643第4课时正弦余弦定理习题课教学设计-高一下学期数学人教A版

第4课时6.4.3余弦定理、正弦定理【教学内容】余弦定理、正弦定理的综合应用.【教学目标】（1）能灵活使用余弦定理和正弦定理进行边角互化，解决较为复杂的综合问题，发展逻辑推理、数学运算核心素养；（2）能利用方程思想解三角形，发展数学运算核心素养.【教学重点与难点】教学重点：余弦定理、正弦定理的综合应用.教学难点：引入未知、建立方程思想解三角形.【教学过程设计】环节一综合应用，提升能力例1设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，求B.师生活动：教师提问引导学生思考，学生作答，教师点评并总结.教师引导学生如下问题：①式子中出现了三个角，可以如何化简？②条件只是边的关系，只是角的关系，可以如何进行边角转化？学生独立思考作答如下：①三角形内角和为，故可将条件化为只含A，C的表达式；②利用正弦定理可以将转化为角的表达式，进而可以解出角B.教师总结：①从方程的角度上来说，三角形中可以利用内角和消去一个元.②余弦定理和正弦定理都可以实现边角互化，结合本题条件和所求为角，因此考虑用正弦定理将边转化为角求解.解：由及，得，所以.所以.又由及正弦定理，得.故，即或（舍去）.于是或.若，则，显然不成立.所以.设计意图：让学生学会分析三角形中的三角函数特征，应用正弦定理实现边角互化，在老师的引导下逐步完善并规范步骤，体会解三角形的过程，培养数学运算核心素养.例2的内角A,B,C的对边分别为a，b，c，已知求C.师生活动：教师提问引导学生思考，学生作答，教师点评并总结.教师引导学生如下问题：①式子中既出现了角，也出现了边，如何进行边角转化？学生独立思考作答如下：①用正弦定理将边转化成角；②用余弦定理将角转化成边.教师总结：余弦定理和正弦定理都体现了边角互化的关系.①首先观察式子，发现是齐次式，可以利用正弦定理将三条边转化成只出现角的表达式；②用余弦定理将三个余弦值转化成只出现边的表达式.解法1（边化角）：由和正弦定理，得所以，故.因为所以，，故.解法1（角化边）：由和余弦定理，得所以，所以.故.设计意图：通过例题让学生灵活运用余弦定理和正弦定理实现边角互化，从两个角度均可以化简表达式，有时某一种角度更为简洁方便，需要结合条件判断，培养了数学运算核心素养.例3在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知,,.（1）求的值；（2）在边BC上去一点D，使得,求的值.师生活动：教师在题目的基础上给出可解三角形的定义，学生在教师的引导下先独立思考再作答.可解三角形：已知三个量（至少有一边）的三角形.教师引导学生如下问题：①根据已知条件，图中的三角形哪些是可解的？哪些是不可解的？②你准备如何求解？学生独立思考作答如下：①已知的两边及其夹角，说明是一个可解三角形，而和都是不可解的；②针对（1），根据已知条件可以利用余弦定理求出边长b，再利用正弦定理求出角C的正弦值；针对（2），加上条件，和都已知两角和一边，都是可解三角形.的值可根据公式解出.解：（1）在中，由余弦定理，得所以所以在中，由正弦定理，得.（2）在中，因为，所以为钝角，而,故C为锐角,故，则，因为，所以，.从而设计意图：进一步熟练、巩固所学知识，强化学生再多个三角形中有可解三角形时结合运用余弦定理和正弦定理的能力，培养数学运算核心素养.问题2：你还有其他方法求解吗？师生活动：学生独立思考作答，根据实际情况，教师引导,最后作点评和总结.教师引导如下：余弦定理和正弦定理从方程的角度看，已知三个量可以求出剩下的一个量.若将未知量看作是未知数，那么就能根据定理建立等式.最后教师点评和总结.教师总结：利用正弦定理建立方程，a，c均已知，根据三角形内角和可消去角A，换成角B和角C的表达式，而角B已知，故方程只有角C这一个未知量，即可求出.另解（1）：由正弦定理和，得所以设计意图：让学生领悟通过建立方程解三角形，强化余弦定理和正弦定理也是方程的思想，加深对两个定理的理解和方程的思维，以帮助学生形成良好的思维方式，培养数学运算核心素养.例4在中，若，，BC边上的中线AD长为，求边长a.问题3：学生边读例题边思考如下问题：（1）是否有可解三角形？（2）如何表达已知条件“AD是BC边上的中线”？怎样利用余弦定理或正弦定理？师生活动：学生思考以上问题，教师根据作答情况，做点评和总结.（1）根据已知条件发现没有可解三角形；（2）三角形中一边有中线时，把边看作向量，有；两边平方，可利用余弦定理.追问1：在没有可解三角形的时候，结合例3，我们也可以采用什么方法？师生活动：在教师的引导下由学生回答：引入未知量，建立方程.追问2：怎样建立方程？师生活动：教师讲解，同时引导学生思考：不妨设所求的边长a为未知数x，那么图中的三个三角形均是可解三角形（解题过程中，x暂视为已知）.角B和角C都是公共角，利用余弦定理推论写出在两个三角形中的余弦值，建立等式，解出未知数x，即求出边长.解法一：因为AD是BC边上的中线，得，两边平方，得，可得，由余弦定理，得，所以，所以.解法二：因为AD是BC边上的中线，有，可设，则，在中，由余弦定理推论得，，在中，由余弦定理推论得，,从而.解得或（负值舍去）.所以.由余弦定理，得，所以，所以.设计意图：本例题的难点在于想到用向量表达“中线”这个条件，再结合余弦定理求解或者设未知量，抓住“同一个角在不同三角形里表达余弦定理”建立方程.让学生体会没有可解三角形的情形下，引入未知，建立方程的过程，加深了方程思想在解三角形的运用，培养数学运算核心素养.环节二总结回顾，凝练提升问题4：请你带着下列问题回顾本节课内容，并给出回答：（1）这节课我们学习的余弦定理及其推论的内容是什么？从公式中你能分析出哪些特点？（2）什么是解三角形？余弦定理及其推论可以解决哪两类解三角形问题？师生活动：学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结.（1）余弦定理：余弦定理推论：特点：①公式是等式亦是方程，蕴含了三条边和一个角这四个几何量，知道了其中三个量就可以求出剩下的一个量;②在三角形中，边长和角度是不同的几何量，通过余弦定理及其推论，两者可以相互转化.③公式具有轮换美，完美揭示出了三角形边长和角度的数量关系.（2）解三角形：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.余弦定理及其推论可以解决“已知两边及一角（SAS、SSA）”和“已知三边（SSS）”这两类基本解三角形问题，结合题目具体给出的条件去选择公式求解.设计意图：进一步反思巩固所学知识，抓住本节课的知识重点，梳理清用两个定理解三角形的基本思路.让学生在今后的学习中能够有引入未知、建立方程的思想方法，提升思维，发展数学运算核心素养.环节三目标检测，巩固所学目标检测：教科书第41页练习1、2、3.设计意图：通过练习题，检测本堂课的教学效果，对学生学习结果进行课堂测评，考查学生综合运用余