数学建模插值法ppt课件

1、.,插值法,.,问题,一水库上游河段降暴雨，根据预报测算上游流入水库的流量为Q(t)(102立方米/秒)：t(时)81216243044485660Q（t）3654789210135251613通过这个预报值，估计14和20时上游流入水库的流量.,在一天24小时内,从零点开始每间隔2小时测得的环境温度为(摄氏度)12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推测在每一分钟时的温度.,.,给定数据表：,计算ln(0.54)的值.,.,一、问题的提出,在生产和实验中，关于函数f(x)，经常存在两种情况：（1）其表达式不便于计算；（2）无表达式，而只有函数在给定点的函数值，

2、怎样计算其它点的函数值？,.,二、问题的解决,两种方法：（1）函数插值；（2）曲线拟合,.,三、插值法,定义：当精确函数y=f(x)非常复杂或未知时，在一系列节点x0xn处测得函数值y0=f(x0),，yn=f(xn)，由此构造一个简单易算的近似函数p(x)f(x)，满足条件p(xi)=f(xi)(i=0,n)-插值条件这里的p(x)称为f(x)的插值函数；构造插值函数的方法为插值法。,当p(x)为多项式时，我们称p(x)为插值多项式；构造插值多项式的方法称为多项式插值法.,.,多项式插值法包含：,拉格朗日插值牛顿插值三次埃尔米特插值法分段线性插值分段三次埃尔米特插值法三次样条插值,.,1、拉

3、格朗日插值公式,（）定义对给定的n+1个节点x0,x1,x2,xn及对应的函数值y0,y1,y2,yn，构造一个n次插值多项式：即为拉格朗日插值公式，其中,插值基函数,.,（2）拉格朗日插值的matlab实现,functiony=lagrange(x0,y0,x)%x0插值节点，y0插值节点处的函数值，x要计算函数值的点；n=length(x0);%计算x0的长度m=length(x);%计算x的长度fori=1:ms=0;z=x(i);,fork=1:np=1.0;forj=1:nifj=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);%计算插值基函数endends=p*y0(k)+s

4、;endy(i)=s;%计算在x(i)处的函数值（拉格朗日）end,.,（3）函数的调用,给定数据表：用lagrange插值公式计算clearx0=0.4:0.1:0.8；y0=log(x0)；x=0.54；lagrange(x0,y0,x),ln(0.54)的函数值ans=-0.6161,.,（4）练习,用lagrange插值公式计算x=2.101,4.234处的函数值。,.,2、牛顿插值法,牛顿插值公式：Nn(x)=f(x0)+fx0,x1(x-x0)+fx0,x1,x2,xn(x-x0)(x-x1)(x-xn)其中：fx0,x1一阶差商fx0,x1,x2,xnn阶差商注：牛顿插值法与拉格

5、朗日插值法，同一个多项式，不同的表达方式，但是计算量不一样，牛顿插值法的计算量小。这两种方法在MATLAB中没有现成的命令和函数，因为它们存在龙格现象。,.,牛顿插值法的matlab实现,functionY=newpoly(x,y,X)%牛顿插值n=length(x);D=zeros(n);D(:,1)=y;forj=2:n%计算差商矩阵fork=j:nD(k,j)=(D(k,j-1)-D(k-1,j-1)/(x(k)-x(k-j+1);endendC=D(n,n);fork=(n-1):-1:1%构造插值多项式C=conv(C,poly(x(k);m=length(C);C(m)=C(m)+

6、D(k,k);endY=polyval(C,X);,.,龙格现象,Runge在上个世纪初发现：在-5,5上用n+1个等距节点作n次插值多项式Pn(x)，当在n时，插值多项式Pn(x)在区间中部趋于f(x)=1/(1+x2),但对于3.63x5的x，Pn(x)严重发散。用图形分析问题。,.,forn=10:2:20%从10等份到20等份x0=-5:10/n:5;%插值节点y0=1./(1+x0.2);%插值节点处的精确函数值x=-5:0.1:5;%要进行计算函数值的点y=lagrange(x0,y0,x);%调用函数计算x点的函数值plot(x0,y0,*,x,1./(1+x.2),r,x,y)

7、%绘制图形pause%等待，按任意键end,.,forn=4:2:10%从4等份到10等份x0=-5:10/n:5;%插值节点y0=1./(1+x0.2);%插值节点处的精确函数值x=-5:0.1:5;%要进行计算函数值的点y=lagrange(x0,y0,x);%调用函数计算x点的函数值plot(x0,y0,b-*,x,1./(1+x.2),r,x,y,k)%绘制图形pause%等待，按任意键end,.,3、分段低次插值法,（1）分段线性插值定义：已知n+1个不同节点x0,x1,xn,构造分段多项式I(x)，使之满足lI(x)在a,b上连续；lI(xk)=yk；lI(x)在xi,xi+1上是

8、一次多项式；I(x)=,.,（2）分段三次埃尔米特插值法定义：已知n+1个不同节点x0,x1,xn,构造分段多项式I(x)，使之满足：lI(xk)=yk，I(xk)=yk，；lI(x)在xi,xi+1上是三次次多项式。,.,4、三次样条插值法,对于给定n+1个不同节点x0,x1,xn及函数值y0,y1,yn，其中a=x0x1xn=b，构造三次样条插值函数S(x)。S(x)称为三次样条函数时需满足：lS(x)在a,b上二阶导数连续；lS(xk)=yk(k=0,1,n)；l每个子区间xk,xk+1上S(x)是三次多项式(k=0,1,n)。,.,四、插值法的matlab实现,命令：interp1(x

9、0,y0,x，method)其中：x0：插值节点；y0：插值节点处的函数值；x：要计算函数值的点；method：linear：分段线性插值；cubic：分段三次埃尔米特插值；spline：三次样条插值。,.,五、插值法的应用,1、一水库上游河段降暴雨，根据预报测算上游流入水库的流量为Q(t)(102立方米/秒)：t(时)81216243044485660Q（t）3654789210135251613通过这个预报值，分别用不同的数值方法插值法来估计14和20时上游流入水库的流量，并利用不同的插值方法描绘水流量曲线。,.,程序设计：clearx0=8,12,16,24,30,44,48,56,60

10、;y0=36,54,78,92,101,35,25,16,13;x=14,20;xx=8:0.1:60;yl=interp1(x0,y0,x,linear)%分段线性插值法yc=interp1(x0,y0,x,cubic)%分段三次埃尔米特插值法ys=interp1(x0,y0,x,spline)%三次样条插值法xyl=interp1(x0,y0,xx,linear);xyc=interp1(x0,y0,xx,cubic);xys=interp1(x0,y0,xx,spline);plot(x0,y0,*,xx,xyl,r,xx,xyc,k,xx,xys,g),.,2、在一天24小时内,从零点

11、开始每间隔2小时测得的环境温度为(摄氏度)12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13推测在每一分钟时的温度.并利用不同的插值方法描绘温度曲线。,.,3、下表给出的x、y数据位于机翼端面的轮廓线上，Y1和Y2分别对应轮廓的上下线。假设需要得到x坐标每改变0.1时的y坐标，试完成加工所需数据，画出曲线.,.,二维插值,前面的命令interp1()是一维插值，现实中有很多问题需要二维插值.二维插值是基于与一维插值同样的基本思想.,.,二维插值的MATLAB实现,在MATLAB中，二维插值命令常用的有两个，1、一个是网格节点插值：z=interp2(x0,y0,z0,x,

12、y,method)其中，z：被插值点处的函数值；x0,y0,z0：插值节点，x0,y0为向量，z0是矩阵，其列数等于x0的长度，行数等于y0的长度；x,y：被插值点；,interp1(x0,y0,x，method),.,山体地貌,要在某山区方圆大约27平方公里范围内修建一条公路，从山脚出发经过一个居民区，再到达一个矿区。横向纵向分别每隔400米测量一次，得到一些地点的高程：,试做出该山区的地貌图，并对几种插值法进行比较.,.,程序设计：clearx0=1200:400:4000;y0=1200:400:3600;z0=11301250128012301040900500700;13201450

13、142014001300700900850;139015001500140090011001060950;15001200110013501450120011501010;15001200110015501600155011801070;15001550160015501600160016001550;1480150015501510143013001200980;xi=1200:1:4000;%加密数据点yi=1200:1:3600;zil=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,linear);%线性插值zic=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,cubic);%三次插值z

14、is=interp2(x0,y0,z0,xi,yi,spline);%样条插值subplot(2,2,1)mesh(x0,y0,z0)subplot(2,2,2)mesh(xi,yi,zil)subplot(2,2,3)mesh(xi,yi,zic)subplot(2,2,4)mesh(xi,yi,zis),.,.,2、另一个是离散数据节点的插值命令：z=griddata(x0,y0,z0,x,y,method)其中，z：被插值点处的函数值；x0,y0,z0：插值节点，x0,y0,z0均为向量；x,y：被插值点；method：插值方法，包括：linear线性插值；cubic三次插值；,.,船在

15、该海域会搁浅吗？,在某海域测得一些点(x,y)处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入.,.,解决问题的步骤：1.作出测量点的分布图；2.求出矩形区域（75，200）*（-50，150）的细分网格节点之横、纵坐标向量；3.利用MATLAB中的散点插值函数求网格节点的水深；4.作出海底曲面图形和等高线图；5.作出水深小于5的海域范围.,.,程序,clearx0=129140103.588185.5195105157.5107.57781162162117.5;y0=7.5141.52314722.5137.585.5-6.5-81356.5-66.584-33.5;z0=-4-8-6-8-6-8-8-9-9-8-8-9-4-9;subplot(2,2,1)plot