初中数学二次函数知识点整理

1、中学数学二次函数知识点定理1.定义：通常，如果是常数，则称为的二次函数。2.二次函数的性质(1)抛物线上的顶点是坐标原点，镜像轴是轴。(2)函数的图像和符号关系。抛物线开口的顶部是最低点。抛物线开口的向下顶点是最高点。(3)顶点是坐标原点，对称轴是轴抛物线的解析公式形式。3.二次函数的图像是其对称轴平行于(包括匹配)轴的抛物线。4.二次函数可以使用数组方法创建为：格式。5.二次函数从特殊到一般可分为以下形式：；。抛物线的三个元素：开放方向、对称轴、顶点。符号决定抛物线的开放方向：那时，开口向上；那时，开了下来；相等，抛物线开口大小，形状相同。与轴平行(或重合)的直线。特别是轴被记录为直线。7.

2、顶点决定抛物线的位置。几个不同的二次函数，如果二次系数相同，抛物线的开放方向，开口的大小相同，但顶点的位置不同。8.抛物线的顶点，如何定位对称轴(1)公式方法：顶点是，对称轴是直线。(2)印刷方法：公式化抛物线的分析公式，顶点为(，)，对称轴为直线。(3)使用抛物线的对称：由于抛物线是围绕对称轴的轴对称的，因此对称轴连接的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴和抛物线的交点是顶点。通过合法获得的顶点再用公式法或对称验证，就可以万事大吉了。9.抛物线的作用确定洞口方向和洞口尺寸，如(1)中所示。与(2)一起确定抛物线对称轴的位置。因为抛物线的对称轴是直线，因此：，对称轴是轴；(即号码相同)对称轴位于

3、轴的左侧。(即另一个数字)对称轴位于轴的右侧。(3)大小决定抛物线与轴的交点位置。当时抛物线仅与一条轴相交(0，) :抛物线通过原点。轴与正半轴相交。轴与负半轴相交。在上述三点中，结论和条件互换时成立。抛物线的对称轴位于轴的右侧。几种特殊二次函数的图像特征如下：函数分析公式开放方向对称轴顶点坐标那时张开嘴往上走那时洞口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)（）11.用待定系数法求二次函数的解析公式(1)一般：为已知图像选择三点或三对值，通常为“普通”。(2)磁头点：知道图像的顶点或镜像轴，通常选择头点。(3)交点：已知图像和轴的交点坐标，通常选择交点：12.直线和抛物线的交点(1)轴

4、与抛物线的交点为(0，)。(2)平行于轴的直线和抛物线只有一个交点(，)。(3)抛物线与轴的交点二次函数的图像和轴的两个交点的横坐标是对应于一次二次方程的两个实数根。抛物线与轴线的交点可以由相应一阶二次方程式的根确定。两条相交抛物线与轴相交。轴上有相切的顶点(轴上的顶点)抛物线。交叉抛物线与轴不分离。(4)平行于轴的直线和抛物线的交点与(3)类似，可以有0个交点、1个交点和2个交点。存在两个交点时，如果两个交点的纵坐标相同，纵坐标设置为，则横坐标为两个实数的根。(5)一阶函数的图像和二阶函数的图像的交点由方程解的个数确定。方程有两组不同的解时，有两个交点。方程只有一组解和一个交点。方程没有解的

5、时候和没有交点。(6)抛物线与轴相交点之间的距离：如果抛物线与轴相交，则为方程式的两条根一阶函数和半比例函数测试点1，平面直角座标系统(3点)1，平面直角座标系统如果在平面内绘制两个互垂且具有共用原点的轴，则会建构平面直角座标系统。其中水平轴称为x轴或横轴，右侧为正方向。垂直轴称为y轴或垂直轴，其方向为正向。两条轴的交点o(公共原点)称为正交坐标系的原点。设定直角座标系统的平面称为座标平面。为了方便说明坐标平面内部点的位置，将坐标平面分为x轴和y轴的四个部分称为象限1、象限2、象限3和象限4。注意：x和y轴上的点不属于象限。2、点坐标的概念点的坐标以(a，b)表示，其顺序为横坐标在前，纵坐标在

6、后，坐标在中间“，”分隔，横坐标和纵坐标的位置不能颠倒。平面内部点的坐标是对齐的实数对，其中，(a，b)和(b，a)是两个不同点的坐标。测试点2，其他位置的点坐标特性(三点)1、每个象限内部点坐标功能点P(x，y)位于第一个象限点P(x，y)位于第二个象限点P(x，y)位于第三个象限点P(x，y)位于第四个象限2、坐标轴上点的要素点P(x，y)位于x轴上，x是任意实数点P(x，y)位于y轴上，y是任意实数点P(x，y)在x和y轴上均为x，y为0。也就是说，点p坐标为(0，0)3，2个轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x，y)在1，3象限夹点等分线处的x和y相等点P(x，y)在第二个和第四个象限

7、夹点平分线中互为x和y的倒数4、与坐标轴平行的直线上点的坐标的要素平行于x轴的直线上的每个点的纵坐标都相同。平行于y轴的直线上的每个点的横坐标都相同。5，关于点坐标的特征，关于x、y或远点对称点p和点p 与x轴对称横坐标相同，纵坐标彼此相反点p和点p 与y轴对称纵坐标相同，横坐标相互相反点p和点p 相对于原点对称横向，纵坐标相对6，点到坐标轴和原点的距离点P(x，y)到坐标轴和原点的距离：(1)点P(x，y)到x轴的距离为(2)点P(x，y)到y轴的距离为(3)点P(x，y)到原点的距离为考试点3，函数和相关概念(3-8分)1，变量和常量在任何变化过程中可以取不同值的量称为变量，值保持不变的量

8、称为常量。通常，有两个变量x和y，对于x的每个值，如果y有对应于该值的唯一值，则x是参数，y是x的函数。2、函数分析公式用于表示函数关系的数学公式称为函数分析公式或函数关系。在函数中创建有意义参数的值的全部(参数的范围为)。3，函数的三个表示及其优缺点(1)分析方法两个变量之间的函数关系也表示为包含两个变量(称为分析方法)和数字运算符号的表达式。(2)列表方法列出参数x的一系列值和函数y的相应值，以表示函数关系。此表示法称为列表方法。(3)图像方法用图像表示函数关系的方法称为图像方法。4、函数分析公式绘制图像的一般步骤(1)列表：列表提供了与参数和函数相对应的一些值(2)点描影：使用表格中每个

9、对应的值对做为座标，在座标平面内描影对应的点(3)连接：将参数从小到大依次着色的点连接成平滑的曲线。考试点4，比例函数和一阶函数(310点)1，比例函数和一阶函数的概念通常，如果(k，b是常数，k0)，则y称为x的一个函数。特别是在一个函数中，b等于0(k是常数，k0)时。此时，y称为x的比例函数。2，一阶函数的图像所有主函数的图像都是直线3，主函数，正比例函数图像的主要特征：主函数的图像是通过点(0，b)的直线。正比例函数的图像是通过原点(0，0)的直线。k的符号b的符号函数图像图像特征K0B0y0 x如果图像通过象限1、2、3，则y会随着x的增加而增加。B0y0 x如果图像通过象限1、3、

10、4，y将随着x的增加而增加。K0B0y0 x如果图像通过象限1、2、4，则y会随着x的增加而减少B0y0 x如果图像通过象限2、3、4，则y会随着x的增加而减少。注：当b=0时，函数一次成为正比例函数，正比例函数一次是函数的特殊情况。4，正比例函数的特性，通常，正比例函数具有以下特性：(1)在k0处，图像经过1，3象限，y随着x的增加而增加。(2)在k0中，图像通过第二个、第四个象限，y随着x的增加而减少。5，主函数的特性，通常，主函数具有以下特性：(1)在k0中，y随着x的增加而增加(2)在k0中，y随着x的增加而减少6、确定比例函数和一阶函数分析公式确定正比例函数，即正比例函数定义表达式(

11、k0)中的常数k。必须确定函数一次，并在函数定义表达式(k0)中确定常量k和b。解决这些问题的一般方法是待定系数法。考试点5，比例函数(3-10分)1，比例函数的概念函数(k是常数，k0)通常称为反比函数。半比例函数的解析公式也可以用形式写。参数x的范围是x0的所有实数，函数的范围是所有非零实数。2，比例函数的图像比例函数的图像是具有两个分支的双曲线，每个分支位于第一、第三或第二、第四象限，相对于原点对称。在半比例函数中，由于参数x0，函数y0，图像与x，y轴不相交。也就是说，双曲线的两个分支无限接近轴，但不能到达轴。3，比例函数的性质比例函数k的符号K0K0图像yO xyO x特性x的范围是

12、x0，y的范围为y0。 k0，函数图像的两个分支在1，3象限。在每个象限内，y随着x的增加而减少。x的范围是x0，y的范围为y0。 k0，函数图像的两个分支在第二、第四象限。在每个象限内，y随着x的增加而增加。4、确定比例函数分析公式确定和示例方法仍然是待定系数方法。逆比例函数只有一个待定系数，因此，只要具有对应值对或图像中某一点的坐标，就可以求出k的值以确定相应的分析公式。5，比例函数中比例系数的几何意义如下图所示，如果半比例函数图像包含x轴、y轴竖直线PM、PN的点，则生成的矩形PMON的区域S=PMPN=。即可从workspace页面中移除物件。二次函数测试点主函数和次函数的概念和图像(

13、38点)1，二次函数的概念y通常称为x的二次函数。称为二次函数的正则表达式。2，二次函数的图像二次函数的图像是关于对称(称为抛物线)的曲线。抛物线的主要特性：有开放的方向。有对称轴。有顶点。3，绘制二次函数图像5点法：(1)首先根据函数分析公式获取顶点坐标，在平面笛卡尔坐标系中绘制顶点m，然后用虚线绘制对称轴(2)找到抛物线与坐标轴的交点。如果抛物线和x轴有两个交点，则绘制两个交点A、B以及抛物线和y轴的交点c，然后找到点c的对称点d。从左到右连接这五个点，向上或向下扩展，就产生了二次函数的图像。如果抛物线和x轴仅有一个交点或没有交点，则将绘制抛物线和y轴的交点c和对称点d。可以用c，m，d三

14、点粗略绘制二次函数的草图。如果需要绘制更精确的图像，可以绘制更多的对称点a，b对，然后依次连接5个点以绘制二次函数的图像。试验点二次和二次函数的解析公式(1016点)二次函数的解析公式有三种形式。(1)一般：(2)磁头：(3)抛物线与x轴相交，也就是说，如果相应的二次好方程与真根存在，则二次函数可以转换为两个表达式，具体取决于二次三次联接的分解因子。如果没有交点，就不能这样表示。如果测试点3和二次函数的最大值(10分钟)自变量范围为完全实数，则函数从顶点获取最大值(或最小值)。如果参数范围为，则首先检查是否在参数值范围内。如果在此范围内，则当x=时：如果不在此范围内，则必须考虑函数在此范围内的增减。在此范围内，y随着x的增加而增加，当时：如果在此范围内，y随着x的增加而减少，那么。试验点4，二次函数的性质(614点)1，二次函数的性质函数二次函数图像A0A0y0 xy0 x特性(1)抛物线开口向上无限延伸。(2)镜像轴为x=，顶点坐标为(，)；(3)在对称轴的左侧，即当x增加时，y随着x的增加而减少。在对称轴的右侧，即x增大时，y增大x增大，轴上左减右增大减小。(4)抛物线具有最低点，如果x=，则y具有最小值。(1)抛物线开口向下无限延伸。(2)镜像轴为x=，顶点坐标为(，)；