通信原理 第2章.ppt

1、第 2 章 信号与噪声分析,2.1 通信常用信号和系统响应 2.2 信号频谱分析概述 2.3 随机变量的统计特性 2.4 随机过程,返回主目录,通信过程是有用信号通过通信系统的过程，且在通信系统各点常常伴随有噪声的加入及此加入噪声在系统中的传输。由此看来，分析与研究通信系统，总离不开对信号和噪声的分析。实际的信号通常是随机的，加之通信系统中普遍存在的噪声都是随机的，所以对随机信号的分析是非常重要的。,从统计数学的观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。因此，统计数学中有关随机过程的理论可以运用到随机信号和噪声的分析中来。 本章将在先修课程的基础上，首先介绍通信系统常用信号并对确知信号的分析作必要

2、的复习巩固，然后在复习概率论基本概念的基础上，讨论随机信号和噪声的数学模型随机过程。,2.1 通信常用信号和系统响应,2.1.1常用信号 由语音、图像、数码等形成的电信号，其形式可以是多种多样的，从不同的角度进行分类可以得出各种不同的名称。但是从信号数学分析的角度来说，通常采用下面的几种分类。 数字信号与模拟信号 确知信号与随机信号 周期信号与非周期信号 能量信号与功率信号,在通信过程中，信号的变换和传输是由系统完成的。系统是指包括有若干元件或若干部件的设备。系统有大有小，大到由很多部件组成的完整系统，小到由具体几个电路组成的部件。信号在系统中的变换和传输可用图2.1表示，图中假设输入信号为x

3、(t)，通过系统后得到的输出响应为y(t)。从数学的观点来看，和之间存在着如下的函数关系： y(t)=fx(t),图2.1 系统示意图,2.1.2系统响应,线性系统与非线性系统 一个系统如果是线性的，那么叠加原理一定适用。对于线性系统而言，一个激励的存在并不影响另一个激励的响应。 时不变与时变系统 时不变系统也称恒参系统，时变系统也称变参（随参）系统。,2.2信号频谱分析概述,我们知道，信号可以分为确知信号和随机信号。对于确知信号，频谱分析是研究它的有效工具；对于随机信号，则要用统计的方法来分析。本节将主要介绍确知信号的频谱分析方法。,2.2.1 周期信号,基本表示式 任意一个周期为的周期函数

4、可以展开为傅立叶级数：,余弦函数表示式,指数函数表示式,2.2.2 信号的傅立叶变换,f(t)的傅立叶（Fourier）变换式 它把一个时间域内的函数变换为频率域内的函数。 为F()的傅立叶逆变换式 本课程中常用的信号有矩形脉冲、升余弦脉冲、三角形脉冲、冲击函数等,2.2.3 信号的能量谱与功率谱,1. 功率和能量的一般计算公式 前面讨论了周期信号和非周期信号的时域和频域的关系。时间信号的另一个重要特性是能量或功率随频率分布的关系，即能量谱密度或功率谱密度。,2. 帕塞瓦尔定理,对于能量信号 对于周期性功率信号,帕塞瓦尔定理不但把一个信号能量或功率的计算和频谱函数或频谱联系起来，而且给出一个很

5、重要的概念，即能量信号的总能量等于频域内各个频率分量单独贡献出来的能量的积分，而周期性功率信号的平均功率等于各个频率分量单独贡献出来的平均功率的和。,3. 能量谱密度和功率谱密度,设能量以E表示，功率以P表示，如果在频域内有: 式中 ，则称 为能量谱密度函数，而称 为功率谱密度函数。,4. 信号带宽,几乎所有实际的信号，其能量或功率的主要部分往往集中在一定的频率范围之内，超出此范围的成分将大大减小。这个频率范围通常用信号的带宽来描述。信号带宽是由信号能量谱密度或功率谱密度在频域的分布规律确定的，信号带宽的符号用B表示，单位为Hz。,从理论上讲，除了极个别的信号外，信号的频谱都是分布得无穷宽的。

6、实际上，一般信号虽然频谱很宽，但绝大部分使用信号的主要能量或功率都是集中在某一个不太宽的频率范围以内的，因此通常根据信号能量或功率集中的情况，恰当的定义信号的带宽。常用的定义有以下三种：,根据占总能量或总功率的百分比定义带宽 根据能量谱或功率谱从最大值下降3dB处所对应的频率间隔定义带宽 等效矩形带宽,2.2.4 波形的相关,波形的相关是研究波形间的相关程度，包括互相关和自相关，波形间相关的程度用相关函数、归一化相关函数和相关系数来表示。而波形间相关程度的相关函数又与功率谱密度或能量谱密度有联系。 1. 互相关函数,2. 自相关函数,如果两个信号的信号完全相同，此时互相关函数就变成自相关函数

7、3. 归一化相关函数和相关系数 归一化自相关函数定义为 归一化互相关函数定义为 互相关系数定义为,4. 相关函数与谱密度的关系,相关函数的物理概念，虽然建立在信号的时间波形之间，但相关函数与能量谱密度或功率谱密度之间却有着确定的关系，因而可以由其中一个求出另一个。 信号的自相关函数与功率谱密度互为傅立叶变换关系 通常称为维纳辛钦（Wiener-Khintchine）关系。,2.3 随机变量的统计特性,实际通信系统中由信源发出的信息是随机的，或者说是不可预知的，因而携带信息的信号也都是随机的，例如语音信号、数字信号等，这种信号称为随机信号。 由于随机信号和噪声在波形上的随机性，不可能用一个或几个

8、时间函数准确的描述。但这也不是说随机波形就毫无规律。人们经过大量实践发现单个随机信号的确存在随意性，但同类大量的随机信号却存在着某种完全确定的规律性，这种规律性通常称为统计规律性，可以用概率统计的方法来研究。,2.3.1 随机事件与概率,事件和概率 自然界和人类社会中有一类现象，我们可以预言它在一定条件下是否会出现。例如，重物让它自由下落必然是垂直下落。纯水在一个标准大气压下加热到100必然会沸腾。这种在一定条件下必然会发生的事件称为必然时间。反之，在一定条件下必然不会发生的事件称为不可能事件。,但是，自然界中还存在着与决定性现象有着本质区别的现象。例如，抛一枚硬币，假定其不能直立，则可能正面

9、朝上，也可能反面朝上；某地区在将来某一时刻可能下雨，也可能不下雨；向一目标进行射击可能击中，也可能击不中目标等等。这些在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称为随机现象,随机现象是通过随机试验表现出来的。我们称一个试验中可能发生也可能不发生的事件为该试验的随机事件，以下简称为事件，通常用字母、B、C来表示，称该试验可能出现的每一个结果为试验的基本事件。,基本事件的全体组成的集合称为该试验的样本空间。一个随机试验可能出现各种各样的随机事件，但是仅仅知道它可能发生那些事件并没有多大意义，重要的是要掌握这些事件发生的可能性有多大，描述事件出现可能性大小的量称为概率。,2.3.2 随机变量与概率分布,

10、随机变量 在许多实际问题中，随机试验的结果常常是一些数，例如，试验“记录某电话交换台在1分钟内所接到电话呼叫次数”，该试验可能出现的结果是一整数；又如，试验“记录某工厂生产的灯泡的使用寿命”，该试验可能出现的每个结果是一非负实数。有些随机试验，其试验的结果虽然不是数，但总可以设法使其与唯一的实数对应起来，例如，掷一硬币出现正面反面的随机试验，规定数值1表示出现反面，数值0表示出现正面。,这样，不管随机试验可能出现的结果是否为实数，我们总可以在试验的样本空间上定义一个映射，使试验可能出现的每一个结果与唯一的实数对应起来，为此给出如下定义：一个随机试验，设是其样本空间，如果对每一个，有唯一的实数与

11、之对应，我们就得到了一个定义在上的实值函数，称为此试验的一个随机变量。,2. 随机变量的分布函数 对于随机试验仅知道它可能出现什么样的随机事件并不重要，重要的是知道这些事件出现的可能性有多大。引入随机变量后，我们不仅关心取什么数为值，更重要的是知道它取某些数值的可能性大小，也就是说，要关心它以多大的概率取某些数为值。,设X是一个随机变量，x是任一实数。定义随机变量的分布函数F(x)是X的取值小于或等于x的概率，即 （2.3-11） 从定义可知，随机变量X的分布函数F(x)是在整个实数轴上定义的。F(x)在x处的函数值表示随机变量X在(-,x上取值的概率。,连续型和离散型随机变量 常见的随机变量

12、有两种类型：连续型随机变量和离散型随机变量。 如果随机变量的分布函数是连续的，则称是连续型随机变量。连续型随机变量的值可能充满实数轴上的某个空间，甚至于整个实数轴。,2.3.3 随机变量的数字特征,如果要完整的表述一个随机变量的统计特性，就必须知道这个随机变量的分布函数或概率密度函数。但是，在许多实际问题中，往往并不关心随机变量的概率分布，而只关心它的某些特征。例如，随机变量的数学期望（或简称均值），它能够反映随机变量取值的集中位置；随机变量的方差，它能够反映随机变量取值的集中程度；两个随机变量的相关系数，它能够反映这两个随机变量之间的相关程度等等。这些表述随机变量“某些特征”的数，就称之为随

13、机变量的数字特征。,1. 数学期望 随机变量所有可能的取值和它对应概率之积的和（或连续和）称为该随机变量的数学期望，记为EX、EY等。数学期望表示随机变量的统计平均值。 设P(xi)(i=1，2，n）是离散型随机变量X取值xi的概率，则其数学期望,（2.3-42） 它实际上就是对随机变量的加权求和，加权值就是各个可能值出现的概率。 对于连续型随机变量的数学期望可以用积分计算，设f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数，则X的数学期望定义为,2. 方差 随机变量与其数学期望之差平方的数学期称为该随机变量的方差。设X是一个随机变量，若(X-EX)2的数学期望存在，则X的方差为 DX=E(X-EX)

14、2 （2.3-44）,2.4 随机过程,2.4.1随机过程的一般表述 1.随机过程 自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类。一类是其变化过程具有确定的形式，或者说具有必然的变化规律，用数学语言来说，其变化过程可以用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为确定性过程。例如，电容器通过电阻放电时，电容两端的电位差随时间的变化就是一个确定性函数。而另一类过程没有确定的变化形式，也就是说，每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律，用数学语言来说， 这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述，这类过程称为随机过程。下面我们给出一个例子：,设有n台性能完全相同的接收机。我们在相同的

15、工作环境和测试条件下记录各台接收机的输出噪声波形（这也可以理解为对一台接收机在一段时间内持续地进行n次观测）。测试结果将表明，尽管设备和测试条件相同，记录的n条曲线中找不到两个完全相同的波形。这就是说，接收机输出的噪声电压随时间的变化是不可预知的，因而它是一个随机过程。 由此我们给随机过程下一个更为严格的定义：设Sk(k=1, 2, )是随机试验。 每一次试验都有一条时间波形（称为样本函数或实现），记作xi(t)，所有可能出现的结果的总体x1(t), x2(t)， , xn(t)， 就构成一随机过程，记作x(t)。简言之， 无穷多个样本函数的总体叫做随机过程，如图 2 - 1 所示。,图 2-

16、 1样本函数的总体,显然，上例中接收机的输出噪声波形也可用图 2 - 1 表示。我们把对接收机输出噪声波形的观测可看作是进行一次随机试验，每次试验之后，x(t)取图 2 - 1 所示的样本空间中的某一样本函数，至于是空间中哪一个样本，在进行观测前是无法预知的，这正是随机过程随机性的具体表现。其基本特征体现在两个方面：其一，它是一个时间函数；其二，在固定的某一观察时刻t1，全体样本在t1时刻的取值x(t1)是一个不含t变化的随机变量。因此，我们又可以把随机过程看成依赖时间参数的一族随机变量。可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。下面将会看到，在研究随机过程时正是利用了这两个特点。,2.随机

17、过程的统计特性 随机过程的两重性使我们可以用与描述随机变量相似的方法， 来描述它的统计特性。 设x(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1T， 其取值x(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量(t1)小于或等于某一数值x1的概率Px(t1)x1，简记为F1(x1, t1)，即F1(x1,t1)=Px(t1)x1 (2.1 - 1) 式(2.1 - 1)称为随机过程x(t)的一维分布函数。如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有,则称f1(x1, t1)为x(t)的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函

18、数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，为此需要进一步引入二维分布函数。 任给两个时刻t1, t2T，则随机变量x(t1)和x(t2)构成一个二元随机变量x(t1), x(t2)，称F2(x1,x2; t1,t2)=Px(t1)x1, x(t2)x2 (2.1 - 3) 为随机过程x(t)的二维分布函数。 如果存在,则称f2(x1,x2; t1,t2)为x(t)的二维概率密度函数。 同理，任给t1, t2, , tnT, 则x(t)的n维分布函数被定义为Fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)=Px(t1)x1,x(t2)x2, x(t

19、n)xn,则称fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn)为x(t)的n维概率密度函数。显然，n越大，对随机过程统计特性的描述就越充分，但问题的复杂性也随之增加。在一般实际问题中，掌握二维分布函数就已经足够了。,3.随机过程的数字特征 分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性, 但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。 ( 1 )数学期望 设随机过程x(t)在任意给定时刻t1的取值x(t1)是一个随机变量，其概率密度函数为f1(x1, t1)，则x(t1)的数学期望为,注意，这里t1是任取的，所以

20、可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是,a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。 (2)方差,Dx(t)常记为2(t)。可见方差等于均方值与数学期望平方之差。它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度。 均值和方差都只与随机过程的一维概率密度函数有关，因而它们描述了随机过程在各个孤立时刻的特征。为了描述随机过程在两个不同时刻状态之间的联系， 还需利用二维概率密度引入新的数字特征。 ( 3)相关函数 衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数

21、R(t1, t2)来表示。协方差函数定义为,B(t1,t2)=Ex(t1)-a(t1)x(t2)-a(t2) = f2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2,式中，t1与t2是任取的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2时刻得到的数学期望；f2(x1,x2; t1,t2)为二维概率密度函数。相关函数定义为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2),二者关系为 B(t1, t2)=R(t1, t2)-a(t1)a(t2) (2.1 - 10) 若a(t1)=0或a(t2)=0，则B(t1, t2)=R(t1, t2)。 若t2t1，并令t2=t1+，则R(t1, t

22、2)可表示为R(t1, t1+)。这说明，相关函数依赖于起始时刻t1及t2与t1之间的时间间隔,即相关函数是t1和的函数。 由于B(t1, t2)和R(t1, t2)是衡量同一过程的相关程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差函数和自相关函数。对于两个或更多个随机过程，可引入互协方差及互相关函数。设x(t)和(t)分别表示两个随机过程，则互协方差函数定义为,Bx(t1,t2)=Ex(t1)-ax(t1)(t2)-a(t2) (2.1 - 11) 而互相关函数定义为 Rx(t1, t2)=Ex(t1)(t2) (2.1 - 12),2.4.2平稳随机过程,1.平稳随机过程的定义 所谓平稳随机过程

23、，是指它的统计特性不随时间的推移而变化。设随机过程x(t)，tT,若对于任意n和任意选定t1t2tn, tkT， k=1, 2, , n，以及h为任意值，且x1, x2, , xnR，有 fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)=fn(x1, x2, , xn; t1+h, t2+h, , tn+h)(2.2 - 1) 则称x(t)是平稳随机过程。该定义说明，当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数是不变的， 具体到它的一维分布, 则与时间t无关， 而二维分布只与时间间隔有关，即有,f1(x1, t1)=f1(x1) (2.2 - 2) 和 f2(x1,

24、 x2; t1, t2)=f2(x1, x2; ) (2.2 - 3)以上两式可由式（2.2 - 1）分别令n=1和n=2, 并取h=-t1得证。 于是， 平稳随机过程x(t)的均值,为一常数，这表示平稳随机过程的各样本函数围绕着一水平线起伏。同样，可以证明平稳随机过程的方差2(t)=2=常数，表示它的起伏偏离数学期望的程度也是常数。而平稳随机过程x(t)的自相关函数,R(t1, t2)=Ex(t1)x(t1+)=,仅是时间间隔=t2-t1的函数，而不再是t1和t2的二维函数。 以上表明，平稳随机过程x(t)具有“平稳”的数字特征：它的均值与时间无关；它的自相关函数只与时间间隔有关，即 R(t

25、1, t1+)=R() 注意到式（2.2 - 1）定义的平稳随机过程对于一切n都成立， 这在实际应用上很复杂。但仅仅由一个随机过程的均值是常数， 自相关函数是的函数还不能充分说明它符合平稳条件，为此引入另一种平稳随机过程的定义：,设有一个二阶矩随机过程x(t)，它的均值为常数，自相关函数仅是的函数， 则称它为宽平稳随机过程或广义平稳随机过程。相应地，称按式（2.2 - 1）定义的过程为严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。因为广义平稳随机过程的定义只涉及与一维、 二维概率密度有关的数字特征，所以一个严平稳随机过程只要它的均方值Ex2(t)有界，则它必定是广义平稳随机过程，但反过来一般不成立。 通信

26、系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。,2. 各态历经性 平稳随机过程在满足一定条件下有一个有趣而又非常有用的特性， 称为“各态历经性”。这种平稳随机过程，它的数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的数字特征（均为时间平均）来替代。也就是说，假设x(t)是平稳随机过程x(t)的任意一个实现，它的时间均值和时间相关函数分别为,如果平稳随机过程依概率1使下式成立：,则称该平稳随机过程具有各态历经性。 “各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，

27、我们无需（实际中也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。,注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。,3.平稳随机过程的自相关函数 对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一个函数。其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程的谱特性有着内在的联系。因此，我们有必要了解平稳随机过程自

28、相关函数的性质。 设x(t)为实平稳随机过程， 则它的自相关函数 R()=E(x(t)x(t+) (2.2 - 8) 具有下列主要性质： （1）R(0)=Ex2(t)=Sx(t)的平均功率(2.2 - 9） （2） R()=E2x(t)x(t)的直流功率 (2.2 - 10）,这里利用了当时， x(t)与x(t+)没有依赖关系， 即统计独立， 且认为x(t)中不含周期分量。 （3） R()=R(-) 的偶函数 (2.2 - 11) 这一点可由定义式（2.2 - 8）得证。 （4） |R()|R(0)R()的上界 (2.2 - 12) 考虑一个非负式即可得证。 （5） R(0)-R()=2方差，

29、x(t)的交流功率 (2.2 - 13)当均值为0时，有R(0)=2。,4.平稳随机过程的功率谱密度 随机过程的频谱特性是用它的功率谱密度来表述的。我们知道，随机过程中的任一实现是一个确定的功率型信号。而对于任意的确定功率信号f(t)，它的功率谱密度为 式中，FT()是f(t)的截短函数fT(t)（见图 2 - 2）所对应的频谱函数。我们可以把f(t)看成是平稳随机过程x(t)中的任一实现，因而每一实现的功率谱密度也可用式（2.2 - 14）来表示。由于x(t)是无穷多个实现的集合，哪一个实现出现是不能预知的，因此，某一实现的功率谱密度不能作为过程的功率谱密度。过程的功率谱密度应看做是任一实现

30、的功率谱的统计平均，即,图 2-2 功率信号f(t)及其截短函数,x(t)的平均功率S则可表示成,虽然式（2.2 - 15）给出了平稳随机过程x(t)的功率谱密度Px()，但我们很难直接用它来计算功率谱。 那么，如何方便地求功率谱Px()呢？ 我们知道，确知的非周期功率信号的自相关函数与其谱密度是一对傅氏变换关系。对于平稳随机过程，也有类似的关系，即 Px()= 其傅里叶反变换为,于是 R0,因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，Px()必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度Px()与其自相关函数R()是一对傅里叶变换关系, 即,

31、于是,因为R(0)表示随机过程的平均功率，它应等于功率谱密度曲线下的面积。因此，Px()必然是平稳随机过程的功率谱密度函数。所以，平稳随机过程的功率谱密度Px()与其自相关函数R()是一对傅里叶变换关系, 即,或,简记为 R() Px(),关系式（2.2 - 18）称为维纳-辛钦关系，在平稳随机过程的理论和应用中是一个非常重要的工具。它是联系频域和时域两种分析方法的基本关系式。 根据上述关系式及自相关函数R()的性质，不难推演功率谱密度Px()有如下性质：,（1） Px()0，非负性； （2.2 - 20） （2） Px(-)=Px()，偶函数。 （2.2 - 21） 因此， 可定义单边谱密度

32、Px()为 Px1()=,0,W 0,W 0,例 2 - 1某随机相位余弦波x(t)=Acos(ct+)，其中A和c均为常数，是在(0,2)内均匀分布的随机变量。 （1） 求x(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论x(t)是否具有各态历经性。,解 (1) 先考察x(t)是否广义平稳。 x(t)的数学期望为,x(t)的自相关函数为,见x(t)的数学期望为常数， 而自相关函数只与时间间隔有关， 所以x(t)为广义平稳随机过程。 根据平稳随机过程的相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换，即R()Px()，则因为,cosc (-c)+(+c) 所以，功率谱密度为 Px()= (-c)+(+c)

33、平均功率为 S=R(0)=,(2) 现在来求x(t)的时间平均。 根据式（2.2 - 6）可得,比较统计平均与时间平均，得a= , R()= ， 因此，随机相位余弦波是各态历经的。,2.4.3高斯随机过程,1.定义 若随机过程x(t)的任意n维（n=1, 2, ）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。 其n维正态概率密度函数表示如下： fn(x1,x2,xn; t1,t2,tn),式中, ak=Ex(tk)，2k=Ex(tk)-ak2，|B|为归一化协方差矩阵的行列式，即,b12 b1n B21 1 b2n Bn1 bn2 1,|B|jk为行列式|B|中元素bjk的代数余因子，bj

34、k为归一化协方差函数，且,2.重要性质 （1） 由式(2.3 - 1)可以看出, 高斯过程的n维分布完全由n个随机变量的数学期望、 方差和两两之间的归一化协方差函数所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 （2） 如果高斯过程是广义平稳的，则它的均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，由性质（1）知，它的n维分布与时间起点无关。 所以，广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。 （3） 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 即对所有jk有bjk=0，这时式（2.3 - 1）变为,fn(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn)= (2.3 - 2

35、) 也就是说，如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的， 那么它们也是统计独立的以后分析问题时，会经常用到高斯过程中的一维分布。例如，高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可表示为,=f(x1, t1)f(x2, t2)f(xn, tn),式中，a为高斯随机变量的数学期望，2为方差。f(x) 曲线如图 2 - 3所示。 由式（2.3 - 3）和图2 - 3可知f(x)具有如下特性： (1) f(x)对称于x=a这条直线。 (2),且有,图2-3 正态分布的概率,3） a表示分布中心，表示集中程度，f(x)图形将随着的减小而变高和变窄。当a=0，=1时，称f(x)为标

36、准正态分布的密度函数。 当我们需要求高斯随机变量x小于或等于任意取值x的概率P(xx)时，还要用到正态分布函数。正态分布函数是概率密度函数的积分，即,这个积分无法用闭合形式计算，我们要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，一般常用以下几种特殊函数：,（1） 误差函数和互补误差函数。 误差函数的定义式为,它是自变量的递增函数，erf(0)=0，erf()=1，且erf(-x)=-erf(x)。我们称1-erf(x)为互补误差函数，记为erfc(x), 即,erfc(x)=1-erf(x)=,它是自变量的递减函数，erfc(0)=1，erfc()=0，且erfc(-x)=

37、2-erfc(x)。当x1时（实际应用中只要x2)即可近似有,（2） 概率积分函数和Q函数。 概率积分函数定义为 (x)= (2.3 - 10),这是另一个在数学手册上有数值和曲线的特殊函数， 有()=1。 Q函数是一种经常用于表示高斯尾部曲线下的面积的函数，其定义为,比较式（2.3 - 8）与式（2.3 - 10）和式（2.3 - 11）， 可得,现在让我们把以上特殊函数与式（2.3 - 6）进行联系， 以表示正态分布函数F(x)。 若对式（2.3 - 6）进行变量代换，令新积分变量t=(z-a)/， 就有dz=dt，再与式（2.3 - 10）联系，则有 F(x)= (2.3 - 15) 若

38、对式（2.3 - 6）进行变量代换， 令新积分变量t=(z-a)/ ，就有dz= dt，再利用式（2.3 - 5），则不难得到,用误差函数或互补误差函数表示F(x)的好处是，它简明的特性有助于今后分析通信系统的抗噪声性能。,F(X)=,2.4.4高斯白噪声 信号在信道中传输时， 常会遇到这样一类噪声， 它的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即 Px()= (2.4 - 36) 这种噪声被称为白噪声，它是一个理想的宽带随机过程。 式中n0为一常数，单位是瓦/赫。显然，白噪声的自相关函数可借助于下式求得，即 (2.4 - 37),R()=,图 2 - 16,这说明，白噪声只有在=0时才相关，而它

39、在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。图 2 - 16 画出了白噪声的功率谱和自相关函数的图形。 如果白噪声又是高斯分布的， 我们就称之为高斯白噪声。 由式（2.4 - 37）可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应当指出，我们所定义的这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。但是，如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，我们就可以把它视为白噪声。,2.4.5窄带随机过程,随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统的输出，即是窄带过程。所谓窄带系统，是指其通带宽度ffc，且fc远离零频率的系统。实际中，大多数通信系统都是窄带

40、型的，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。如用示波器观察一个实现的波形，则如图2 - 6(b)所示，它是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。,图2-6 窄带过程的频谱和波形示意,因此，窄带随机过程x(t)可用下式表示: x(t)=ax(t) cosct+x(t), ax(t)0 (2.5 - 1) 等价式为 x(t)=xc(t)cosct-xs(t)sinct (2.5 - 2) 其中xc(t)=ax(t)cosx(t) (2.5 - 3) xs(t)=ax(t) sinx(t) (2.5 - 4) 式中, ax(t)及x(t

41、)分别是x(t)的随机包络和随机相位， xc(t)及xs(t)分别称为x(t)的同相分,量和正交分量， 它们也是随机过程， 显然它们的变化相对于载波cosct的变化要缓慢得多。 由式（2.5 - 1）至(2.5 - 4)看出，x(t)的统计特性可由ax(t)，x(t)或xc(t),xs(t)的统计特性确定。反之，如果已知x(t)的统计特性则可确定ax(t),x(t)以及xc(t)，xs(t)的统计特性。,2.5.1同相和正交分量的统计特性 设窄带过程x(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零， 方差为2x。下面将证明它的同相分量xc(t)和正交分量xs(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与x(t)

42、具有相同的方差。 1. 数学期望 对式（2.5 - 2）求数学期望: Ex(t)=Exc(t)cosct-Exs(t)sinct (2.5 - 5)可得,Exc(t)=0 Exs(t)=0 (2.5 - 6) 2. 自相关函数 Rx(t, t+)=Ex(t)x(t+) =Exc(t)cosct-xs(t) sinct xc(t+)cosc(t+)-xs(t+)sinc(t+) =Rc(t, t+) cosct cosc(t+)-Rcs(t, t+) cosctsinc(t+) -Rsc(t, t+) sinctcosc(t+)+Rs(t, t+) sinctsinc(t+),式中 Rc(t,

43、t+)=Exc(t)xc(t+) Rcs(t, t+)=Exc(t)xs(t+) Rsc(t, t+)=Exs(t)xc(t+) Rs(t, t+)=Exs(t)xs(t+) 因为x(t)是平稳的， 故有 Rx(t, t+)=R() 这就要求式（2.5 - 7）的右边也应该与t无关， 而仅与时间间隔有关。 若取使sinct=0 的所有t值，则式（2.5 - 7）应变为,Rx()=Rc(t, t+) cosc-Rcs(t, t+)sinc (2.5 - 8) 这时，显然应有 Rc(t, t+)=Rc() Rcs(t, t+)=Rcs() 所以，式（2.5 - 8）变为 Rx()=Rc()cosc

44、-Rcs() sinc (2.5 - 9) 再取使cosct=0的所有t值，同理有 Rx()=Rs()cosc+Rsc()sinc (2.5 - 10),其中应有 Rs(t, t+)=Rs() Rsc(t, t+)=Rsc() 由以上的数学期望和自相关函数分析可知， 如果窄带过程x(t)是平稳的，则xc(t)与xs(t)也必将是平稳的。 进一步分析， 式（2.5 - 9）和式（2.5 - 10）应同时成立， 故有 Rc()=Rs() (2.5 - 11) Rcs()=-Rsc() (2.5 - 12) 可见，同相分量xc(t)和正交分量xs(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，

45、应有,Rcs()=Rsc(-) 将上式代入式（2.5 - 12），可得 Rsc()=-Rsc(-) (2.5 - 13) 同理可推得 Rcs()=-Rcs(-) (2.5 - 14) 式（2.5 - 13）、（2.5 - 14）说明，xc(t)、xs(t)的 互相关函数Rsc()、Rcs()都是的奇函数，在=0时 Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是， 由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到,Rsc(0)=Rcs(0)=0 (2.5 - 15) 于是，由式（2.5 - 9）及式（2.5 - 10）得到 Rx(0)=Rc(0)=Rs(0) (2.5 - 16)

46、即2x=2c=2s (2.5 - 17) 这表明x(t)、xc(t)和xs(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。 另外，因为x(t)是平稳的，所以x(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量， 故在式（2.5 - 2）中有,取t=t1=0 时，x(t1)=xc(t1) 取t=t2=32c时，x(t2)=xs(t2) 所以xc(t1)，xs(t2)也是高斯随机变量，从而xc(t)、 xs(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.5 - 15）可知，xc(t)、 xs(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量， 因而它们还是统计独立的。 上所述，我们得到一个重要结论：一个均值为零的窄带

47、平稳高斯过程x(t)，它的同相分量xc(t)和正交分量xs(t)也是平稳高斯过程， 而且均值都为零，方差也相同。此外， 在同一时刻上得到的xc和xs是互不相关的或统计独立的。,2.5.2包络和相位的统计特性 由上面的分析可知，xc和xs的联合概率密度函数为 f(xc, xs)=f(xc)f(xs)=,设ax,x的联合概率密度函数为f(ax, x)，则利用概率论知识， 有 f(ax, x)=f(xc, xs),根据式（2.5 - 3）和式（2.5 - 4）在t时刻随机变量之间的关系 xc=axcosx xs=axsinx,得到,Cosx sinx -axsinx axcosx,=,于是,f(ax

48、,x) =axf(xc, xs)=,注意，这里ax0, 而x在(0，2)内取值。 再利用概率论中边际分布知识将f(ax,x)对x积分， 可求得包络ax的一维概率密度函数为,可见，ax服从瑞利分布。 同理，f(ax, x)对ax积分可求得相位x的一维概率密度函数为 f(x)=,可见，x服从均匀分布。,综上所述，我们又得到一个重要结论：一个均值为零， 方差为2x的窄带平稳高斯过程x(t)，其包络ax(t)的一维分布是瑞利分布，相位x(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，ax(t)与x(t)是统计独立的，即有下式成立： f(ax,x)=f(ax)f(x) (2.5 - 23),2.4.6正

49、弦波加窄带高斯噪声,信号经过信道传输后总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最常见的是正弦波加窄带高斯噪声的合成波，这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。 设合成信号为 r(t)=A cos(ct+)+n(t) (2.6 - 1),式中, n(t)=nc(t) cosct-ns(t) sinct为窄带高斯噪声，其均值为零，方差为2n；正弦信号的A, c均为常数，是在(0, 2)上均匀分布的随机变量。 于是 r(t)=Acos+nc(t)co

50、sct-Asin+ns(t)sinct =zc(t)cosct-zs(t) sinct =z(t)cosct+(t) (2.6 - 2),式中 zc(t)=A cos+nc(t) (2.6 - 3) zs(t)=Asin+ns(t) (2.6 - 4),合成信号r(t)的包络和相位为 z(t)=,利用上一节的结果， 如果值已给定，则zc、zs是相互独立的高斯随机变量，且有 Ezc=Acos Ezs=Asin,所以，在给定相位的条件下的zc和zs的联合概率密度函数为 f(zc, zs/)=,利用上一节相似的方法， 根据式（2.6 - 3）、（2.6 - 4）可以求得在给定相位的条件下的z和的联合

51、概率密度函数为,f(z, /)=f(zc, zs/),= zf(zc, zs/),求条件边际分布，有,由于,故有,式中，I0(x)为零阶修正贝塞尔函数。当x0时，I0(x)是单调上升函数，且有I0(0)=1。因此 f(z/)= 由上式可见， f(z/)与无关， 故正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为,这个概率密度函数称为广义瑞利分布，也称莱斯（Rice）密度函数。 上式存在两种极限情况：,（1） 当信号很小，A0，即信号功率与噪声功率之比 =r0时，x值很小，有I0(x)=1，这时合成波r(t)中只存在窄带高斯噪声，式（2.6 - 8）近似为式（2.5 - 21），即由莱斯分布退化为瑞利分

52、布。 （2）当信噪比r很大时，有I0(x) ，这时在zA附近， f(z)近似于高斯分布，即 f(z) 由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。 小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。图 2 - 7（a）给出了不同的r值时f(z)的曲线。,关于信号加噪声的合成波相位分布f()，由于比较复杂， 这里就不再演算了。不难推想，f()也与信噪比有关。小信噪比时， f()接近于均匀分布，它反映这时窄带高斯噪声为主的情况；大信噪比时，f()主要集中在有用信号相位附近。 图 2 - 7（b）给出了不同的r值时f()的曲线。,图 2 7 正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布,2.4.7随机过程通过线性系统,通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络）后，输出过程将是什么