2025年江苏省南京市中考《二次函数综合》专题复习讲义（学生版）

2025年江苏省南京市中考《二次函数综合》专题复习讲义专题解读二次函数综合题是中考的必考题，一方面考查了一次函数、二次函数的图象与性质，几何图形的性质与判定，图形变换等；另一方面考查了方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、数学建模思想等.主要类型包括：线段问题，角度问题，面积问题，全等、相似三角形存在性问题，平行四边形存在性问题，特殊三角形存在性问题等.解题方法二次函数的综合应用问题常常与几何动点问题，图形周长面积问题，三角形和特殊四边形的存在性问题商品利润及最值问题结合，所以解决二次函数的综合应用问题，需要同学们能够掌握与二次函数相融合的相关知识点，比如存在性问题中，等腰三角形的两圆一线加勾股，直角三角形的两线一圆加K字形相似，特殊四边形中所涉及到的中点坐标公式列方程，面积倍分相等问题中极限思想平行线法等等，在解题思想上面也一定要有化动为静的思想，对于综合问题的化归思想等典例、（2024南京中考25题）已知二次函数的图象经过点，它的顶点在函数的图象上．(1)当取最小值时，____________．(2)用含的代数式表示．(3)已知点都在函数的图象上，当时，结合函数的图象，直接写出的取值范围．变式、（2024南京模拟预测）已知函数．(1)若函数图象经过点，求m的值；(2)若函数图象与x轴只有一个交点A，求点A的坐标；(3)若函数满足时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，且图象与x轴的两个交点为，．求证：．1．（2024·江苏南京·二模）二次函数的图像过点，．(1)的值为______；(2)若，是该函数图像上的两点，当，时，试说明：；(3)若关于的方程有一个正根和一个负根，直接写出的取值范围．2．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数．(1)直接写出该函数图象的对称轴．(2)求证：当时，该函数图象与轴的两个交点均在正半轴．(3)点、在该函数图象上，直接写出与的大小关系及相应的的取值范围．3．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数）．(1)求证：该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)设该函数图像的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，当的面积与的面积相等时，求m的值．4．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数过点．(1)用含m的代数式表示n；(2)求证：该函数的图像与x轴总有公共点；(3)若点在该函数图像上，且当时，总有．直接写出m的取值范围．5．（2025·江苏南京·模拟预测）数、形二法“战”不等式！(1)解不等式时，根据“两数相乘，同号的正，异号得负”可得x应满足不等式组①或②．解不等式组①，得，解不等式组②，得．所以，不等式的解集是．(2)已知函数的大致图象如图所示，根据图象，可得不等式的解集是．6．（2025·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，拋物线存在两点．(1)；(2)求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点；(3)若点也是抛物线上的点，记抛物线在之间的部分为图象（包括两点），记图形上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为，若，则的取值范围为．7．（2025·江苏南京·一模）已知二次函数．(1)如果直线经过二次函数图象的顶点，求此时的值；(2)随着的变化，该二次函数图象的顶点是否都在某条抛物线上？如果是，请求出该抛物线的函数解析式；如果不是，请说明理由；(3)将该二次函数以为对称轴翻折后的图象过点（a未知，b为常数），求原函数与轴的交点纵坐标．8．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（a，m为常数，）．(1)求证：不论a，m为何值，该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)该二次函数的图像与x轴交于A，B两点，若不论m为何值，该二次函数的图像上都只有两个点C，D，使和的面积均为4，求a的取值范围．9．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（m为常数）(1)下列结论：①当时，该函数的图像开口向上；②该函数的图像的对称轴是直线；③该函数的图像一定经过，两点其中，正确结论的序号是___________．(2)若点在该函数图像上，当时，结合图像，直接写出的取值范围．10．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（，且为常数）(1)若，求证：该二次函数图象与轴有两个公共点；(2)该函数一定经过两个定点，分别是，；(3)若该二次函数的图象与函数有不少于两个交点，直接写出的取值范围．11．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．(1)求二次函数的解析式以及函数图象顶点的坐标；(2)一次函数的图象经过点，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上，若，求的取值范围．12．（2024·江苏南京·三模）两个函数交点的横坐标可视为两个函数联立后方程的根，例如函数的图像与函数的图像交点的横坐标可视为方程的根．(1)函数的图像与函数的图像有两个不同交点，求取值范围．(2)已知二次函数（为常数）．①设直线与抛物线有两个不同交点，求取值范围．②已知点，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围．13．（2024·江苏南京·二模）已知二次函数（m为常数，）．(1)当时，求该函数的图象的顶点坐标；(2)当m取不同的值时，该函数的图象总经过一个或几个定点，求出所有定点的坐标；(3)已知，，若该函数的图象与线段恰有1个公共点，直接写出m的取值范围．14．（2024·江苏南京·一模）在平面直角坐标系，二次函数的图象与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点恰好也在该函数的图象上．(1)写出该函数图象的对称轴；(2)已知点．①若函数图象恰好经过点，求的值；②若函数图象与线段只有一个交点，结合函数图象，直接写出的取值范围．15．（2024·江苏南京·模拟预测）已知二次函数（a为常数且）．(1)求证：不论a为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点分别记为A、B，线段（含端点）上有若干个横坐标为整数的点，且这些点的横坐标之和为9．①直接写出a的取值范围；②若a为负整数，则函数的图像与函数的图像的交点个数随b的值变化而变化，直接写出交点个数及对应的b的取值范围．16．（2024·江苏南京·模拟预测）在二次函数中．(1)求证：不论取何值，该函数图像与轴总有两个公共点(2)当时，的最小值为，则的值为________．(3)当时，点，，都在这个二次函数的图象上，且．则的取值范围是________．17．（2024·江苏南京·一模）已知二次函数．(1)求证：该函数的图像与x轴总有两个公共点；(2)若该函数图像与x轴的两个交点坐标分别为且，求证(3)若，，都在该二次函数的图像上，且结合函数的图像，直接写出k的取值范围．18．（2025·江苏南京·模拟预测）二次函数表达式中的二次项系数a有何几何意义？【理解a的几何意义】（1）图①是二次函数（a，h，k为常数，）的图象，观察图象，用含a和k的式子填写下表：

（2）若点