142空间向量研究夹角问题教学设计-高二上学期数学人教A版选择性

空间向量研究“夹角”问题一、教材分析：立体几何是高中数学教学中的一个重要内容，在整个高中数学学习中占有重要的地位，它培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力，是历年高考的重点考查内容之一。用向量法处理几何问题，可使空间形式的研究从“定性”推理转化为“定量”计算.空间角又是立体几何中的重要知识点，学好了它对其他数学知识的学习及贯穿运用有很大的帮助。二、学情分析学生虽已学完了立体几何，也对立体几何有了一定的认识，但由于空间角是一个难点，一般的方法是由“作、证、算”三部分组成，学生对作出空间角的方法即如何化空间角为平面角并在可解三角形中来求解有一定的困难，还不能熟练掌握，而空间向量的引入，使立几问题演绎难度降低，相比较来说过关比较容易，因此有必要对此内容通过引入空间向量的方法进行专题训练，使学生能更好地掌握。三、教学目标1：掌握利用空间向量求空间角(两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角)的方法，并能熟练准确的求解结果及完整合理的表达。2：培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力.使学生更好的掌握化归和转化的思想。3：激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；感受和体会数学美的魅力，激发“学数学用数学”的热情。教学重点：（1）向量法求空间角的方法和公式；(2)空间角与向量夹角的区别和联系。教学难点：(1)两条异面直线的夹角、二面角的平面角与两个空间向量的夹角之间的区别(2)构建恰当的空间直角坐标系，并正确求出点的坐标及向量的坐标.关键：建立恰当的空间直角坐标系，正确写出空间向量的坐标，将几何问题转化为代数问题，四、教学方法启发式讲解互动式讨论研究式探究反馈式评价五、教学过程引入：建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键。上一节课我们学习了运用空间向量研究立体几何中有的距离问题，这节课，我们接着研究用向量方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角问题。问题1：异面直线所成角的定义是什么？取值范围是什么？在必修中我们是如何求异面直线所成角的？学生回答：如是两条异面直线，过空间中任意一点O，分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角。异面直线所成的角的取值范围是。在必修中我们求异面直线所成的角步骤是：一找，二证，三求，四答。【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。问题2：如图，在棱长为1的正四面体中，分别为的中点，求直线和夹角的余弦值。追问1：直线和是否为异面直线？学生回答：是。追问2：按照必修所学的方法我们怎么求直线和夹角的余弦值？学生回答：连接，取的中点，连接、，在三角形中，分别为的中点∴∴（或其补角）即为异面直线和夹角在三角形中，，，由余弦定理得：∴直线和夹角的余弦值为【设计意图】让学生回忆必修时求异面直线的步骤和方法。追问3：谁能在此题中找到一组基底，并将向量用这组基底表示出来？学生回答：CACBCD为基底，则MA=CACM=CA1【设计意图】学生寻找基底，学生表示向量，可能表示的结果有所不同，但“殊途同归”。追问4：直线和夹角的余弦值是否与向量夹角的余弦值相等？学生回答：不一定。因为异面直线所成的角的范围是，而向量夹角的范围是，所以他们可能相差一个负号。也就是说，设向量夹角为，则直线和夹角的余弦值为.【设计意图】让学生体会异面直线所成的角与向量的夹角的异同。追问5：谁能计算出向量MA和CN夹角的余弦值学生回答：，而都是正三角形，所以，∴，∴直线和夹角的余弦值为【设计意图】加强学生的表达规范与运算能力。追问6：谁能对比一下必修的方法和向量的方法？学生回答：必修的方法需要做辅助线找异面直线所成的角，还需要证明平行，利用解三角形的方法求角，有的时候找不到角就无从下手了，而向量的方法只需要我们找到基底计算就可以了。以后遇到容易找到异面直线所成角的题就选择用必修的方法，遇到容易找到基底的问题就选择用向量的方法。【方法小结】研究立体几何问题要注意转化思想，将立体几何问题化为向量问题进行向量运算回到图形，解决立体几何问题。一般地，两条异面直线所成的角，转化为两条异面直线方向向量的夹角.问题3：直线与平面所成角的定义是什么？取值范围是什么？在必修中我们是如何求直线与平面所成角的？学生回答：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，如果直线垂直于平面，我们说它们所成的角为90°，一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角为0°。直线与平面所成的角的取值范围是。在必修中我们求直线与平面所成的角步骤是：一找，二证，三求，四答。【设计意图】让学生回忆旧知识，以建立新旧知识之间的联系。问题4：直线和平面所成的角能否转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角的问题解决，如果能，该如何转化.学生回答：可以转化。如图所示，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量与平面的法向量，则【设计意图】揭示用向量法解决直线和平面所成角的理论依据。追问1：如果上图中的法向量的方向向下，那么是否依然成立？学生回答：依然成立。【设计意图】思考问题应该全面。问题5：什么是两个平面的夹角？学生回答：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角成为平面与平面的夹角。【设计意图】让学生清楚两个平面夹角与二面角的区别。追问1：两个平面的夹角的取值范围是什么？学生回答：【设计意图】清楚两个平面夹角的范围。问题6：两个平面夹角问题能否转化为两个平面的法向量的夹角的问题解决，如果能，该如何转化.学生回答：可以转化。两平面的夹角可转化为两平面法向量的夹角或其补角.设平面与平面的夹角为，平面，的法向量分别是，则【设计意图】揭示用向量法解决直线和平面所成角的理论依据。追问1：如果上图中的一个法向量反向，或者两个法向量都反向，那么上述结论是否依然成立？学生回答：依然成立。【设计意图】思考问题应该全面。问题7：如图1.422，直棱柱中，，，，为中点，分别在棱，上，，.求平面与平面夹角的余弦值.追问1：平面与平面夹角问题能否转化为它们的法向量的夹角问题？学生回答：可以转化。设平面法向量为，平面法向量为，平面与平面夹角即为，的夹角或其补角。追问2：能否建立空间直角坐标系，如果能，你会怎样建系？学生回答：可以建立。以为坐标原点，分别以所在直线为建立空间直角坐标系。追问3：谁能求出平面法向量为和平面法向量为学生回答：易知：平面的一个法向量为.由题意，，，，，.设，则即∴取，追问4：谁能求出平面与平面夹角的余弦值学生回答：设平面与平面夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.【设计意图】加强学生的表达规范与运算能力。问题8：哪位同学们可以总结一下本节课学习的重点？学生回答：用空间向量解决立体几何夹角问题的“三部曲”：建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量的运算，研究立体几何中夹角夹角问题：把向量运算的结果“翻译”成相应的几何问题.课后反思“利用空间向量研究夹角问题”选题背景是必修2学过立体几何而选择性必修一又学到空间向量在立体几何中的应用学生在必修2的知识解决空间角的时候对平面角的理解不到位，不容易找到平面角，针对这种情况，我特意选了本节内容来讲。整节课我是这样设计的。本着以学生为主，教师为辅这一原则。利用学生的求知欲和好胜心这一特点，循序渐进，引导学生归纳推导及应用。让学生采用两种不同的方法解题，体会异同，最终让学生在知识上有所掌握，在能力和意识上有所收获。一．这节课我满意的有以下几个地方(1)这节课的主讲不是我，是学生。我要做的是设置问题和激发兴趣至于整个分析过程和解决过程都是由学生来完成的。这节课学生积极参与，注意力集中，求知欲强，参与面大，在课堂中能够进行有效的合作与平等的交流。(2)课程的设置这节课是一个小专题，是让学生学会用向量方法求线线角、线面角、面面角，整个设计过程符合学生的认知过程，学生也