n阶行列式的定义及性质

1、1.3n阶行列式的定义及性质,二、n阶行列式的性质,一、n阶行列式的定义,一、n阶行列式的定义,为了给出n阶行列式的定义我们要先研究三阶行列式的结构,(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t其中t为列指标排列p1p2p3所决定（称为p1p2p3的逆序数）,三阶行列式可以写成,其中t为排列p1p2p3的逆序数表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和,三阶行列式的结构一：,特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a,由n2个数aij(ij12n)构成的代数和,称为n阶行列式记为,简记为det(aij)其中p1p2pn为自然数12n的一个排列t为这个排列的逆序数表示对所有排列p1p2pn取和,在

2、n阶行列式D中数aij为行列式D的(ij)元,n阶行列式的传统定义：,为了给出n阶行列式的第二种定义方式我们再进一步研究三阶行列式的结构,三阶行列式的结构二：,其中Aij(1)ijMijMij是D去掉第i行第j列全部元素后,按原顺序排成的n1阶行列式,称Mij为元素aij的余子式,称Aij为元素aij的代数余子式.,n阶行列式的递归法定义：,由n2个数aij(ij12n)组成的n阶行列式,是一个算式.当n=1时定义D=|(a11)|=a11;,当n2时定义Da11A11a12A12a1nA1n,余子式与代数余子式的一个例子,A23(1)23M23M23,例如已知,则a23的余子式和代数余子式分

3、别为,方阵与行列式,设,为n阶方阵,则A的行列式可记为|A|或detA,即,(3)只有方阵才有行列式!,矩阵与行列式的区别,(1)行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值.,(2)矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.,例1证明n阶下三角行列式,证,对n作数学归纳法.当n=2时结论成立.,假设结论对n1阶下三角行列式成立,则由定义得,例2计算n阶行列式(副对角线以上元素全是0),解,利用行列式定义,可得.,递推可得,n阶行列式的性质：,性质1设A为方阵,则|AT|=|A|,即转置不改变方阵的行列式.,由此性质可知行列式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样

4、成立反之亦然,性质2(行列式按行展开法则)行列式等于它的任一行各元素与其对应的代数余子式乘积的和即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i=12n),推论(行列式按列展开法则)行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘积的和即Da1jA1ja2jA2janjAnj(j=12n),例设,则,(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素;,(2)A的第3列元素的余子式,正好是|AT|的第3行元素的余子式的转置,故|A|=|AT|=AT的第3行元素与其对应的代数余子式乘积的和=A的第3列元素与其对应的代数余子式乘积的和,又对应元素的代数余子式的符号关系一致,性质3(线性性质）(1

5、)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k等于用数k乘此行列式,(2),推论(1)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面(2)某一行(列)的所有元素全为0的行列式其值为0.,性质4行列式中如果有两行(列)完全相等则行列式等于零,推论行列式中如果有两行(列)元素成比例则行列式等于零,性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去行列式不变即,性质6(反对称性质)行列式的两行(列)对换行列式的值反号,证,即,初等变换与行列式,性质3(1),设以下A,B都是方阵.,则|B|=k|A|.,则|B|=k|A|.,性质5,则|B|=|A|.,

6、性质6,则|B|=|A|.,综上,我们有,命题,则|A|与|B|要么同时为0,要么同时不为0.,(2)设n阶方阵A满足|A|0,且A经过有限次初等行变换变成行简化阶梯矩阵R,则R=En.,则|B|=|A|.,则|B|=|A|.,注在计算行列式中,经常需要用初等变换来“打洞”,可以看出“打洞”中起主要作用的是性质5.,性质7行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零即ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0(ij)或a1iA1ja2iA2janiAnj0(ij),综合结论,则A12A22+4A32+2A42=,D=57,A21+2A22+4A23+2A24=,0.,例对于n阶上三角行列式,有,提示,利用性质1及下三角行列式的结果,上三角形,