甲型光学第十章几何光学的近轴理论

1、1,第10章几何光学的近轴理论,光线模型几何光学的实验定律成像定理光学仪器,2,10.2几何光学的基本概念,1.几何光学是关于物体所发出的光线经光学系统的成像理论。2.几何光学是建立在实验的基础之上的。3.几何光学中，光的物理模型是几何学上的线，即“光线”。4.“光线”模型来自于物理实验,3,4,光的反射与折射,5,反射定律、折射定律实验,6,一、几何光学的实验定律,1光的直线传播定律在均匀媒质中，光沿直线传播。,P,Q,7,如果介质是非均匀的，则光的传播将会发生偏折，即不再沿着一条直线传播。但是，总可以设法发现光传播的路径，这条路径是折线或曲线。根据这一事实，也可以得出这样的结论，既然在媒质

2、中，光总是沿直线、折线、或曲线传播，那么就可以用一条几何上的线来描述和研究光的传播，这就是“光线”。,8,2光的反射律,物,观察者（接收器）,平面镜,挡板,9,反射光在入射面内,界面,入射面,10,光的反射定律,1）反射光在入射面内2）反射光线与入射光线在界面法线的两侧3）反射角等于入射角,11,3、光的折射定律,介质2,介质1,分界面,物,像,只与两种介质有关，折射率,12,折射光在入射面内,Snell定律,界面,入射面,Descartes定律,折射光线与入射光线在界面法线的两侧,13,实验定律的数学表示,14,光的色散,一束平行的白光（复色光）从一种媒质（例如真空或空气）射入另一种媒质时，

3、只要入射角不等于0，不同颜色的光在空间散开来。说明不同颜色的光具有不同的折射角，即不同的折射率。,15,4、光的可逆性原理,上述实验定律都反映了光路的可逆性,光路可逆物像可逆光强可逆,16,光线如果沿原来反射和折射方向入射时，则相应的反射和折射光将沿原来的入射光的方向。,如果物点Q发出的光线经光学系统后在Q点成像，则Q点发出的光线经同一系统后必然会在Q点成像。即物像之间是共轭的。,Q,Q,17,二、Fermat原理,P,Q,光实际传播的路径，是与介质有关的。,Theactualpathbetweentwopointstakenbyabeamoflightistheonewhichistrave

4、rsedintheleasttime.,18,费马（Fermat）原理：两点间光的实际路径，是光程平稳的路径。（1679年）光程：折射率光所经过的路程，即nS。一般情况下为折射率的路径积分。平稳：极值（极大、极小）或恒定值。在数学上，用变分表示,19,椭球面内两焦点间光的路径，光程为恒定值,20,在椭球面上一点作相切的平面和球面，则经平面反射的光线中，实际光线光程最小，经球面反射的光线中，实际光线光程最大。,21,抛物面焦点发出的光，反射后变为平行光，汇聚在无穷远处，光程为极大值。,22,原理与定律,可以由Fermat原理导出几何光学的实验定律所以可以说，Fermat原理是更基本的一般来说，任

5、何一门学科，都有着无法证明的（指从理论上无法证明）最基本的假设，这就是原理，是这一学科所建立的基础。,23,物像之间的等光程性物点A与像点A之间的光程总是相等的。但由于两者是物像关系，所以，只有通过相同光具组的光线的光程才是相等的,24,几何光学的局限,几何光学是关于光的唯象理论。不涉及光的物理本质。对于光线，是无法从物理上定义其速度的。在几何光学领域，也无法定义诸如波长、频率、能量等物理量。也可以说：几何光学就是三大实验定律在几何学中的应用,25,三、几何光学定律成立的条件,1光学系统的尺度远大于光波的波长。2介质是各向同性的。3光强不是很大。,26,3个简单的平面成像问题,平面折射成像（1

6、）平面可以折射成像吗？（2）用最简单直接的方法如何计算？,27,10.3反射与折射的应用,10.3.1光在平面上的反射,28,“虚光线”与“虚像”,光线并没有进入平面的下方所以，像点并不是真实光线汇聚而成的而是视觉上将反射光线反向延长后汇聚形成的因而，反射光线的反向延长线就是“虚光线”，这样形成的像就是“虚像”。,29,虚光程,按照费马原理，物像之间应该是等光程的,上式对任意方向光线成立的条件为等式的值为0,则虚像所在的空间，即平面下方的折射率为,虚光线的光程称作虚光程,30,在平面反射的情形下，物与像点点对应，所以平面镜可以严格成像,31,10.3.2光在平面上的折射,1折射光来自同一点光源

7、的入射光，经平面折射后，其折射光线的反向延长线不再汇聚于同一点因而严格说来，平面折射是不能成像的不是不能成像，而是不能严格成像,32,用折射定律近似计算像距,像方折射率n物方折射率n，物到界面距离s，求像到界面距离s,在光线束孔径很小的情况下，平面可以近似成像,即光线之间挨得较近,33,白光入射,2棱镜,偏转角,有最小偏转角,如果,红光,黄光,蓝光,34,光的全反射,35,3全反射,有可能,但,所以，当,时，折射光实际上不存在，,只有反射光,这种情况就是全反射，也称全内反射,36,出现全反射的最小入射角称作全反射临界角,全反射临界角,光线从光密介质射向光疏介质，折射角比入射角大入射角满足就会出

8、现全反射,37,4全反射棱镜,倒转棱镜(阿米西棱镜）,屋脊形五棱镜,38,珀罗组合棱镜,39,其它类型的组合全反射棱镜,阿贝-科尼组合棱镜,施密特-朴汉组合棱镜,珀罗组合棱镜,珀罗-阿贝组合棱镜,40,棱锥反射体,从斜面射入、再经三个直角面全反射、最后从斜面出射的光，沿原路返回,棱锥阵列反射器：阿波罗棱镜阵列、自行车尾灯、路牌、,41,色散棱镜,阿贝棱镜,佩林-布罗卡棱镜,全反射使光线间隔进一步增大,42,分色棱镜,利用全反射，以及二向色性光学薄膜、或者干涉滤波薄膜的滤波作用，使不同波长的光分开,低通涂膜,高通涂膜,红绿蓝三基色分开,各自被CCD记录,再将信号组合,还原为原来的色彩,43,5.

9、光纤,单根光线不能传输图像,依靠集束光线传输图像,纤芯0.1mm,包膜,保护层,44,将媒质分成一系列薄层，设每一层中的折射率是均匀的，则每一层中，光线是直线。,10.4变折射率光学,不均匀的媒质，其折射率是各处不同的，例如大气层，受到重力、温度、湍流等因素的影响，是变折射率介质。其中光线不再沿直线传播。对于渐变折射率介质，可以导出光线的基本方程设在直角坐标系中，折射率只在y方向变化,x,y,45,光线方程,46,例10.4.1一条笔直平坦的高速公路上方空气的折射率随高度y的变化规律，式中，是地面处空气的折射率。一个人站在公路上向远处观察，他的眼睛离地面的高度为H=1.6m，问此人能看到公路上

10、最远的距离是多少？,47,由于,，可以将,略去,光线轨迹为,48,例10.4.2光纤的折射率式中为比1小得多的常数，为光纤轴线中心的折射率，试求传导光线的轨迹方程，并证明：在近轴光线条件下，光纤有自聚焦的特性。,阶跃型光纤，折射率沿径向呈阶梯形分布，是全反射光纤，用于图像传输，以及光信号传输。折射型光纤（或梯度型光纤），本题讨论的即是这种新型光纤。可以将光纤分割成许多同轴薄圆筒，由对称性可知，只需要分析含光纤轴线的截面内的光线轨迹即可。,49,常量,50,振幅,空间频率,小角度入射时（傍轴近似），,所有光线有相同的周期,有自聚焦效应。自聚焦光纤,51,10.5近轴光在单球面上的成像,10.5.

11、1物与像的虚实性1同心光束从同一点发出的或汇聚到同一点的光线束，称为同心光束。,从光线的性质看，物上的每一点都发出同心光束，而像点都由同心光束会聚得到。,52,物,像,2物方和像方,物点所在的空间为物方空间像点所在的空间为像方空间,物方空间,像方空间,观察者，或接收器所在的空间,物所在的空间,物光线经过光具成像，则经过光具的光线所在的空间就是像方,虚像所在的空间不是像方,物方,像方,反射镜的物方和像方重合,53,3实物与虚物，实像与虚像发出同心光束的物点，为实物点；物方同心光束延长后汇聚所成的点，为虚物点。,物方,像方,实物,虚物,实物,虚物所在的空间不是物方,物方,像方,54,经过光具组后的

12、同心光束，汇聚在像方形成的点，为实像点；像方发散的同心光束反向延长后汇聚的点，为虚像点。,像方,物方,实像,虚像,像方,55,实物成实像,实物成虚像,虚物成实像,虚物成虚像,56,10.5.2近轴光在单球面上的成像,57,从Q点发出的光线QM折射后变为MQMQ与沿光轴的光线QOQ相交成像,1.轴上物点成像,58,59,在QMC和QMC中分别应用余弦公式,60,不同，s不同，即从Q点发出的同心光束不能保持同心性,61,欲使折射光线保持同心性，必须(1)满足近轴（傍轴）条件,折射球面的光焦度,或者(2),没有意义,只有,这就是平面镜,取,62,平行光入射,像方焦距，像点Q所在位置为像方焦点,折射光

13、为平行光,物方焦距，物点Q所在位置为物方焦点,Gauss公式,63,各种类型的折射球面,64,65,66,物像公式中各参量的符号,虚像的像距取负值,对物方凸球面的半径取正值，凹球面半径取负值,67,汇聚入射光线的情形,虚物,物方入射光线束的虚拟汇聚点,虚物的物距取负值,68,（1）物方和像方：以光线入射的一方作为物方，另一方为像方。（2）物点在物方，物距s0；物点在像方（虚物），物距s0；像点在物方（虚像），像距s0；向物方凹进的球面，r0；线段在主光轴之下，y0。,70,（6）角度自主光轴或球面法线算起，逆时针方向为正，顺时针方向为负。,（8）对于反射球面，其物方和像方位于球面同一侧。,（7

14、）图中所标均为绝对值，对于是负值的参数，应在其前面加上负号。,71,3.轴外物点成像,相当于光轴绕球心旋转，像随物动,满足近轴条件时，圆弧变为直线。,轴上物点成像在光轴上，轴外物点如何成像？,72,像的横向放大率,73,焦点与焦平面,平行于光轴的入射光线经过球面折射后，汇聚于像方焦点。,由于单球面有无数个光轴，所以，凡是相互平行的入射光线，经折射后，都汇聚于与入射光线平行的光轴的像方焦点上。,所有这些像方的焦点构成一个球面。,74,在傍轴条件下，上述像方焦点可以看作是处于一个平面上，这就是折射球面的像方焦平面即：相互平行的入射光线都汇聚于像方焦平面上的同一点。同样，可以得到并定义物方焦平面，从

15、该平面上一点发出的所有光线，经折射后，在像方为相互平行的光线,物方焦平面,像方焦平面,75,折射球面的光学参数,物方焦距,像方焦距,物方焦点,像方焦点,物方焦平面,像方焦平面,76,折射球面的光学性质,根据这些光学参数，可以得到任意一条光线的共轭光线,77,符号约定下的反射、折射定律,用同一数学公式表示反射、折射定律,78,由折射球面物像公式推导反射球面物像公式,反射镜的像方在球面左侧,曲率半径,凹面镜,焦点,球心,物方像方,79,凹面镜,凸面镜,80,凸面镜（负镜）,凹面镜（正镜）,对于实物，总是在焦点内侧成正立缩小虚像,可以成倒立实像或放大虚像,81,4符号约定下像的横向放大率公式,折射球

16、面,反射球面,82,5Lagrange-Helmhotz恒等式,对光线的角放大率为,Lagrange-Helmhotz恒等式,由于,可得到,83,10.6薄透镜成像,10.6.1薄透镜由两个折射球面组成，过两球面圆心的直线为光轴，顶点间距d。,就是薄透镜，通常可以,可以认为，两球面顶点重合，称为光心，记为O。,如果满足,84,逐次成像法,成像透镜由两个折射球面组成，透镜使光线经过了两个球面的折射可以用逐次成像法得到透镜的成像公式物Q1经第一面折射成像Q2（应用物像关系可确定像）Q2无论虚实，总是发出光线的，对第二面来说等效于物Q2作为第二面的物，经第二面折射成像Q3（再次应用物像关系可确定像）

17、反复应用上述方法，可得到最终的像,85,10.6.2薄透镜成像公式1用逐次成像法推导,虚物Q1经过2再一次成像,86,薄透镜的光焦度，单位是屈光度（diopter，D），对于眼镜，度数为100,物在像方，虚物,第一次成像,第二次成像,87,物方焦距,像方焦距,2薄透镜的焦点与焦平面,88,磨镜者公式,空气中的薄透镜,89,物方焦距,物方焦点,像方焦距,像方焦点,物方焦平面,像方焦平面,光心,光轴,极薄的平行玻璃平板，两侧折射率相等，通过光心的光线方向不变,薄透镜的光学参数与光学特性,90,成像的基本光学单元,凡是存在简单的物像关系，而且其中的距离有共同的度量起点，即可以用下述公式描述的光学器件

18、,是成像光具组的基本单元,单个折射面、反射面，以及薄透镜，都是基本的成像单元,厚透镜不是基本的成像单元，是两个折射球面构成的光具组，用逐次成像法求解,91,例题：一个等曲率双凸透镜，放在水面上。球面半径为3cm，中心厚度2cm，玻璃和水的折射率分别为1.50和1.33。透镜下4cm处物点Q。计算两曲面的光焦度，并计算Q点像的位置。,Q第一次成像,第二次成像，物距s2=0.02+0.054=0.074m，,在前镜面下0.26m处。,92,正透镜与负透镜,焦距为正值的透镜是正透镜；焦距为负值的透镜是负透镜。正透镜的像方焦点在像方；负透镜的像方焦点在物方。正透镜使入射的平行光汇聚在像方焦点；负透镜使

19、入射的平行光发散。空气中，中间厚边缘薄的透镜是正透镜；中间薄边缘厚的透镜是负透镜。,93,证明空气中的正透镜必定是中间厚边缘薄；负透镜必定是中间薄边缘厚所谓正透镜，系指物方焦点在其物方，而像方焦点在其像方以平行光正入射证明,从费马原理看光学成像,F,光线愈远离光轴，所经过距离愈长,为使光程相等，则远离光轴的光线，其在透镜中的距离必须较短,所以正透镜的形状，必须愈远离中心轴线，厚度愈薄,正透镜的形状，必定是中间厚边缘薄的结构,平行光自左侧入射，汇聚到正透镜右侧焦点,同理，负透镜的形状，必定是中间薄边缘厚的结构,F,光线在透镜中的光程虚光线的虚光程定值,94,图示,Gauss物像公式,距离从光心算

20、起,95,Newton物像公式,Newton物像公式,如果距离从焦平面算起点在焦平面之外为正值,96,4像的横向放大率,总放大率为两次成像的放大率的乘积,第二次成像，是虚物成像,97,5Lagrange-Helmhotz恒等式,Lagrange-Helmhotz恒等式依然成立,98,6薄透镜作图法,三对共轭的特殊光线,平行于光轴的入射光线经过像方焦点的光线,经过物方焦点的光线平行于光轴的像方光线,经过透镜光心的入射光线经过透镜光心的像方光线,F,F,99,物像作图法,F,F,F,F,100,正透镜作图法,101,102,103,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,负透镜作图法,平行于光

21、轴的入射光线经过像方焦点的光线,经过物方焦点的光线平行于光轴的像方光线,经过透镜光心的入射光线经过透镜光心的像方光线,104,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,105,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,106,像方焦点,物方焦点,像方焦平面,物方焦平面,107,7透镜组的成像作图法,由多个透镜或反射镜组成的光具组，可以采用逐次成像法处理成像问题。可以用直观的作图法当然也可以反复应用成像公式计算,108,光具组的逐次成像,光线经第1镜所成的像，作为第2镜的物,109,虚像作为第2镜的物,第1镜的虚像对第2镜发出实光线该虚像是第2镜的实物,虚像,第1镜的虚像不可能位于第2镜的像

22、方，因而不可能是第2镜的虚物,110,将物经第一个透镜的所成的像作为第二个透镜的物，再次进行成像，依次逐个进行。,透镜组的逐次成像作图法,111,只要第一镜的像处于第二镜的物方，对于第二镜来说都是实物，不论像的虚实,经过L1成虚像，但对于L2来说，发出真实的光线，是实物,逐次成像法过程中物和像的虚实性,112,虚像作为物,第一像在第二镜的物方则为实物，在第二镜的像方则为虚物。,逐次成像过程中，前次所成像本身的虚实性，与作为后一次成像物的虚实性，没有直接关系,F1,F2,F2,F1,1.直接利用第一镜的光线作图；2.利用第二镜的物的特殊光线作图,113,L1的实像，对于L2来说，是虚物,只要第一镜的像处于第二镜的像方，对于第二镜来说都是虚物。,第一镜实像为第二镜虚物,114,如果将上述第一透镜的像作为第二透镜的实物处理，则会得到错误的结果,115,另一种作法,1.直接利用第一镜的光线作图；2.利用第二镜的物的特殊光线作图,116,借助于焦平面的特性，找出虚物的折射光线,117,透镜组的逐次成像计算法,对第一个透镜用成像公式计算，确定像的位置将该像作为第二个透镜的物，再次进行成像，依次逐个进行。如果上述像是下一个透镜的实物，则物距为正值，直接应用公式进行计算；如果是虚物，则其到第二透镜的距离，即物距是负值。,118,高斯光学GaussianOptic