2017_18版高中数学习题课导数的应用课件.pptx

1、习题课导数的应用,第一章导数及其应用,学习目标1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值综合应用.,题型探究,知识梳理,内容索引,当堂训练,知识梳理,知识点一函数的单调性与其导数的关系,定义在区间(a，b)内的函数yf(x)：,增,减,知识点二求函数yf(x)的极值的方法,(1)求导数f(x)；(2)求方程的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右，导函数f(x)的符号变化.如果f(x)的符号，则f(x0)是极大值；如果，则f(x0)是极小值，如果在f(x)0的根xx0的左、右侧，f(x)的符号不变，则f(x0).,由正变负,

2、由负变正,f(x)0,不是极值,题型探究,类型一构造法的应用,命题角度1比较函数值的大小,答案,解析,解析由f(x)sinxf(x)cosx，即f(x)sinxf(x)cosx0，,此类题目的关键是构造出恰当的函数，求出该函数的导数，利用单调性进而确定函数值的大小.,反思与感悟,A.acbB.bcaC.abcD.cf(x)，且f(0)2，则不等式f(x)f(x)，g(x)0，不等式的解集为(0，)，故选C.,构造恰当的函数并判断其单调性，利用单调性得到x的取值范围.,反思与感悟,跟踪训练2已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且f(1)0，其导函数记为f(x)，当x0时，满足xf(x)f(x)0

3、，则f(x)0的解集为_.,(1,0)(1，),解析,答案,当x0时，g(x)0，则g(x)为增函数，由此可画出g(x)的草图，如图，所以f(x)0的解集为(1,0)(1，).,类型二利用导数研究函数的单调性、极值与最值,解答,例3已知f(x)axlnx，x(0，e，g(x)，其中e是自然对数的底数，aR.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间和极值；,所以当00，此时函数f(x)为单调增函数，所以函数f(x)的极小值为f(1)1.,证明,(2)求证：在(1)的条件下，f(x)g(x)；,证明因为函数f(x)的极小值为1，即函数f(x)在(0，e上的最小值为1.,所以当00，此时g(x)为单

4、调增函数.,解答,(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.,解假设存在实数a，使f(x)axlnx，x(0，e有最小值3，,当a0时，f(x)0，f(x)在(0，e上为单调减函数，,此时函数f(x)的最小值不是3.,此时函数f(x)的最小值不是3.综上可知，存在实数ae2，使f(x)的最小值是3.,(1)求极值时一般需确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值

5、比较即可获得.,反思与感悟,跟踪训练3已知函数f(x)alnx(a0，aR).(1)若a1，求函数f(x)的极值和单调区间；,解答,令f(x)0，得x1，又f(x)的定义域为(0，)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,当x1时，f(x)的极小值为1.f(x)的单调增区间为(1，)，单调减区间为(0,1).,(2)若在区间(0，e上至少存在一点x0，使得f(x0)0时，由f(x)0，可得xlnc，由f(x)0，不等式f(lncx)f(lncx)恒成立；,证明,证明f(lncx)f(lncx)elncxc(lncx)celncxc(lncx)cc(exex2x)，设g(x)exex

6、2x，x0，则g(x)exex2，,即g(x)0，所以g(x)在(0，)上为单调增函数，可得g(x)g(0)0，又c1，则c(exex2x)0，可得不等式f(lncx)f(lncx)恒成立.,函数yf(x)有两个相异的零点.,证明,证明函数f(x)excxc的导数为f(x)exc，当c1时，f(x)的增区间为(lnc，)；减区间为(，lnc)，可得f(x)在xlnc处取得极小值，且为最小值，由f(lnc)elncclncccclnccclnc0，可得f(x)0有两个不等的实根，则函数yf(x)有两个相异的零点.,利用导数解决不等式的证明及函数的零点的求解与证明时，注意运用构造函数和转化思想.,

7、反思与感悟,跟踪训练4已知函数f(x)axlnx1，若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线与直线2xy10垂直.(1)求a的值；,解答,解函数f(x)的定义域为(0，).,解答,(2)函数g(x)f(x)m(x1)(mR)恰有两个零点x1，x2(x1x2)，求函数g(x)的单调区间及实数m的取值范围.,解因为g(x)(1m)(x1)lnx，x(0，)，,()当1m0即m1时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上为单调减函数，此时只存在一个零点，不合题意.,下面判断极小值的正负，设h(m)mln(1m)，m1.当m0时，h(0)0，即g(x)极小值0，此时g(x)恰有一个零点不合题意.,当x

8、变化时，g(x)与g(x)的变化情况如下表：,当m0；当0m1时，h(m)0.所以h(m)在(，0)上为单调增函数，在(0,1)上为单调减函数，所以h(m)h(0)0，此时g(x)恰有两个零点，综上，m的取值范围是(，0)(0,1).,当堂训练,1.若函数yx32x2mx是R上的单调函数，则实数m的取值范围是,答案,2,3,4,5,1,2.已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若a3x4的解集为_.,(1，),解析设F(x)f(x)(3x4)，则F(1)f(1)(34)110.又对任意的xR，f(x)3，F(x)f(x)30，F(x)在R

9、上是增函数，F(x)0的解集是(1，)，即f(x)3x4的解集为(1，).,4.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则f(0)f(2)与2f(1)的大小关系为_.,解析,答案,解析当x1时，f(x)0，故f(1)0.由f(x)的任意性知，f(x)在0,2上有唯一的极小值f(1)，即f(0)f(1)，f(2)f(1)，所以f(0)f(2)2f(1).,2,3,4,5,1,f(0)f(2)2f(1),2,3,4,5,1,证明,5.已知x0，求证：xsinx.,证明设f(x)xsinx(x0)，f(x)1cosx0对x(0，)恒成立，函数f(x)xsinx在(0，)上是单调增函数.又f(0)0，f(x)0对x(0，)恒成立，xs