八年级下册数学--二次根式知识点整理

1、二次根1.算术平方根的定义：一般来说，如果一个正数x的平方等于A，那么这个正数x就叫做A的算术平方根is-2 x 5的解集。X-2X 4，不等式的两边除以-2得到x -2。不等式组的解集是两个不等式组的解集的公共部分。例如3.分数的有意义条件：分母04.绝对值：| a |=a(a0)；|a|=- a (a0)一级和二级根的概念一般来说，我们称公式(a0)为二次根和“二次根”。要正确理解二次根形式的概念，必须把握以下五点：(1)二次根形式的概念被正式定义，并且必须包含二次根数“”。“”的根索引是2，即“”。我们通常省略2的根索引，写为“”。如果你能写。(2)二次根公式中的平方数可以是一个数，也可

2、以是包含字母的公式。(3)公式表示非负A的算术平方根，因此a0，0。其中0是有意义的前提条件。(4)在具体问题中，如果二次根公式已知，则意味着隐式条件a0。(5)B(a0)形式的公式也是一个二次根公式，且B与相乘。应当注意，当B是分数时，它不能用分数来写，例如，它可以被写，但是它不能被写为2。练习：1。判断下列哪种类型是次根形式？(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)3；(7)(x-)第二，当x取任何实数时，下列类型是有意义的。(1)；(2)第二和第二根公式的性质：二次根的性质符号语言文本语言应用和扩展注意(a0)属性0(a0)非负数的算术平方根是非负数。(1)二次根公式的非负性(0，

3、a0)被广泛使用，例如：=0，a 1=0，b-3=0，即a=-1，B=3；又如，x的取值范围是x-a0，a-x0，结果x=a。(2)具有非负性质：A20；| a |0；0(a0).(3)如果a2 | b |=0，那么a=0，b=0，c=0，也就是说，如果几个非负数的和等于0，那么这些非负数分别等于0。(a0)的最小值为0。()2(a0)的性质()2=a(a0)非负数的算术平方根的平方等于自身。使用公式：()2=5；()2=m2 1；反公式：如果a0，a=()2，如：2=()2，=()2反公式可以分解实数范围内的因子，例如a2-5=a2-()2=(a )(a-)的性质=| a |=a (a 0)

4、或=|a|=- a(a、 3x-5是一个关系表达式。练习：以下公式：0；22x=4； 1；2a 3b；(x2)，哪里是代数表达式()列代数表达式的常用方法：(1)直接法：根据问题的语言描述直接写出代数表达式。(2)公式法：根据公式列出代数表达式。(3)探究法：一组数字或一组图形所包含的排列规律用代数表达式表示。练习：列代数(1)将书a平均分给几个学生。如果每个学生被分成5本书，并且还有3本书，那么学生的数量是()(2)如果圆A的半径R是圆B的半径的5倍，则两个圆的周长之和为()典型案例分析问题类型1:有意义的次根形式的条件当x取什么值时，下列类型在实数范围内有意义？(1)-；(2)；(3)问题

5、2:使用二次根公式的非负简化评估给定a2=4a-4，获得的值。问题3:次根非负性的简单应用假设实数x，y满足| x-4 |=0，以x，y为两边的等腰三角形的周长为()问题4:使用=| A |并通过组合数字轴来简化评估。实数a和b在数轴上的位置如图所示。尝试简化：-问题5:三角三边关系的综合应用在ABC中，a、b和c是三角形三条边的长度，简化为-2 | c-a-b |问题6:实数范围内的逆()2=a(a0)因式分解实数范围内的因式分解：(1)x4-4；(2)x4-4x2 4二次根形式的乘法和除法1、单项式乘法和单项式乘法，分别乘以它们的系数、同一个字母的幂，对于一个单项式中只包含字母的情况，与其

6、指数作为乘积的一个因子。2、单项和单项除法，将系数和相同的基数幂分别除以，作为因子的商，对于只在除以的字母，与其指数一起作为因子的商。一次和二次根的乘法法则。=(a 0，b0)也就是说，当平方数乘以二次根公式时，根指数是常数(1)平方数A和B都是非负数的条件在二次方根的乘法中不能忽略。(2)推广.=(a 0，b0，c 0) 交流=交流(3)乘法的交换律和结合律仍然可以应用于二次根的乘法。练习：(1)。(2)。(3)4(4)6(-2)二次根乘法定律的逆应用=。(a 0，b0)表示乘积的算术平方根等于乘积中每个因子的算术平方根的乘积这个性质可以用来简化二次根的形式。当二次根形式被简化时，首先对要求

7、解的平方数进行因式分解或因式分解，然后将可以完全求解的因式分解或因式分解移出根形式。注：(1)公式中的A和B可以是数字或代数表达式，但它们必须满足a0和b0。事实上，公式中的A和B限制了公式的右侧。对于公式的左侧，只要ab0，比如 0。(2)如果本章没有特别说明，所有字母都表示正数。促销：=.(a 0，b0，c0，d0)练习：简化(1)；(2)；(3)；(4)；(5)第三和第二根的划分规律=(a0，b 0)也就是说，除二次根形式，除平方数，并保持根指数不变。注：(1)在公式成立之前，a必须是非负的，B必须是正的。如果a和b都是负数，尽管 0是有意义的，但在实数范围内是没有意义的。如果b=0，那

8、是没有意义的。(2)如果要打开的方的数量有分数，则应首先将其转换为假分数。如果必须先进行转换，以免产生=这样的错误。(3)在计算二次方根公式时，最终结果不应包含能完全开平方的因子，分母不应包含二次方根公式。扩展：(m)(n)=(mn)()，其中a0，b 0，n0。练习：计算(1)；(2)-()；(-；(4)四或二根除法规则的逆应用=(a0，b 0)表示商的算术平方根等于除法公式的算术平方根除以除法公式的算术平方根。注意：公式中的a和b可以是数字或代数表达式，但必须满足a0，b 0。在公式中，A和B被限制在公式的右侧。对于公式的左侧，仅要求0。例如，计算不能写成=，而应该写成=。利用这个公式，我

9、们还可以达到简化二次根公式的目的。当简化的平方数是分数(或分数)的二次根公式时，我们首先把它转换成(a0，b 0)的形式。然后我们可以利用分数的基本性质，用适当的因子乘以分子和分母，并减少分母的根数。当要打开的数字是一个分数时，它应该首先被转换成一个伪分数。练习：简化(1)；(2)；(3)最简单的二次根形式的概念满足以下两个条件的二次根称为最简单的二次根。(1)要开启的当事人的数量不包含分母；(2)在要打开的方块数中，没有一个或多个因子可以完全使用。我们可以把最简单的二次根的概念解释如下：(1)待开数不含分母，因此待开数为整数或代数表达式；(2)待开方数中每个因子或因子的指数为1。简化二次根公

10、式的一种通用方法方法例如在要打开的方块数中，可被充分使用的一个或多个因子被用于打开方块。=2，=xy2符号下的分母如果要打开的方块数包含一个分数段，分数段应首先转换为一个假分数=或=如果要打开的数字包含小数，应首先将十进制数转换为部件号。=或=如果平方数是多项式，必须先进行因式分解。=(x2 y2)练习：下列哪个次根形式最简单？哪个不是？如果没有，请解释原因。(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)扩展：分母是合理的：二次根形式的除法可以通过消除分母中的根符号来实现。这种消除分母中根号的变换叫做分母合理化。根据分数的基本性质(两个包含二次根的代数表达式相乘，如果它们的乘积

11、不包含二次根，则这两个代数表达式是相互合理化的因子)和消除分母中的根符号，通过将分子和分母乘以分母的合理化因子来合理化分母。分母不是唯一的，但计算是最简单的。常见的物理和化学因素有：还有。还有。还有。空调和空调等。练习：将下列二次根形式转换成最简单的二次根形式：(1)；(2)；(3)；(4)典型案例分析问题类型1:二次根乘除法成立的条件(1)如果。=保持，然后()a，x3 B，x 3 c，-3x3 D，x为任意实数(2)如果=真，则()a、x6 B、0x6 C、x0 D、x6问题2:次根形式的简化简化：(1)。(2)；(3)问题3:二次根的乘法和混合运算计算：(1)3(-5)；(2)2()问题

12、4:利用二次根形式的性质，将根形式之外的非负因子移入根形式。将根符号外的下列因子(表达式)移到根符号中：(1)5；(2)-3；(3)-2a；(4)-a。(5)x(x0，y0，b 0)；(5)b。(6)2；(7)(a0，b 0)；(8)3(a0，b 0)；两个和两个根公式的加减在加减二次根公式时，可以先将二次根公式转换成最简单的二次根公式，然后将平方根相同的二次根公式组合起来。二次根公式的加减类似于代数表达式的加减。步骤如下：(1)将每个二级基团转化为最简单的二级基团；(2)简化后找出相同平方数的二次根公式；(3)合并具有相同待开方数的二次根公式将系数相加仍作为系数，而根指数和待开方数保持不变，

13、可简化为：简化判断合并。二次根形式的加法和减法与二次根形式的乘法和除法之间的区别如下：操作二次根形式的乘法和除法二次根的加法和减法系数系数乘法除法系数加减被开方数除以平方数的乘积开派对的人数将保持不变。简单化结果被简化为最简单的二次根形式。首先，它被转换成最简单的二次根形式，然后具有相同数量的平方根形式的二次根形式被合并。注：(1)不同平方数的二次根形式转换成最简单的二次根形式后不能合并，但也不能丢弃，它们也是结果的一部分；(2)代数表达式加减运算中的交换律、结合律、去括号法和括号法在次根运算中仍然适用；(3)根外的因子是该根的系数，次根的系数是分数的伪分数形式。练习：计算：(1)6-2倍；(2)(-2)-(1)二次和二次根的混合运算二次根公式的混合运算序列与代数表达式的混合运算序列相同：先乘，然后乘和除，最后加和减。如果有括号，计算括号内的数字(或先去掉括号)。在二次根公式的运算中，有理数