2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷）

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（文史类）第I卷（选择题 共60分）一选择题1复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2设点，则“且”是“点在直线上”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3若集合，则的子集个数为（ ）A2 B3 C4 D164双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A B C1 D5函数的图象大致是（ ） A B C D6若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为（ ）A4和3 B4和2 C3和2 D2和07若，则的取值范围是（ ）A B C D8阅读如

2、图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数后，输出的，那么的值为（ ）A3 B4 C5 D69将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ ）A B C D10在四边形中，则该四边形的面积为（ ）A B C5 D1011已知与之间的几组数据如下表：123456021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）A B C D12设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A B是的极小值点C是的极小值点 D是的极小值点二填空题13已知函数，则 14利用计算机产生之间

3、的均匀随机数，则事件“”发生的概率为 15椭圆的左、右焦点分别为，焦距为若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 16设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；（i）；（ii）对任意，当时，恒有那么称这两个集合“保序同构”现给出以下3对集合：；其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）三解答题17（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为（1）若成等比数列，求；（2）若，求的取值范围 18（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；（2）若为的中点，求证：；

4、（3）求三棱锥的体积19（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有 的把握认为

5、“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 附表： 20（本小题满分12分）如图，在抛物线的焦点为，准线与轴的交点为点在抛物线上，以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点（1）若点的纵坐标为2，求；（2）若，求圆的半径 21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形中，点在线段上（1）若，求的长；（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小 值22（本小题满分14分）已知函数（，为自然对数的底数）（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值；（3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值 参考答案一、选择题1C 2A 3C 4B 5A 6B 7D 8

6、B 9B 10C 11C 12D 13 14 15 16 17解：（1）因为数列的公差，且成等比数列， 所以，即，解得或 （2）因为数列的公差，且， 所以； 即，解得18解法一：（）在梯形中，过点作，垂足为，由已知得，四边形为矩形，在中，由，,依勾股定理得：，从而又由平面得，从而在中，由，,得正视图如右图所示：（）取中点，连结，在中，是中点，又,，四边形为平行四边形，又平面，平面平面（）又，所以解法二：（）同解法一（）取的中点，连结,在梯形中，且四边形为平行四边形，又平面，平面平面，又在中，平面,平面平面.又,平面平面，又平面平面（）同解法一19解：（）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁

7、以下组工人名所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为，；周岁以下组工人有（人），记为，从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，.故所求的概率：（）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计所以得：因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”20解：（）抛物线的准线的方程为，由点的纵坐标为，得点的坐标为所以点到准线的距离，又所以.（）设，则圆的方程为，

8、即.由，得设，则：由，得所以，解得，此时所以圆心的坐标为或从而，即圆的半径为21解：（）在中，由余弦定理得，得，解得或（）设，在中，由正弦定理，得，所以，同理故因为，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值即2时，的面积的最小值为22解：（）由，得又曲线在点处的切线平行于轴，得，即，解得（），当时，为上的增函数，所以函数无极值当时，令，得，；，所以在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，且极小值为，无极大值综上，当时，函数无极小值；当，在处取得极小值，无极大值（）当时，令，则直线：与曲线没有公共点，等价于方程在上没有实数解假设，此时，又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故又时，知方程在上没有实数解所以的最大值为解法二：（）（）同解法一（）当时，直线：与曲线没有公共点，等价于关于的方程在上没有实