交成的线3立体图形的识别几何图形的特征：(1)圆柱：两个底面是等圆，侧面是曲面如八宝粥盒、茶杯等(2)圆锥：底面是圆，侧面是曲面像锥子如烟囱帽、铅锤、漏斗等(3)长方体：有6个面，底面是长方形，相对的两个面平行且完全相同如砖、文具盒等(4)正方体：6个面是大小完全相同的正方形如魔方等(5)棱柱：所有侧棱长都相等，底面是多边形，上、下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形(6)球：由一个曲面组成，圆圆的

4、如足球、乒乓球等(7)棱锥：一个面是多边形，其余各面是一个有公共顶点的三角形多边形的面称为棱锥的底面，其余各面称为棱锥的侧面根据底面的边数可将棱锥分为三棱锥、四棱锥谈重点： 从哪几个方面认识几何体的特征？有几个面围成，是平面还是曲面；有无顶点，有几个顶点；侧面是平面还是曲面；底面是什么形状，是多边形还是圆，有几个底面等【例31】请在每个几何体下面写出它们的名称【例32】如图，在下面四个物体中，最接近圆柱的是( )4.几何体的分类(1)几何体按柱、锥、球的特征分为：(2)按围成的面分为：分类是数学中的基本方法，在分类时要统一标准，做到不重不漏【例41】在粉笔盒、三棱镜、乒乓球、易拉罐瓶、书本、热

5、水瓶胆等物体中，形状类似于棱柱的有( )A1个 B2个C3个 D4个【例42】将下列几何体分类，并说明理由5几何体的形成(1)长方形绕其一边所在直线旋转一周得到圆柱；(2)直角三角形绕其一条直角边所在直线旋转一周得到圆锥；(3)半圆绕其直径所在直线旋转一周得到球体释疑点 旋转体的形成平面图形旋转会形成几何体；平面图形绕某一直线旋转一周才可以形成几何体；由平面图形旋转而得到的几何体有：圆柱、圆锥、球以及它们的组合体【例5】我们曾学过圆柱的体积计算公式：VShR2h(R是圆柱底面半径，h为圆柱的高)，现有一个长方形，长为2 cm，宽为1 cm，以它的一边所在的直线为轴旋转一周，得到的几何体的体积是

6、多少？6. 简单多面体定义：由若干个平面多边形围成的几何体叫多面体。正多面体：各条棱相等，各个面是相同的正多边形，如图，这些几何体分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。注意：正多面体只有上述的五种，正多面体的面（正多边形）只有三种：正三角形、正方形、正五边形。请数一数每一种几何体的顶点数（V）、棱数（E）、和面数（）。计算，你发现了什么？多面体中：顶点数（V）、棱数（E）、和面数（）。=2，这就是著名的欧拉公式。【例6-1】一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ；【例6-2】某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形

7、拼接而成的，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱。设该多面体外表面三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值。【例6-3】有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，求正五边形、正六边形的个数。1.2展开与折叠1棱柱的表面展开图棱柱是由两个完全相同的多边形底面和一些长方形侧面围成的沿棱柱表面不同的棱剪开就可以得到不同的表面展开图如图是棱柱的一种展开图棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(底面)和几个长方形(侧面)【例1】如图，请你在横线上写出哪种立体图形的表面能展开成下面的图形解析：(1)三棱柱两个底面是三角形(2)六棱柱两个底面是六边形(3)长方

8、体两个底面是长方形(4)三棱柱两个底面是三角形答案：三棱柱 六棱柱 长方体 三棱柱2圆柱、圆锥的表面展开图(1)圆柱的表面展开图沿着圆柱的一条高把圆柱剪开，就得到圆柱的表面展开图圆柱的表面展开图是两个圆(底面)和一个长方形(侧面)，如图所示如果两个底面圆在长方形的同一侧(如图所示)，折叠后上端没有底，下端有两个底，则它不能折叠成圆柱(2)圆锥的表面展开图如图所示，圆锥的表面展开图是一个圆(底面)和一个扇形(侧面)圆柱、圆锥、正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱的展开图【例2】如图所示图形都是几何体的展开图，你能说出这些几何体的名称吗？分析：主要根据顶点、棱、面的数量及侧面展开图的形状进行判断

9、解：圆锥、圆柱、五棱柱3平面图形的折叠平面图形沿某些直线折叠可以围成一定形状的立体图形，与立体图形展开成平面图形是一个互逆过程我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体根据平面展开图判断立体图形的方法：(1)能够折叠成棱柱的特征：棱柱的底面边数侧面的个数棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两侧(2)圆柱的表面展开图一定是两个相同的圆形和一个长方形(3)圆锥的表面展开图一定是一个圆形和一个扇形(4)能够折叠成正方体的特征：6个面都是完全相同的正方形正方体展开图连在一起的(指在同一条直线上的)正方形最多只能为4个以其中1个为底面，前、后、左、右、上面都有，且不重叠4正方体展开图

10、上的数字问题正方体是立体图形的展开与折叠的代表图形，与正方体的展开图有关的数字问题主要是相对面的找法，确定了三组相对面，数字问题便可迎刃而解正方体的平面展开图共有11种，可分为四类：(1)141型：中间四个一连串，两边各一随便放相对面的确定：第一行与第三行的正方形是相对面；中间一行的4个正方形中，相隔一个是相对面(2)231型：二三相连错一个，三一相连随便放相对面的确定：第一行的正方形与第三行的左边第1个正方形是相对面；中间一行第1个与第3个为相对面；第2个与第三行第2个为相对面(3)222型：二二相连各错一相对面的确定：第一行的第1个与第二行的第2个是相对面；第二行第1个与第三行的第2个是相

11、对面；第三行的第1个与第一行的第2个为相对面(4)33型：三三相连错一个相对面的确定：第一行的第1个与第3个为相对面；第二行的第1个与第3个为相对面；第一行的第2个与第二行的第2个为相对面正方体折叠问题拓展拓展A：哪些图形不能折叠成正方体？“凹”字形 “7”字形 “田”字形 “五子相连” 拓展B：正方体折叠规律拓展展开图沿横、竖方向展开时，一个方向必定由4个图形组成，而另一个方向必须是3个图形(一种例外)。 3-3型例外： 一个图形折叠以后能不能围成长方体或正方体，只要横着看、竖着看。先横着看，数一数有几排，再竖着看，数一数有几列。如果横看时数得三排，那么，竖看时必须数得四列；如果横看时数得四

12、排，那么，竖看时必须数得三列；只有符合上面的要求，折叠以后才能围成长方体或正方体；如果不符合上面的要求，折叠以后就不能围成长方体或正方体。拓展C：正方体折叠后相对面的确定口诀：相间，“Z”端是对面。如下图，我们先来统一一下认识： 把含有图（1）所示或可由其作旋转后的图形统称为“I”型图；把所给平面图中含有（2）、（3）、（4）所示或可由其作旋转后的图形统称为“Z”型图。 （1） （2） （3） （4）结论：如果给定的平面图形能折叠成一个正方体，那么在这个平面图形中所含的“I”型图或“Z”型图两端的正方形（阴影部分）必为折成正方体后的对面。 【例3】下图折叠成正方体后，哪些字代表的面是相对面？

13、【练习题】图中哪两个字所在的正方形，在正方体中是相对的面拓展D：正方体折叠后邻面的确定口诀：间二、拐角邻面知。中间隔着两个小正方形的两个面，或拐角型的三个面是正方体的邻面 中间相隔两个小正方形：如中的AD为邻面；拐角型：即，三个面相邻。拓展E：正方体的每两个面不相邻则相对结论：一个正方体有六个面，每个面都只有一个对面，因此，不是它的对面，那么就是邻面。【例4-1】正方体有三种不同放置方式，问下底面各是几？【例4-2】由下图找出三组相对的面【例51】如图所示，哪些图形经过折叠可以围成一个棱柱？【例52】生活中我们经常可以见到各种各样的包装盒，你能用线将图中的实物和它的平面展开图连接起来吗？【例6

14、1】如图所示，假定用A，B表示正方体相邻的两个面，用字母C表示与A相对的面，请在下面的正方体展开图中填写相应的字母【例62】要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为6，则x_，y_.【例63】小丽制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒(如图所示)，则这个正方体礼品盒的平面展开图可能是( )5表面展开图的应用正方体与图案正方体前面、上面、右面有不同的图案，按不同的类型展开后，其图案也会发生相应的变化根据展开图判断是否与模型对应的方法：(1)三个面上的不同图案不会对立，所以可排除三种图案对立的情况；(2)位置判断：相邻三个面的图案位置是否一致当前面和上面的图案确定位置后，另一个

15、图案是在左面还是右面，图案放置的角度是否正确【例7】图中给出的是哪个正方体的展开图( )1.3截一个几何体1截面定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面如图所示，阴影部分就是截面谈重点 截面的理解由前面的知识我们知道“面与面相交得到线”，而用平面去截几何体，所得的截面就是这个平面与几何体每个面相交的线所围成的图形截面的形状与所截几何体有关，也与所截角度和方向有关对于同一个几何体，截面的方向不同，得到的截面形状一般也不相同同一个几何体可能有多种不同形状的截面【例1】下列关于截面的说法正确的是( )A截面是一个平面图形B截面的形状与所截几何体无关C同一个几何体，截面只有一个D同一个几何体，

16、截面的形状都相同2.正方体的截面正方体截面的形状：如图所示，正方体的截面的形状可以是：(1)三角形(包括等腰三角形、等边三角形和一般三角形)，如图.(2)四边形(包括正方形、长方形、梯形等)，如图.(3)五边形，如图.(4)六边形，如图.正方体中不同形状的截面的截法：(1)沿竖直或水平方向截正方体，截面为正方形(2)图中的截面是等边三角形，与该平面平行，能截正方体三条棱的平面，都能截出等边三角形(3)过正方体同一个面上不相邻的两个顶点和一条棱上的一点，可截出等腰三角形(如图)，且与该面平行的能截正方体三条棱的平面，都能截出等腰三角形(4)分别过正方体的上、下底面，且与任何棱都不平行的截面，可截

17、出梯形(5)只要截面与五个面相交或与六个面相交，即可截出五边形或六边形【例2】下列说法正确的是( )正方体的截面可以是等边三角形 正方体不可能截出七边形 用一个平面截正方体，当这个平面与四个平面相交时，所得的截面一定是正方形 正方体的截面中边数最多的是六边形A BC D3圆柱、圆锥、球的截面(1)圆柱的截面用一个平面去截一个圆柱，可得到的截面形状是长方形、圆、椭圆、椭圆的一部分(2)圆锥的截面用一个平面去截圆锥，可得到的截面形状是三角形、圆、椭圆及椭圆的一部分(3)球体的截面用一个平面去截球体，可得到的截面形状是圆【例3】下列几何体的截面分别是_、_、_、_.4根据截面判断几何体(1)常见几何

18、体截面的比较常见几何体主要是棱柱、圆柱、圆锥和球体棱柱包括正方体、长方体、三棱柱、五棱柱、六棱柱其中以正方体为代表各种几何体的截面如下表：(2)根据截面判断原几何体的方法：截面中有曲线，则原几何体一定有曲面例如截面形状是圆的几何体可能是圆柱、圆锥、球或圆台若一个几何体的各面都是平面，则所得截面一定是多边形；若几何体有曲面，则所得截面可能是多边形，也可能是由直线和曲线组成的图形，还可能是由曲线组成的图形【例41】一个几何体的一个截面是三角形，则原几何体一定不是下列图形中的( )A圆柱和圆锥 B球体和圆锥 C球体和圆柱 D正方体和圆锥【例42】一个几何体，用水平的面去截，所得截面都是圆，用竖直的面

19、去截，所得截面是长方形，判断这个几何体的名称(写出一种几何体的名称即可)5.判断截后剩余几何体的顶点数、棱数和面数一个棱柱，截去一部分后，剩余几何体的顶点数、棱数和面数与该图形的形状有关用一个平面截掉正方体的一个角，剩余部分的顶点数、棱数和面数情况：截面过顶点的个数顶点数棱数面数010157191472813737127【例51】如图所示，过长方体的一个顶点，截掉长方体的一个角，则剩余部分的顶点有_个【例52】如图，用一个平面截掉正方体的一条棱，剩下的几何体有_个顶点，有_条棱， 有_个面6截面的应用把一个长方体木块锯成几段，可以看成用几个平面去截长方体，其截面的面积等于与截面平行的底面的面积

20、如图所示截面与增加的面积的关系：分成的段数截面数增加的面积212个截面的面积324个截面的面积436个截面的面积548个截面的面积nn1(n2)2(n1)个截面的面积【例6】如图所示，一根长2米的长方体木料锯成4段，这根木料的表面积比原来增加了72平方厘米，则这根木料原来的体积是多少？1.4从三个方向看物体的形状1三种形状图三种形状图是指从正面、左面和上面三个不同方向观察同一物体时所看到的物体形状。从不同的方向观察同一物体，由于方向和角度不同，通常可以看到不同的图形如图所示【例1】有一辆汽车如图所示，小红从楼上往下看这辆汽车，小红看到的形状是图中的( )2基本几何体的三种形状图 延伸拓展： （

21、1）判断几何体三个不同方向的形状图 首先要弄清楚几何体的形状，然后想象从正面、左面、上面观察时能看到几何体的哪些部分，从而得出三个不同方向的形状图。 （2）三种形状图的作用 从正面看的形状图可以分清物体的长和高；（主视图） 从左面看的形状图可以分清物体的高和宽；（左视图） 从上面看的形状图可以分清物体的长和宽；（俯视图）【例2】如图所示的4个立体图形中，从正面看到的形状是四边形的个数是( )A1 B2 C3 D43三种形状图的画法(1)常见几何体的三种形状图的画法确定从不同方向看到的几何体的形状例如圆锥从正面看到的是三角形，从左面看到的是三角形，从上面看到的是带圆心的圆虚实要求：画图时，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线(2)正方体搭建的几何体的画法画三种形状图，要注意从相应的方向看几何体有几列，每列有几个正方体(即有几层)，根据看到的列数、层数